圓形截面混凝土中氯離子時變擴(kuò)散解析模型

汪加梁，楊綠峰，余 波

(1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,廣西 南寧 530004； 2.工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室,廣西 南寧 530004； 3.廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點實驗室，廣西 南寧 530004)

在氯化物環(huán)境中，外部環(huán)境中的氯離子會通過擴(kuò)散等作用不斷地向混凝土內(nèi)部傳輸和積聚，當(dāng)其含量在混凝土中達(dá)到一定限值時，就會引起鋼筋銹蝕、混凝土開裂等耐久性問題[1]。因此，為了開展混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性分析與設(shè)計，有必要建立合理的氯離子擴(kuò)散分析模型。

混凝土的氯離子擴(kuò)散系數(shù)反映了氯鹽環(huán)境下混凝土抵御氯離子滲透和擴(kuò)散的性能。Collepardi[2]和Suryavanshi等[3]將Fick第二定律中的擴(kuò)散系數(shù)視為常數(shù)分別建立了氯離子的一維和二維擴(kuò)散解析模型。然而，隨著齡期增加，水泥水化程度不斷發(fā)展，混凝土變得更加密實，導(dǎo)致混凝土中氯離子擴(kuò)散系數(shù)隨齡期的增加而逐漸降低，具有明顯的時變特性[4-8]。文獻(xiàn)[9-13]對影響混凝土中氯離子擴(kuò)散的諸多因素進(jìn)行了分析和識別,發(fā)現(xiàn)氯離子擴(kuò)散系數(shù)的時變性是影響混凝土中氯離子擴(kuò)散過程和含量分布的主要因素。楊綠峰等[14-15]研究了混凝土擴(kuò)散系數(shù)時變特性對氯離子擴(kuò)散過程的影響，提出了等效擴(kuò)散時間和相應(yīng)的氯離子擴(kuò)散場計算長度表達(dá)式，據(jù)此建立了大型混凝土結(jié)構(gòu)中氯離子時變擴(kuò)散分析的簡化模型。需要說明的是，上述氯離子擴(kuò)散模型主要適用于常規(guī)的面形構(gòu)件(一維擴(kuò)散)和矩形構(gòu)件(二維擴(kuò)散)，而不適用于圓形截面構(gòu)件。

由于圓形截面混凝土構(gòu)件的幾何外形和外部暴露條件與常規(guī)面形構(gòu)件(一維擴(kuò)散)和矩形構(gòu)件(二維擴(kuò)散)具有顯著差異，所以不能直接利用常規(guī)面形構(gòu)件和矩形構(gòu)件的氯離子擴(kuò)散分析模型來描述圓形截面混凝土中的氯離子含量分布規(guī)律。文獻(xiàn)[16-17]建立了圓形截面混凝土中氯離子擴(kuò)散分析的數(shù)值模型，但是計算精度和計算效率依賴于空間離散網(wǎng)格尺寸和時間步長，且往往存在計算量較大、計算精度容易受模型參數(shù)取值影響等缺陷。為了克服數(shù)值模型的缺陷，文獻(xiàn)[18]基于極坐標(biāo)系中的氯離子常擴(kuò)散控制方程，利用貝塞爾函數(shù)描述了圓形截面混凝土中的氯離子常擴(kuò)散解析模型；文獻(xiàn)[19]基于混凝土管樁的邊界條件，考慮管樁內(nèi)徑和外徑大小等因素的影響，采用分離變量法推導(dǎo)建立了混凝土管樁中氯離子的常擴(kuò)散解析模型。但上述解析模型都假定氯離子擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，從而無法考慮時變性對氯離子擴(kuò)散過程的影響。

鑒于此，本文考慮氯離子擴(kuò)散系數(shù)的時變特性，在極坐標(biāo)系下建立了圓形截面混凝土中氯離子時變擴(kuò)散的控制方程，并通過引入等效擴(kuò)散時間將氯離子的時變擴(kuò)散方程轉(zhuǎn)化為常擴(kuò)散方程，進(jìn)而利用變量代換對擴(kuò)散方程的邊界條件進(jìn)行齊次化處理。然后利用變量分離法以及貝塞爾函數(shù)的正交性和遞推性，建立了圓形截面混凝土中氯離子時變擴(kuò)散的解析解，最后通過與數(shù)值模型對比分析驗證了該方法的正確性。

1 氯離子時變擴(kuò)散解析模型

根據(jù)圖1所示的圓形截面混凝土構(gòu)件幾何形狀及其在氯離子環(huán)境中的暴露條件，圓形截面混凝土中氯離子擴(kuò)散的控制方程可描述為[18]：

