基于DEA生產(chǎn)可能集交形式的交叉效率測度

劉妍珺，馬贊甫

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)a．?dāng)?shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；b．貴州省經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴州 貴陽550025）

數(shù) 據(jù) 包 絡(luò) 分 析 （DEA，Data Envelopment Analysis）于1978年由Charnes等人提出，最初用于測評(píng)非盈利性決策單元（Decision Making Unit，DMU）的相對(duì)有效性［1］。經(jīng)40余年發(fā)展，DEA已成為常用的非參數(shù)效率評(píng)價(jià)方法與技術(shù)描述方法。

經(jīng)典DEA模型如CCR模型、BCC模型都是采用線性規(guī)劃方法判別目標(biāo)決策單元的有效性，其判別標(biāo)準(zhǔn)表現(xiàn)為一個(gè)線性評(píng)價(jià)函數(shù)［1－2］。針對(duì)每一個(gè)決策單元，DEA模型試圖判斷是否存在一個(gè)線性評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)使得該決策單元是有效的。這一點(diǎn)明顯區(qū)別于多目標(biāo)規(guī)劃方法，后者也習(xí)慣于利用線性評(píng)價(jià)函數(shù)尋找相應(yīng)的有效點(diǎn)。不過，前者是尋找可能的評(píng)價(jià)函數(shù)辯護(hù)有效性，而后者是利用確定的評(píng)價(jià)函數(shù)發(fā)現(xiàn)有效點(diǎn)。因此，在DEA測評(píng)下，不同決策單元的有效性往往被不同的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)所支撐，換言之，DEA評(píng)價(jià)效率的標(biāo)準(zhǔn)具有多重性，并不單一，或認(rèn)為是DEA方法的固有缺陷。

經(jīng)典DEA模型雖可區(qū)分有效與無效，但在DMU的全排序方面存在不足，主要是難以進(jìn)一步區(qū)分有效DMU。由此引發(fā)了一系列的研究工作，比如偏好錐模型、基于標(biāo)桿值排序、超效率模型以及交叉效率（Cross-Efficiency）模型，等等，均致力于樣本的全排序［3－6］。

交叉效率模型應(yīng)用較為廣泛［7－9］，不過，在計(jì)算層面尚存在一些問題亟待解決，比如，交叉效率非唯一性問題，這也是眾多交叉效率模型得以提出的主要原因［10］。本項(xiàng)研究考慮利用DEA生產(chǎn)可能集的交形式（Intersection Form）測算交叉效率，以處理交叉效率非唯一性問題。

一、交叉效率非唯一性問題

為處理DEA方法績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)的不一致性，并實(shí)現(xiàn)樣本全排序，DEA交叉效率概念及相應(yīng)測評(píng)模型得以提出。Sexton等利用決策單元自評(píng)、互評(píng)體系實(shí)現(xiàn)上述目的，所提出的交叉效率評(píng)價(jià)模型較早且具有代表性［6］。

所謂自評(píng)，是指決策單元按照經(jīng)典DEA模型的慣常做法評(píng)價(jià)自身效率狀況，一般而言，每一個(gè)決策單元都在容許范圍內(nèi)自主選擇于其最為有利的績效標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行自身效率的測評(píng)。設(shè)所觀測到的n個(gè)決策單元為：

其中xj為第j個(gè)決策單元的輸入列向量，而yj為其相應(yīng)的輸出列向量，j＝1，2，…，n。在規(guī)模報(bào)酬可變性假設(shè)下，輸出導(dǎo)向下的自評(píng)效率為如下BCC模型［2］的最優(yōu)值之倒數(shù)：

其中，列向量ω為輸入項(xiàng)權(quán)重，而列向量μ為輸出項(xiàng)權(quán)重；x0與y0分別表示目標(biāo)決策單元的輸入與輸出向量，而目標(biāo)決策單元為式（1）所示n個(gè)決策單元之一。

所謂互評(píng)，是指相互評(píng)價(jià)，不僅利用自身奉行的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)其它決策單元，也利用其它決策單元所奉行的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)自身。比如，若以目標(biāo)決策單元（xT0，yT0）T的標(biāo)準(zhǔn)測評(píng)第j個(gè)決策單元的輸出效率，則可得到交叉效率為：

