韓霄翰, 李忠繼, 池茂儒
(1 華中光電技術(shù)研究所 武漢光電國(guó)家研究中心, 武漢 430223;2 中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司 科學(xué)技術(shù)研究院, 成都 610031;3 西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都 610031)
近年來(lái),中低速磁浮軌道交通系統(tǒng)受到廣泛關(guān)注,隨著長(zhǎng)沙中低速磁浮機(jī)場(chǎng)線的運(yùn)營(yíng)開(kāi)通,標(biāo)志著我國(guó)中低速磁浮關(guān)鍵技術(shù)經(jīng)歷數(shù)十年的發(fā)展已經(jīng)較為成熟。但中低速磁浮車(chē)軌耦合振動(dòng)的問(wèn)題一直困擾著中低速磁浮系統(tǒng)投入商業(yè)運(yùn)行,場(chǎng)區(qū)和道岔處軌道梁,其自重小、剛度小、結(jié)構(gòu)自振頻率高、結(jié)構(gòu)阻尼低,易發(fā)生變形,因此采用主動(dòng)控制的車(chē)輛懸浮系統(tǒng),當(dāng)懸浮控制適應(yīng)能力較差,易產(chǎn)生劇烈車(chē)軌耦合振動(dòng),在靜態(tài)或車(chē)輛低速運(yùn)行時(shí),易使懸浮架產(chǎn)生自激振動(dòng),由于中低速磁浮懸浮間隙小,一般僅為8 mm[1],因此懸浮架的自激振動(dòng)和軌道梁自振相耦合后會(huì)產(chǎn)生較為嚴(yán)重的后果,會(huì)導(dǎo)致列車(chē)懸浮失穩(wěn),甚至懸浮失效,使車(chē)輛吸死在軌道梁上。如何抑制中低速磁浮列車(chē)和軌道梁的耦合振動(dòng)一直以來(lái)是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。
近年來(lái)中低速磁浮交通越來(lái)越多的投入商業(yè)運(yùn)營(yíng),因此車(chē)軌耦合振動(dòng)問(wèn)題亟待解決。國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究也層出不窮,大多數(shù)學(xué)者研究[1-2]磁浮車(chē)橋動(dòng)力相互作用時(shí)懸浮電磁力采用等效質(zhì)量和剛度表達(dá),該方法忽略了較為重要的懸浮控制器的影響。文獻(xiàn)[3-4]僅僅是探究了軌道梁剛度對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)的影響,而且大多是對(duì)車(chē)輛以不同速度下過(guò)軌道梁情況進(jìn)行分析,并沒(méi)有對(duì)車(chē)輛靜態(tài)懸浮時(shí)的耦合振動(dòng)特性進(jìn)行探究。例如文獻(xiàn)[5-7]建立了較為完善的考慮懸浮控制車(chē)軌耦合動(dòng)力學(xué)模型,對(duì)磁浮車(chē)輛過(guò)彈性軌道梁的車(chē)軌動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了分析。因此目前國(guó)內(nèi)外對(duì)中低速磁浮耦合振動(dòng)的研究大多集中在懸浮控制系統(tǒng)和載荷質(zhì)量以及軌道梁剛度上,沒(méi)有建立一個(gè)較為準(zhǔn)確的模型從軌道梁角度系統(tǒng)探究其結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)影響,且研究大多集中在不同速度下的車(chē)軌耦合振動(dòng)的動(dòng)力響應(yīng),而車(chē)軌耦合振動(dòng)較為劇烈是發(fā)生在低速通過(guò)彈性軌道梁或靜態(tài)起伏時(shí)[8],并沒(méi)有去分析靜態(tài)懸浮下軌道梁結(jié)構(gòu)的變化對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)的影響。