(1)

其邊界條件和初始條件分別為：

C(r=R,t>0)=Cs；C(r,t=0)=C0

(2)

式中：C(r,t)為t時刻圓形截面中到圓心O距離為r處的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)(占膠凝材料的質(zhì)量百分?jǐn)?shù))(%)；Cs為混凝土表面氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)(%)；C0為初始氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)(%)；r為圓形截面中任意點到圓心O的距離(mm)；t為持續(xù)暴露于氯化物環(huán)境中的時間(a)，簡稱暴露時間；R為圓心O到混凝土外表面的距離(mm)，即圓形截面的半徑；D(t)為混凝土中氯離子的時變擴(kuò)散系數(shù)(mm2/a或m2/s)，可以描述為[15]：

(3)

式中：t0為初始齡期(a)；n為氯離子擴(kuò)散系數(shù)的齡期衰減系數(shù)，簡稱齡期衰減系數(shù)；D0為混凝土在t0時刻的氯離子擴(kuò)散系數(shù)，簡稱初始擴(kuò)散系數(shù)(m2/s或mm2/a)。

圖1 圓形截面混凝土構(gòu)件及其氯離子暴露條件

為將式(1)描述的氯離子時變擴(kuò)散方程變換為氯離子常擴(kuò)散控制方程，可以基于式(3)定義等效暴露時間T的微分[11]：

(4)

將式(4)等號兩邊同時在0到t范圍內(nèi)進(jìn)行積分可得[11]：

(5)

根據(jù)式(4)，式(1)的等號左邊可變換為：

(6)

考慮到式(2)中第1式定義的邊界條件的非齊次性，令：

C(r,t)=U(r,t)+Cs

(7)

將式(3)、式(6)和式(7)代入式(1)和(2)，可得：

(8)

對應(yīng)的邊界條件和初始條件分別為：

U(r=R,T>0)=0；U(0≤r≤R,T=0)=C0-Cs

(9)

可以利用變量分離法求解式(8)，令：

U(r,t)=F(r)Z(T)

(10)

式中：F(r)和Z(T)分別為圓形截面半徑r和等效暴露時間T的函數(shù)。將式(10)代入式(8)可得：

r2F″(r)+rF′(r)+λr2F(r)=0；Z′(T)+D0λZ(T)=0

(11)

式中：F″(r)和F′(r)分別表示F(r)對r的二階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)；Z′(T)表示Z(T)對T一階導(dǎo)數(shù)；λ為常數(shù)，表示微分方程(11)的特征值。式(11)第2個方程的解為：

Z(T)=Aexp(-D0Tλ)

(12)

式中：A為常數(shù)；由于當(dāng)T→∞時，U→0，所以λ>0。

式(11)的第1個方程為貝塞爾方程，存在以下級數(shù)解：

(13)

式中：m為常數(shù)；k=0,1,2，…,∞；ak為常數(shù)。將式(13)代入式(11)的第1個方程可得：

(14)

由于式(14)為恒等式，所以可以求得式(14)中的系數(shù)為：

(15)

根據(jù)式(9)中的邊界條件，聯(lián)合式(14)和式(15)可得：

(16)

記0階貝塞爾函數(shù)為：

(17)

則由式(16)和式(17)可得：

(18)

將滿足式(18)的λ分別記為λ1，λ2，…，λi，則有：

(19)

(20)

結(jié)合式(9)中的初始條件可得：

(21)

根據(jù)式(21)及貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)[18],可以求得系數(shù)Ai的表達(dá)式為：

(22)

結(jié)合式(7)，(20)和(22)可以得到：

(23)