其中，矩陣E的第i行第j列元素Eij是第i個(gè)決策單元在第j個(gè)決策單元所奉行績效評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下的效率值，i，j＝1，2，…，n。顯然，矩陣對(duì)角線上元素即自評(píng)效率，是利用經(jīng)典DEA模型比如式（2）核算得到的效率值；其它元素則是互評(píng)效率值，利用式（3）計(jì)算得到。

交叉評(píng)價(jià)的一個(gè)關(guān)鍵性難點(diǎn)問題是Eij并不唯一，因決策單元所奉行的績效評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)未必唯一，即自評(píng)問題（2）的最優(yōu)解未必唯一。現(xiàn)結(jié)合一個(gè)單輸入、單輸出條件下的輸出導(dǎo)向績效評(píng)價(jià)問題予以說明，樣本如圖1中A－E點(diǎn)所示，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為輸入量，而縱坐標(biāo)為輸出量，并假設(shè)生產(chǎn)技術(shù)狀況具體表現(xiàn)為BCC生產(chǎn)可能集，其弱有效邊界以粗線進(jìn)行了標(biāo)記。

若采用B點(diǎn)所奉行的績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)測評(píng)其它決策單元的效率，可供選擇的標(biāo)準(zhǔn)無窮之多，比如，BC直線是一種可行標(biāo)準(zhǔn)，AB直線是一種可行標(biāo)準(zhǔn)，任何介于兩者之間的直線如BF直線也是一種可行標(biāo)準(zhǔn)，分別與一個(gè)不同的線性評(píng)價(jià)函數(shù)相對(duì)應(yīng)。這意味著他評(píng)效率并不唯一。

圖1 交叉效率測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)的非唯一性圖

Sexton等利用二次目標(biāo)函數(shù)（Secondary Objective Function）處理他評(píng)效率非唯一性問題。其中，常用的二次目標(biāo)函數(shù)有兩種，其一為壓制形式（Aggressive Formulation），總是選擇績效標(biāo)準(zhǔn)最小化其它決策單元的效率值；其二為親和形式（Benevolent Formulation），傾向于選擇績效標(biāo)準(zhǔn)最大化其它決策單元的效率值［6］。比如，若B點(diǎn)選擇直線AB所表征績效標(biāo)準(zhǔn)測評(píng)其右側(cè)點(diǎn)的效率，則可使得后者在B點(diǎn)測評(píng)下的交叉效率取到最小值；與此相反，若選擇直線BC所表征的測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)，則可使得后者效率取到最大值。

需要指出的是，若評(píng)價(jià)對(duì)象不同，給定效率標(biāo)準(zhǔn)所表征出的壓制或親和屬性未必一致。比如，給定AB所表征的績效標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于B點(diǎn)右側(cè)點(diǎn)具有壓制意義，而對(duì)于其左側(cè)點(diǎn)卻具有親和性質(zhì)。

不難發(fā)現(xiàn)，不論采用壓制形式還是親和形式進(jìn)行交叉效率評(píng)價(jià)，其測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)總是與DEA生產(chǎn)可能集的不同前沿超平面相聯(lián)系。欲認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)，需考慮DEA生產(chǎn)可能集的交形式，在該種形式下，生產(chǎn)可能集的前沿面具有確定性。

二、DEA生產(chǎn)可能集的交形式

一個(gè)基本事實(shí)是，經(jīng)典DEA模型績效評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)是由弱DEA有效的決策單元所確立的，與非弱DEA有效的決策單元并無多大關(guān)聯(lián)。因此，交叉效率的標(biāo)準(zhǔn)也主要決定于弱有效決策單元，非弱有效決策單元只能接受、選擇標(biāo)準(zhǔn)。類似地，DEA生產(chǎn)可能集的交形式也僅決定于弱有效決策單元。考慮及此，可利用集合的交形式測評(píng)交叉效率。