為探究軌道梁結(jié)構(gòu)對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)的影響,通過(guò)建立“車(chē)輛-控制器-軌道梁”耦合動(dòng)力學(xué)模型,在車(chē)輛靜態(tài)懸浮時(shí),通過(guò)懸浮架的振動(dòng)分岔圖,仿真再現(xiàn)劇烈的車(chē)軌耦合振動(dòng),對(duì)嚴(yán)重耦合振動(dòng)的特性進(jìn)行分析,系統(tǒng)的研究了軌道梁結(jié)構(gòu)各個(gè)參數(shù)對(duì)中低速磁浮車(chē)軌耦合振動(dòng)的影響及抑振規(guī)律。在工程實(shí)際中,可以通過(guò)對(duì)耦合振動(dòng)較為劇烈處的軌道梁增加沙袋等輔助措施改變軌道梁結(jié)構(gòu)力學(xué)特性,抑制因控制系統(tǒng)引起的車(chē)軌耦合振動(dòng)。
中低速磁浮列車(chē)因帶有主動(dòng)控制的懸浮系統(tǒng)的特點(diǎn),易發(fā)生控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題,也是引發(fā)車(chē)軌耦合振動(dòng)的關(guān)鍵因素[2],因此電磁懸浮系統(tǒng)的準(zhǔn)確建立是研究磁浮車(chē)軌耦合振動(dòng)的核心要素,軌道梁模型需重分考慮到車(chē)軌耦合相互作用關(guān)系,建立車(chē)軌耦合動(dòng)力學(xué)模型時(shí),為了計(jì)算方便需對(duì)一定次要因素進(jìn)行簡(jiǎn)化,根據(jù)文獻(xiàn)[4]磁浮車(chē)軌耦合振動(dòng)大多在垂向上較為劇烈,因此在建立車(chē)軌耦合動(dòng)力學(xué)模型時(shí),建立較為詳細(xì)的垂向動(dòng)力學(xué)模型,對(duì)橫向動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。
根據(jù)長(zhǎng)沙EMS中低速磁浮列車(chē)模型參數(shù),建立磁浮列車(chē)動(dòng)力學(xué)模型。單節(jié)磁浮車(chē)輛由5個(gè)懸浮模塊組成,每個(gè)懸浮模塊由左右兩個(gè)懸浮側(cè)架,懸浮側(cè)架通過(guò)兩組抗側(cè)滾梁與迫導(dǎo)向機(jī)構(gòu)相連,每組抗側(cè)滾梁間由垂向吊桿相連。每個(gè)懸浮側(cè)架下有兩個(gè)電磁懸浮控制模型,產(chǎn)生電磁懸浮力作用于軌道梁上。車(chē)體由5組滑臺(tái)支撐,每個(gè)滑臺(tái)下方由空氣彈簧支撐,空氣彈簧安裝在左右懸浮側(cè)架上,每個(gè)懸浮側(cè)架前后由兩個(gè)空氣彈簧支撐。為簡(jiǎn)化模型,對(duì)于迫導(dǎo)向機(jī)構(gòu)只考慮其物理模型,整車(chē)均視為剛體,左右懸浮側(cè)架的電磁線圈簡(jiǎn)化為兩組。其結(jié)構(gòu)如圖1所示。整車(chē)動(dòng)力學(xué)模型共考慮194個(gè)自由度。
圖1 車(chē)輛垂向結(jié)構(gòu)示意圖
圖1中MC為車(chē)體質(zhì)量;IC為車(chē)體慣量;ZC為車(chē)體垂向位移;Zb為懸浮架垂向位移;Fe為懸浮電磁力;α為車(chē)體點(diǎn)頭角位移;ks為二系空氣彈簧剛度;Cs為二系空氣彈簧阻尼。
圖2 懸浮模塊受力圖
懸浮模塊其與軌道梁垂向耦合動(dòng)力學(xué)方程為:
(1)
式中:g為重力加速度;Fe為電磁懸浮力;Mb為懸浮模塊的質(zhì)量;Fkcg為懸浮架抗側(cè)滾梁施加給懸浮模塊的垂向力;Fsp為空氣彈簧施加的垂向力。
采用雙環(huán)PID控制的懸浮控制器基本結(jié)構(gòu)如圖3所示。
圖3 雙環(huán)PID懸浮控制器基本結(jié)構(gòu)
為了避免電流環(huán)控制本身造成數(shù)字計(jì)算延遲,只考慮采用簡(jiǎn)單的控制形式,這里采用的具體算法如下:
U=kc1(Uc-kc2I)
(2)
U為控制器輸出電壓;kc1為電流環(huán)控制參數(shù);Uc為PID控制器的輸出電壓;kc2電流環(huán)控制器電阻;I為線圈電流。
在前級(jí)控制子系統(tǒng)中,根據(jù)采集到的間隙和加速度信號(hào),采用以下PID控制律對(duì)輸出電壓進(jìn)行調(diào)節(jié)
U=RI+2k(I/z)′
(3)
(4)
聯(lián)立式(2)、式(3)和式(4),于是有
(5)
對(duì)式(5)求導(dǎo)可得
(6)
軌道梁的自振和受載荷下的擾度變化,均會(huì)導(dǎo)致懸浮間隙發(fā)生改變,從而影響車(chē)軌耦合相互作用關(guān)系,因此軌道梁考慮為彈性的Euler-Bernoulli梁,系統(tǒng)方程可以描述為
(7)
式中:EI為軌道梁的抗彎剛度;y(x,t)為軌道梁的動(dòng)撓度;ρg為軌道的密度;Fe(x,t)為電磁力對(duì)軌道的作用力,Fs(x,t)為支座對(duì)軌道梁的作用力。為了數(shù)值計(jì)算的方便,采用模態(tài)疊加法,將軌道梁方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組。首先假設(shè)其解為
(8)
式中:Yn(x)是給定邊界條件下的固有頻率pn所對(duì)應(yīng)的正則振型函數(shù),qn(x)為未知的時(shí)間函數(shù),即正則坐標(biāo)(廣義坐標(biāo))。Euler-Bernoulli梁的固有頻率[10]為:
(9)
式中,n=1,2,3…,Euler-Bernoulli梁的振型函數(shù)為
(10)
則彈性軌道梁的微分方程可以寫(xiě)為:
(11)
式中:qn為廣義坐標(biāo),kn為模態(tài)剛度,cn為模態(tài)阻尼。
懸浮控制器參數(shù)間隙變化速度反饋參數(shù)kp與車(chē)軌耦合振動(dòng)狀態(tài)密切相關(guān)[3-5],通過(guò)車(chē)軌耦合振動(dòng)仿真程序,對(duì)中低速磁浮靜態(tài)懸浮進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算,為使圖像更為直觀,得到以控制參數(shù)kp系數(shù)(kp/1 000)為自變量的懸浮架振動(dòng)分岔圖,見(jiàn)圖4。分析不同kp系數(shù)下懸浮架的振動(dòng)幅值,可以看出控制參數(shù)kp系數(shù)在A、B、C3個(gè)非穩(wěn)定平衡區(qū)間取值時(shí),會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)幅值較大的車(chē)軌耦合振動(dòng)。
圖4 參數(shù)kp為自變量的分岔圖
進(jìn)一步分析圖中產(chǎn)生極限環(huán)幅值較大的區(qū)域,對(duì)A、B、C3個(gè)區(qū)間上的懸浮架和軌道梁的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析,分析磁浮車(chē)軌耦合振動(dòng)根據(jù)文獻(xiàn)[10]取懸浮架和軌道梁位移響應(yīng),3個(gè)區(qū)間上車(chē)軌耦合振動(dòng)的位移響應(yīng)如圖5所示。