式中：βi可由λi=βi2及式(18)求出，分析表明，當(dāng)i≥20時計算結(jié)果趨于穩(wěn)定。

2 對比驗證分析

2.1 解析模型的有效性驗證分析

某圓形截面鋼筋混凝土橋墩的半徑R=600 mm，混凝土中的初始氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)C0=0.10%，混凝土表面氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)Cs=5%，暴露于海水環(huán)境的初始齡期t0=28 d，氯離子擴(kuò)散系數(shù)的齡期衰減系數(shù)n=0.5。要求采用解析模型分析圓形截面混凝土中的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布，并與基于有限元法的數(shù)值模型進(jìn)行對比分析。以初始氯離子擴(kuò)散系數(shù)D0=6×10-12m2/s、暴露時間50 a為例，分別利用解析模型和傳統(tǒng)數(shù)值模型計算距離混凝土表面擴(kuò)散深度為50 mm處的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)，從而對比分析兩種方法的計算精度和計算效率(見表1)。由解析模型計算得到的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)為1.049%，計算耗時為0.322 s。由表1可知，隨著空間離散網(wǎng)格尺寸Δx和時間步長Δt的減小，數(shù)值模型的計算精度逐漸趨于穩(wěn)定；當(dāng)時間步長Δt不大于0.1 a、空間離散網(wǎng)格尺寸Δx不大于5.0 mm時，才能保證數(shù)值模型的計算精度，說明數(shù)值模型計算精度依賴于空間離散網(wǎng)格尺寸和時間步長；隨著空間離散網(wǎng)格尺寸Δx和時間步長Δt的減小，數(shù)值模型的計算耗時逐漸增加，說明數(shù)值模型的計算效率依賴于空間離散網(wǎng)格尺寸和時間步長；當(dāng)時間步長Δt取0.1 a、空間離散網(wǎng)格尺寸Δx取5.0 mm 時，數(shù)值模型的計算耗時為753.75 s，為解析模型計算耗時的2 340倍。由此可見，所建的解析模型可以有效克服傳統(tǒng)數(shù)值模型的計算精度和計算效率依賴于空間離散網(wǎng)格尺寸和時間步長所存在的缺陷。

表1 空間離散網(wǎng)格和時間步長對數(shù)值模型計算精度與計算效率的影響

為進(jìn)一步對比分析解析模型計算精度，考慮初始氯離子擴(kuò)散系數(shù)分別取D0-1=2×10-12m2/s,D0-2=4×10-12m2/s,D0-3=6×10-12m2/s,D0-4=8×10-12m2/s和D0-5=10×10-12m2/s共5種情況。利用解析模型分析當(dāng)暴露時間t為30，50和100 a時圓形截面混凝土中的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布，并與數(shù)值模型(Δx和Δt分別取5.0 mm和0.1 a)的計算結(jié)果進(jìn)行對比分析(見圖2)。圖2中，AM和NM分別表示解析模型和數(shù)值模型計算結(jié)果。由圖2可知，相同擴(kuò)散深度處的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨著D0的增加而逐漸增大；隨著擴(kuò)散深度增加，氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)逐漸降低；在不同t和D0的情況下，解析模型和數(shù)值模型所計算的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布均較為吻合，從而驗證了解析模型的計算精度和適用性。

圖3 貝塞爾函數(shù)零點個數(shù)對解析模型計算精度的影響

為分析式(17)中0階貝塞爾函數(shù)的零點個數(shù)對解析模型計算精度的影響，考慮初始氯離子擴(kuò)散系數(shù)分別取D0-1=2×10-12m2/s，D0-2=4×10-12m2/s，D0-3=6×10-12m2/s，D0-4=8×10-12m2/s和D0-5=10×10-12m2/s等5種情況。0階貝塞爾函數(shù)依次取5～100個零點時，計算距離混凝土表面擴(kuò)散深度為50 mm處的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)(圖3)。由圖3可知，隨著0階貝塞爾函數(shù)零點個數(shù)的增加，解析模型計算結(jié)果逐步趨于穩(wěn)定，當(dāng)0階貝塞爾函數(shù)的零點個數(shù)i≥20時，計算精度可以保證。

2.2 擴(kuò)散系數(shù)時變性對氯離子濃度分布的影響

以初始氯離子擴(kuò)散系數(shù)D0=6×10-12m2/s、暴露時間t為30，50和100 a為例，當(dāng)齡期衰減系數(shù)n分別為0.2，0.3，0.4，0.5和0.6時，由解析模型計算的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布曲線與文獻(xiàn)[18]中不考慮氯離子擴(kuò)散系數(shù)時變性的模型(簡稱常擴(kuò)散模型)所計算的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布曲線如圖4所示。由圖4可知，由于常擴(kuò)散模型無法考慮氯離子擴(kuò)散系數(shù)的時變衰減特性，導(dǎo)致所計算的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)明顯偏高，當(dāng)暴露時間和齡期衰減系數(shù)越大，高估現(xiàn)象越明顯；當(dāng)暴露時間相同時，隨著齡期衰減系數(shù)n的增大，相同擴(kuò)散深度處的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)逐漸降低，主要原因在于齡期衰減系數(shù)n越大，同一暴露時刻的氯離子擴(kuò)散系數(shù)越小，從而導(dǎo)致相同擴(kuò)散深度處的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)越低。