DEA不僅僅可評(píng)價(jià)相對(duì)效率，還可以在非參數(shù)意義下描述生產(chǎn)技術(shù)關(guān)系，其基本工具就是DEA生產(chǎn)可能集。作為一個(gè)數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型，DEA生產(chǎn)可能集總是基于若干假設(shè)條件，或稱公理體系。關(guān)于不同公理的確切含義，可參考魏權(quán)齡教授關(guān)于DEA的專著［11］。

比如，滿足平凡性、凸性、錐性、無效性、最小性假設(shè)的CCR生產(chǎn)可能集表現(xiàn)為如下和形式（Sum Form）：

就式（5）所示生產(chǎn)可能集而言，其有效性元素（還有其它部分元素）均可表示為樣本點(diǎn)的非負(fù)加權(quán)和形式，故稱該種形式為生產(chǎn)可能集的和形式?？紤]到該集合為凸集，利用凸集等價(jià)定理，一定可以表示為所有包含它的半空間的交集形式［12］，即該集合還具有如下交形式：

在維度較高的情況下，確定生產(chǎn)可能集的交形式并不容易。所幸，魏權(quán)齡等人已提出成熟的算法，且開發(fā)出相應(yīng)軟件，方便于生產(chǎn)可能集的形式轉(zhuǎn)換［13－14］。

顯然，交形式可用以測評(píng)DEA效率。在交形式下，很容易判斷給定輸入下輸出是否滿足弱有效性，或給定輸出下的輸入是否滿足弱有效性，也可評(píng)估一個(gè)無效目標(biāo)決策單元效率改進(jìn)的余地，還可據(jù)此開發(fā)所謂的DEA測評(píng)機(jī)，用于數(shù)據(jù)挖掘［15］。另外，因交形式更為直接地界定了生產(chǎn)技術(shù)關(guān)系，便于后續(xù)經(jīng)濟(jì)分析與應(yīng)用［14］。比如，可用于測評(píng)規(guī)模報(bào)酬與擁擠（Congestion）狀況［16］。又如，便于計(jì)算滿足最小歐式距離的投影，確保無效決策單元在輸入、輸出方面都得到快捷的改進(jìn)［14］。

需要指出的是，DEA生產(chǎn)可能集的交形式具有確定性。給定一個(gè)凸集，包含該凸集的半空間有無窮之多，對(duì)于某些特殊凸集，可能需要無窮多個(gè)半空間才能以交形式界定該凸集。但是，考慮到經(jīng)典DEA生產(chǎn)可能集的特征，只需要有限個(gè)半空間即可確定該集合。而且，針對(duì)經(jīng)典DEA生產(chǎn)可能集，總是可找出滿足最小個(gè)數(shù)的半空間即確定該集合，在這一意義下，滿足條件的半空間總是確定的，故稱DEA生產(chǎn)可能集的交形式具有確定性特征。因?yàn)槊恳粋€(gè)半空間都確定了DEA生產(chǎn)可能集的一個(gè)前沿面，與一個(gè)線性評(píng)價(jià)函數(shù)相對(duì)應(yīng)，可根據(jù)該形式核算交叉效率。

三、基于生產(chǎn)可能集交形式的交叉效率模型

在給定假設(shè)條件下，由樣本決定的DEA生產(chǎn)可能集是確定的，或者說，其前沿超平面形式是確定的。設(shè)由n個(gè)決策單元所確定的DEA生產(chǎn)可能集其交形式中含有κ個(gè)前沿超平面，也就是說，我們至少需要κ個(gè)半空間取交集才能確定該集合。于是，針對(duì)每一個(gè)決策單元，可能存在κ個(gè)績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)。

需要指出的是，未必每一個(gè)前沿超平面都構(gòu)成績效測評(píng)的標(biāo)準(zhǔn)。特別是弱有效而非有效性前沿超平面不一定能構(gòu)成績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)，需要做出取舍。若存在κ個(gè)績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)，則針對(duì)所觀測到的樣本可得到交叉效率矩陣為：