圖5和圖6給出了車(chē)軌耦合振動(dòng)的位移響應(yīng)結(jié)果,區(qū)間A產(chǎn)生的非穩(wěn)定收斂的穩(wěn)態(tài)振動(dòng),耦合振動(dòng)頻率較低,懸浮架振動(dòng)發(fā)生幅值為8 mm的周期振動(dòng),區(qū)間B產(chǎn)生的車(chē)軌耦合振動(dòng),穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)最終幅值為2 mm的周期振動(dòng),振動(dòng)頻率較高,軌道梁的振動(dòng)幅值逐漸趨于平衡點(diǎn),區(qū)間C上懸浮架振動(dòng)幅值逐漸發(fā)散,振動(dòng)頻率較高。因此3個(gè)區(qū)間上的車(chē)軌耦合振動(dòng)特性不相同,在分析軌道梁結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)影響時(shí),需分別對(duì)3個(gè)區(qū)間上的車(chē)軌耦合振動(dòng)影響規(guī)律進(jìn)行探究。
圖5 懸浮架位移響應(yīng)
圖6 軌道梁位移響應(yīng)
根據(jù)軌道梁固有圓頻率計(jì)算公式:
(12)
式中:E為軌道梁彈性模量;I為截面慣量;Ar為橫截面積;ρ為材料密度。研究車(chē)軌耦合振動(dòng)問(wèn)題時(shí)通常只考慮軌道梁前三階垂向固有頻率對(duì)車(chē)橋耦合振動(dòng)的影響[5],忽略高階振動(dòng)的影響,根據(jù)式(12)軌道梁固有頻率與軌道梁剛度EI和線密度ρAr以及跨度相關(guān),而工程實(shí)際中軌道梁跨度較難改變,線密度和剛度可以通過(guò)給軌道梁增重,以及安裝抑振裝置改變。因此分析軌道梁結(jié)構(gòu)對(duì)耦合振動(dòng)影響,基于建立數(shù)值分析模型,僅探究軌道梁結(jié)構(gòu)剛度和線密度對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)的影響。
為了較為系統(tǒng)研究軌道梁各個(gè)參數(shù)對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)的影響,為了能大致得到規(guī)律性結(jié)果,各個(gè)參數(shù)變化區(qū)域取值較寬,分別對(duì)截面積在0.05 m2到2 m2,軌道梁密度在1 000 kg/m3到9 000 kg/m3之間取值,分別計(jì)算在A、B、C3個(gè)區(qū)間上對(duì)懸浮架振動(dòng)分岔圖的影響規(guī)律,計(jì)算結(jié)果如圖7~圖8所示。
圖7 截面積為自變量的分岔圖
圖8 材料密度為自變量的分岔圖
根據(jù)圖7~圖8可以看出在區(qū)間A上的耦合振動(dòng)時(shí),在單一改變截面積或材料密度時(shí),對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)的影響也較小,隨著線密度的增大,極限環(huán)幅值逐漸減小,懸浮架振動(dòng)頻率較低在3 Hz左右,幅值減小幅度不大。當(dāng)控制參數(shù)kp較大,懸浮架發(fā)生幅值較大或幅值發(fā)散的失穩(wěn)振動(dòng)時(shí),隨著軌道梁線密度的增大,懸浮架振動(dòng)幅值先逐漸增大,當(dāng)線密度繼續(xù)增大時(shí),懸浮架的自激振動(dòng)又逐漸收斂。
軌道梁剛度為EI,因此通過(guò)軌道梁截面慣量和軌道梁彈性模量來(lái)改變軌道梁剛度[9],截面慣量取值范圍在0.05~2 m4,彈性模量取值范圍在1×1010Pa到8×1011Pa,圖9分別給出了固有頻率隨著剛度改變時(shí),截面慣量為自變量的分岔圖。