圖4 氯離子擴(kuò)散系數(shù)時變性對氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布的影響

2.3 圓形截面半徑對氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布的影響

以初始氯離子擴(kuò)散系數(shù)D0=8×10-12m2/s，齡期衰減系數(shù)n=0.3，暴露時間t為30 a，50 a和100 a，圓形截面混凝土構(gòu)件的半徑R為200，300，400，500和600 mm為例，利用解析模型計算不同半徑圓形截面混凝土中的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布，并與文獻(xiàn)[20]建立的二維(2-D)和一維(1-D)擴(kuò)散解析模型計算的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布進(jìn)行對比分析(圖5)。圖5中，C-200表示半徑R=200 mm，其他符號類似。由圖5可知，圓形截面混凝土中的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)處于一維擴(kuò)散和二維擴(kuò)散之間；隨著圓形截面半徑的增大，氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布逐漸趨近于一維擴(kuò)散的情況；隨著暴露時間增大，相同半徑圓形截面混凝土中的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布與一維擴(kuò)散的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布差異更加明顯。

圖5 圓形截面半徑對氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布的影響

進(jìn)一步以初始氯離子擴(kuò)散系數(shù)D0=8×10-12m2/s，混凝土表面氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)Cs=5%，暴露時間t=30，50和100 a，齡期衰減系數(shù)n=0.2，0.4和0.6為例，分析不同半徑的圓形截面與一維擴(kuò)散情況下距離混凝土表面80 mm處的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)相對誤差(表2)。由表2可知，隨著截面半徑和齡期衰減系數(shù)的增大，圓形截面與一維擴(kuò)散的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)相對誤差逐漸減??；隨著暴露時間增加，圓形截面與一維擴(kuò)散的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)相對誤差逐漸增大。此外，以暴露年限t=50 a，齡期衰減系數(shù)n=0.4，初始氯離子擴(kuò)散系數(shù)D0=2×10-12，6×10-12和10×10-12m2/s，混凝土表面氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)Cs=2.0%，3.5%和5.0%為例，分析不同半徑的圓形截面與一維擴(kuò)散情況下距離混凝土表面80 mm處的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)相對誤差(見表3)。由表3可知，隨著截面半徑增大，圓形截面與一維擴(kuò)散的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)相對誤差逐漸減??；隨著初始氯離子擴(kuò)散系數(shù)和混凝土表面氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)增加，圓形截面與一維擴(kuò)散的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)相對誤差逐漸增大。結(jié)合表2和3可知，當(dāng)截面半徑不小于900 mm時，圓形截面與一維擴(kuò)散的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)相對誤差控制在5%以內(nèi)，說明此時二者比較接近。

表2 不同n, t和半徑情況下圓形截面與一維擴(kuò)散的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)相對誤差

表3 不同D0, Cs和半徑情況下圓形截面與一維擴(kuò)散的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)相對誤差

3 結(jié) 語

結(jié)合貝塞爾函數(shù)和變量代換法，建立了圓形截面混凝土中氯離子時變擴(kuò)散解析模型，并分析了氯離子擴(kuò)散系數(shù)時變性、圓形截面半徑和暴露時間等因素對圓形截面混凝土中氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布的影響規(guī)律。分析結(jié)果表明：

(1) 所建立的時變擴(kuò)散解析模型具有較高計算精度和計算效率，不僅可以有效克服數(shù)值模型對空間離散網(wǎng)格和時間步長的依賴性，而且還可以克服傳統(tǒng)常擴(kuò)散模型由于忽略氯離子擴(kuò)散系數(shù)時變衰減特性而高估圓形截面混凝土中氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)所存在的缺陷。

(2) 圓形截面混凝土中的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)分布介于一維和二維擴(kuò)散之間，隨著圓形截面半徑和齡期衰減系數(shù)的增大，圓形截面混凝土中的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)逐漸降低，且圓形截面混凝土中的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)逐漸趨近于一維擴(kuò)散的狀況；當(dāng)截面半徑不小于900 mm時，圓形截面與一維擴(kuò)散的氯離子質(zhì)量分?jǐn)?shù)相對誤差控制在5%以內(nèi)，說明此時二者比較接近。

(3) 隨著0階貝塞爾函數(shù)零點個數(shù)的增加，解析模型計算結(jié)果逐步趨于穩(wěn)定，當(dāng)0階貝塞爾函數(shù)的零點個數(shù)大于20時，解析模型計算精度可以得到有效保證。