矩陣EIF的第i行第j列元素eij是第i個(gè)決策單元在第j個(gè)績效評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下的效率值，i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，κ。在每一個(gè)績效標(biāo)準(zhǔn)下，效率是唯一的，于是，就每一行元素求其算術(shù)平均，即得到每一個(gè)決策單元的交叉效率值：

上述計(jì)算均等地對(duì)待每一個(gè)績效評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)然，還可以按照標(biāo)桿值做區(qū)分性對(duì)待，此時(shí)就式（8）進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整即可。如此處理，相當(dāng)于確立了交叉效率矩陣E與EIF之間的內(nèi)在聯(lián)系。

就CCR模型、BCC模型等經(jīng)典DEA模型而言，輸入導(dǎo)向或輸出導(dǎo)向下的效率值事實(shí)上反映了目標(biāo)決策單元與給定前沿面的位置關(guān)系。而交叉效率值則在一定程度上反映了目標(biāo)決策單元距離所有前沿面的位置關(guān)系，更為精準(zhǔn)地刻畫了決策單元在DEA生產(chǎn)可能集中的幾何位置。

四、計(jì)算步驟與案例

在交形式下，DEA生產(chǎn)可能集的前沿面?zhèn)€數(shù)是有限的，且形式是確定的。因此，可考慮利用這有限個(gè)確定的前沿超平面對(duì)每一個(gè)決策單元進(jìn)行效率的全方位測評(píng)。具體而言，本文按照如下程序核算基于DEA生產(chǎn)可能集交形式的交叉效率值。

第一，按照和形式、交形式轉(zhuǎn)換方法［13］，確定給定DEA生產(chǎn)可能集的交形式，給出其全部前沿超平面的方程。其中，所求取的前沿超平面滿足個(gè)數(shù)最小條件，即若剔除其中任意一個(gè)前沿超平面，則由剩余前沿超平面所界定的半空間的交集將不再等價(jià)于原生產(chǎn)可能集。就經(jīng)典DEA生產(chǎn)可能集而言，交形式所含前沿超平面?zhèn)€數(shù)必然是有限的。

第二，視每一前沿超平面方程為一個(gè)效率評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，即線性評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，利用效率指標(biāo)的具體形式計(jì)算每一個(gè)決策單元在不同評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下效率值，得到交叉效率矩陣。

第三，核算交叉效率值的平均值，定義其為交叉效率指標(biāo)值。這里可區(qū)分兩種不同的均值運(yùn)算，其一是簡單算術(shù)平均數(shù)，等同地對(duì)待每一個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，將同一個(gè)決策單元在不同評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下的效率值進(jìn)行簡單算術(shù)平均運(yùn)算；其二則是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，根據(jù)標(biāo)桿值就每個(gè)前沿超平面進(jìn)行賦權(quán)，然后計(jì)算效率的加權(quán)算術(shù)平均值。

現(xiàn)利用交叉效率DEA模型考察中國1978—2014年間宏觀經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)狀況，決策單元由年度就業(yè)人數(shù)、資本存量、國內(nèi)生產(chǎn)總值表征，其中年度就業(yè)人數(shù)（L）、資本存量（K）為輸入，而國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為輸出，數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 1978—2014年間中國宏觀經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)相關(guān)指標(biāo)數(shù)據(jù)

假設(shè)生產(chǎn)技術(shù)關(guān)系滿足規(guī)模報(bào)酬不變性（Constant Return to Scale，CRS），在給定樣本下，表現(xiàn)為一個(gè)CCR生產(chǎn)可能集。先利用DEA生產(chǎn)可能集的形式轉(zhuǎn)換方法確定其交形式為IFCCR＝｛z｜Az≥0｝，其中zT＝（L，K，GDP），而

在本例中，CCR生產(chǎn)可能集的前沿面由13個(gè)前沿超平面所構(gòu)成，其中含有效前沿超平面11個(gè)，非有效性但滿足弱有效性的前沿面2個(gè)。需要指出的是，矩陣A的每一行都是一個(gè)前沿超平面的法向量，可界定一個(gè)前沿超平面，而集合條件中的每一個(gè)不等式則界定了一個(gè)半空間，13個(gè)半空間的交集則界定了CCR生產(chǎn)可能集。