圖9 截面慣量為自變量的分岔圖
圖10中可以看出發(fā)生振動(dòng)頻率較低的失穩(wěn)振動(dòng)時(shí),截面慣量在區(qū)間內(nèi)變化對(duì)極限環(huán)幅值無(wú)明顯影響,且懸浮架的振動(dòng)頻率較小,控制參數(shù)kp較大,發(fā)生高頻率的大幅值或幅值發(fā)散的失穩(wěn)振動(dòng)時(shí),截面慣量在0.2~0.6范圍內(nèi)極限環(huán)幅值較大,易出現(xiàn)懸浮架失穩(wěn)振動(dòng),懸浮架振動(dòng)在分岔處的頻率和軌道梁固有頻率接近,在該區(qū)間之外,極限環(huán)幅值較小。同樣懸浮架在分岔處的振動(dòng)頻率和軌道梁一階垂向固有頻率較為接近。
圖10 彈性模量為自變量的分岔圖
圖10中可以看出控制參數(shù)kp較低,發(fā)生振動(dòng)頻率較低的失穩(wěn)振動(dòng)時(shí),彈性模量在區(qū)間內(nèi)變化對(duì)極限環(huán)幅值無(wú)明顯影響,且懸浮架的振動(dòng)頻率較小,控制參數(shù)kp較大,發(fā)生高頻率大幅值或幅值發(fā)散的失穩(wěn)耦合振動(dòng)時(shí),彈性模量在1.2×1011~3×1011Pa范圍內(nèi)極限環(huán)幅值較大,易出現(xiàn)懸浮架失穩(wěn)振動(dòng),懸浮架振動(dòng)在分岔處的頻率和軌道梁固有頻率接近,在該區(qū)間之外,極限環(huán)幅值較小。同樣懸浮架在分岔處的振動(dòng)頻率和軌道梁一階垂向固有頻率較為接近。懸浮架振動(dòng)響應(yīng)隨著軌道梁剛度增加而減小,當(dāng)一階垂向固有頻率繼續(xù)增大后,軌道梁剛度增加對(duì)懸浮架振動(dòng)響應(yīng)基本無(wú)影響,和文獻(xiàn)[7]中一致。
為研究軌道梁固有頻率恒定時(shí),軌道梁結(jié)構(gòu)改變對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)的影響,通過(guò)調(diào)整軌道梁彈性模量和線密度的方式,使軌道梁的一階垂向彎曲固有頻率保持不變[11],為避免偶然因素影響,根據(jù)文獻(xiàn)[12]長(zhǎng)沙磁浮線道岔主動(dòng)梁的一階垂彎頻率為25 Hz,正線上一般為10 Hz左右,因此分別在10 Hz、25 Hz兩種固有頻率下,探究不同軌道梁線密度和彈性模量組合下車(chē)軌耦合振動(dòng)響應(yīng)。計(jì)算工況如表1所示。
表1 Group A和Group B
圖11~圖12給出了軌道梁固有頻率為10 Hz時(shí),GroupA中5個(gè)工況下kp為自變量的懸浮架振動(dòng)分岔圖和頻譜圖。
圖11 Group A下kp的穩(wěn)定區(qū)間
圖12 Group A下kp區(qū)間的頻譜圖
結(jié)合圖11、圖12,軌道梁一階垂彎頻率為10 Hz時(shí),工況1和工況2的穩(wěn)定區(qū)間較小??刂茀?shù)kp較小時(shí),軌道梁彈性模量和線密度配比對(duì)穩(wěn)定區(qū)間影響不大,變化規(guī)律相同,參數(shù)kp較大極限環(huán)幅值逐漸增大,工況3和5的穩(wěn)定區(qū)間最大,比工況1、2、4發(fā)生極限環(huán)幅值增大要晚,1、2、4無(wú)明顯區(qū)別。對(duì)于發(fā)生耦合振動(dòng)的頻率,kp較小發(fā)散極限環(huán)幅值較大的振動(dòng)時(shí),頻率都較小,小于5 Hz,參數(shù)kp較大時(shí)發(fā)生的耦合振動(dòng),頻率都位于30 Hz左右。因此實(shí)際工程中,根據(jù)控制參數(shù)引發(fā)的車(chē)軌耦合振動(dòng)類(lèi)型,適當(dāng)加減沙袋可以調(diào)節(jié)軌道梁剛度和線密度,從而對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)進(jìn)行有效抑制。
圖13、圖14中懸浮架振動(dòng)位移響應(yīng)結(jié)果表明,當(dāng)軌道梁一階垂向固有頻率25 Hz不變時(shí),和10 Hz相似,kp較小時(shí)引發(fā)的耦合振動(dòng)對(duì)不同軌道梁結(jié)構(gòu)條件下基本無(wú)變化,當(dāng)kp參數(shù)較大時(shí)不同工況下的穩(wěn)定區(qū)間略有差異,工況4下的穩(wěn)定區(qū)間較大,工況2和工況5的穩(wěn)定區(qū)間。
圖13 Group B下kp的穩(wěn)定區(qū)間
圖14 Group B下kp的頻譜圖
探究結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)的影響,使軌道梁一階垂向固有頻率保持在25 Hz不變,使軌道梁結(jié)構(gòu)阻尼比從0.001到0.1逐漸增大,計(jì)算結(jié)果如圖15~圖17所示。
圖15 阻尼比對(duì)區(qū)間A耦合振動(dòng)控制
圖16 阻尼比對(duì)區(qū)間B耦合振動(dòng)控制
圖17 阻尼比對(duì)區(qū)間C耦合振動(dòng)控制
結(jié)合圖15~圖17的振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果,車(chē)軌發(fā)生幅值較大的高頻耦合振動(dòng)時(shí),增大軌道梁結(jié)構(gòu)阻尼比后,結(jié)果可以得到,隨著軌道梁結(jié)構(gòu)阻尼比的增大軌道梁和懸浮架的振動(dòng)都能得到明顯抑制。車(chē)軌發(fā)生幅值逐漸發(fā)散的耦合振動(dòng)時(shí),隨著軌道梁阻尼比的增大懸浮架振動(dòng)幅值逐漸減小,圖中阻尼比較小時(shí),懸浮架振動(dòng)逐漸發(fā)散,上浮吸著在軌道梁上,當(dāng)阻尼比大于0.02后懸浮架振動(dòng)從失穩(wěn)振動(dòng)到穩(wěn)態(tài)等幅振動(dòng),工程實(shí)踐中對(duì)耦合振動(dòng)較大處的軌道梁內(nèi)部可以加裝一些阻尼材料,可以有效抑制車(chē)軌劇烈的耦合振動(dòng)。
軌道梁結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)的影響規(guī)律和與車(chē)軌發(fā)生耦合振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)特性有關(guān),基于以上分析,可以得出以下幾個(gè)結(jié)論。
(1)軌道梁固有頻率隨軌道梁結(jié)構(gòu)參數(shù)改變時(shí),能夠抑制控制器參數(shù)引起的車(chē)軌高頻耦合振動(dòng),無(wú)法抑制車(chē)軌低頻耦合振動(dòng)。
(2)軌道梁結(jié)構(gòu)改變時(shí),固有頻率不變,控制器參數(shù)較小引起的車(chē)軌耦合振動(dòng)不受軌道梁結(jié)構(gòu)改變的影響,當(dāng)控制參數(shù)較大時(shí),引發(fā)的車(chē)軌耦合振動(dòng),可以適當(dāng)調(diào)節(jié)剛度和線密度來(lái)抑制車(chē)軌耦合振動(dòng)。
(3)由控制器參數(shù)引起的車(chē)軌耦合共振中,當(dāng)軌道梁阻尼比大于0.02,能對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)產(chǎn)生抑制作用,因此增大軌道梁阻尼比到一定的范圍能明顯抑制車(chē)軌耦合振動(dòng)。