每一個(gè)前沿超平面都可作為績效測評(píng)的參照標(biāo)準(zhǔn)，因超平面均過坐標(biāo)原點(diǎn)，故唯一決定于其法向量。就每一個(gè)決策單元，分別計(jì)算其在13個(gè)效率標(biāo)準(zhǔn)下的產(chǎn)出效率，進(jìn)而計(jì)算其算術(shù)平均數(shù)，并定義其為簡單交叉效率值，結(jié)果如表2所示。

上述操作無差異地對(duì)待每一個(gè)績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)，基于簡單算術(shù)平均值核算交叉效率值。若區(qū)別對(duì)待不同績效標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)果略有不同。為簡單起見，可基于標(biāo)桿值就績效測評(píng)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行賦權(quán)，全部13個(gè)前沿超平面的權(quán)重向量為：

表2 1978—2014年間中國宏觀經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)不同效率指標(biāo)值

各前沿超平面的權(quán)重決定于其標(biāo)桿值，即究竟有多少?zèng)Q策單元選擇以該標(biāo)準(zhǔn)為績效測評(píng)的標(biāo)準(zhǔn)，或者說，選擇將產(chǎn)出投影擱置于該超平面之上，如圖2所示。

圖2 年度資本產(chǎn)出比與勞動(dòng)產(chǎn)出比圖

利用該權(quán)重向量就全部交叉效率進(jìn)行加權(quán)算術(shù)平均運(yùn)算，即得到每一個(gè)決策單元的加權(quán)交叉效率值，具體結(jié)果如表2所示。為對(duì)比起見，計(jì)算了各決策單元的CCR輸出效率指標(biāo)值，結(jié)果參見表2。

不難看出，相較CCR效率而言，交叉效率值具有更高的區(qū)分度，可實(shí)現(xiàn)全部37個(gè)決策單元的全排序，其中以2007年交叉效率值為最高，而1978年最低。而且，交叉效率表現(xiàn)出更為明顯的趨勢與階段性特征，其中，2007年前為宏觀經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)效率整體上升期，之后則逐年有所下降。

五、結(jié) 論

DEA效率具有相對(duì)性，每一個(gè)決策單元總是在可容許的范圍內(nèi)選擇對(duì)其最為有利的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，以獲得盡可能大的效率值。因此，在給定假設(shè)條件下測評(píng)DEA效率時(shí)往往存在多種標(biāo)準(zhǔn)。現(xiàn)有交叉效率模型將目標(biāo)決策單元置于所有其它決策單元所奉行的效率標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行績效測度，考慮到每個(gè)決策單元所奉行的標(biāo)準(zhǔn)未必單一，特別是有效決策單元往往存在多個(gè)支持其有效性的標(biāo)準(zhǔn)，因此交叉效率值往往不唯一。這是現(xiàn)有交叉效率測度模型需處理的基本問題。

在本項(xiàng)研究中，同樣需要計(jì)算目標(biāo)決策單元在不同效率標(biāo)準(zhǔn)下的效率值，不同標(biāo)準(zhǔn)區(qū)別于生產(chǎn)可能集的不同前沿超平面。我們所強(qiáng)調(diào)的在交形式下，DEA生產(chǎn)可能集的前沿超平面是確定的，因此交叉效率也是確定的。當(dāng)然，問題的難度在于第一步，即需要確定DEA生產(chǎn)可能集的交形式及相應(yīng)的前沿超平面方程。

概括而言，現(xiàn)有交叉效率模型是利用不同決策單元進(jìn)行交互評(píng)價(jià)，因每一個(gè)決策單元所實(shí)施的標(biāo)準(zhǔn)可能不唯一，從而產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的選擇問題。與此相區(qū)別，我們所考慮的交叉效率模型是基于DEA生產(chǎn)可能集交形式，交叉效率的特征主要體現(xiàn)在我們采用了集合全部而非單一的前沿超平面方程。在交形式下，生產(chǎn)可能集的前沿超平面是客觀確定的，故相應(yīng)的交叉效率也具有客觀性與確定性。