基于動態(tài)系統(tǒng)的機(jī)器人模仿學(xué)習(xí)方法研究

于建均，姚紅柯，左國玉，阮曉鋼，安碩

（1. 北京工業(yè)大學(xué) 信息學(xué)部，北京 100124; 2. 北京工業(yè)大學(xué) 計(jì)算智能與智能系統(tǒng)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100124）

目前，在機(jī)器人技術(shù)的研究中，如何使機(jī)器人具備類似于人類的智能行為已成為一大研究熱點(diǎn)[1]。而從人類學(xué)習(xí)中發(fā)展而來的模仿學(xué)習(xí)，作為機(jī)器人直接獲取知識和技能的一種方式，在機(jī)器人的智能性的提升方面越來越發(fā)揮出巨大的作用，越來越多地受到學(xué)術(shù)界的關(guān)注和研究[2-6]。一方面，相對于傳統(tǒng)的機(jī)器人編程控制，模仿學(xué)習(xí)將使機(jī)器人編程更加容易，提高了機(jī)器人的作業(yè)效率；另一方面，模仿學(xué)習(xí)賦予機(jī)器人獲取知識、學(xué)習(xí)知識的能力，使其更加具備智能性[7]。

機(jī)器人模仿學(xué)習(xí)一般分為3個步驟完成：示教過程、學(xué)習(xí)過程、再現(xiàn)過程。當(dāng)前，模仿學(xué)習(xí)的研究，主要集中在對學(xué)習(xí)過程的研究，已經(jīng)出現(xiàn)了多種模仿學(xué)習(xí)的算法用來實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的學(xué)習(xí)過程[8-11]。其中基于軌跡匹配的機(jī)器人模仿學(xué)習(xí)算法主要有高斯混合模型(GMM)[12]和高斯混合回歸 GMR(gaussian maxture regression)[12-13]、局部加權(quán)回歸LWR(locally weighted regression)[14-15]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)ANN(artificial neural networks)[16-17]等，這些算法的特點(diǎn)是將示教運(yùn)動軌跡數(shù)據(jù)建模為回歸過程，以期獲得控制策略指導(dǎo)機(jī)器人對示教運(yùn)動進(jìn)行再現(xiàn)。雖然基于軌跡匹配的回歸算法具有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)表征能力和抗噪能力，但是也存在泛化能力差、穩(wěn)定性差等缺點(diǎn)[18]。Ijspeert等[19]提出的一種基于動態(tài)運(yùn)動基元DMP(dynamic morement primitives)的機(jī)器人模仿學(xué)習(xí)方法。該方法將運(yùn)動行為軌跡建模為一組微分方程，并通過線性動態(tài)系統(tǒng)保證了目標(biāo)的全局穩(wěn)定性，可以從一個簡單的示教中學(xué)習(xí)較復(fù)雜的運(yùn)動行為，已有廣泛的使用[19-22]。然而，DMP對時間具有依賴性，使其對時間擾動較為敏感，穩(wěn)定性受到一定影響；而且泛化能力有限，其背后的物理意義也比較難于理解。

動態(tài)系統(tǒng)(DS)法[13,23]是近些年出現(xiàn)的一種對運(yùn)動數(shù)據(jù)建模的機(jī)器學(xué)習(xí)方法。DS可以表征更豐富的行為，可以在狀態(tài)空間的不同部分學(xué)習(xí)不同的運(yùn)動。然而，由于DS存在穩(wěn)定性的問題，常規(guī)的基于GMR、GPR(gaussian process regression)[24]以及LWR的回歸方法與DS結(jié)合也沒有實(shí)現(xiàn)在目標(biāo)點(diǎn)上的穩(wěn)定收斂[25]。其往往是找到關(guān)于系統(tǒng)的一個局部最優(yōu)模型，此局部最優(yōu)模型的約束條件無法保證系統(tǒng)收斂到穩(wěn)定的目標(biāo)點(diǎn)，仍然存在穩(wěn)定性差和泛化能力不足的問題。

針對以上問題，本文通過GMM將示教運(yùn)動建模為非線性DS，附加約束條件以確保DS的全局漸近收斂，將動態(tài)系統(tǒng)模型的參數(shù)學(xué)習(xí)問題轉(zhuǎn)化為求解一個約束優(yōu)化問題，通過優(yōu)化問題的求解得到DS的參數(shù)，獲得關(guān)于示教運(yùn)動的非線性DS模型，并將其作為控制策略應(yīng)用于機(jī)器人以實(shí)現(xiàn)對示教運(yùn)動的模仿。通過將動態(tài)系統(tǒng)方法引入模仿學(xué)習(xí)，并考慮其在目標(biāo)點(diǎn)處全局漸近收斂的約束條件，相對于基于軌跡匹配的機(jī)器人模仿學(xué)習(xí)方法，其除了具有較強(qiáng)的數(shù)據(jù)編碼能力和抗噪能力，而且可以保證生成的軌跡收斂到目標(biāo)點(diǎn)，避免了先前方法穩(wěn)定性差的問題。同時，從未示教區(qū)域開始的再現(xiàn)運(yùn)動軌跡也可以保證收斂到目標(biāo)點(diǎn)，泛化能力將大大提高。以7bot機(jī)械臂為實(shí)驗(yàn)對象，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)和機(jī)器人實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：基于DS的模仿學(xué)習(xí)方法再現(xiàn)生成的模仿軌跡具有全局漸近收斂的特點(diǎn)，從不同起始位置開始的生成軌跡最終都可以到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，學(xué)習(xí)得到的運(yùn)動模型在穩(wěn)定性和泛化能力兩方面表現(xiàn)較好。

1 基于動態(tài)系統(tǒng)的示教運(yùn)動建模

1.1 示教運(yùn)動的表示及動態(tài)系統(tǒng)模型

在機(jī)器人模仿示教者示教運(yùn)動的過程中，示教者通過直接或者間接的方式指導(dǎo)機(jī)器人手臂完成一次或多次的運(yùn)動，機(jī)器人通過其內(nèi)部的關(guān)節(jié)傳感器或者位置傳感器，或者是外部傳感器，如：Kinect視覺傳感，來捕獲關(guān)于示教運(yùn)動的相關(guān)信息。其中示教運(yùn)動的軌跡信息可以表示為如下的集合形式

1.2 基于統(tǒng)計(jì)方法的高斯混合模型建模動態(tài)系統(tǒng)

為了得到動態(tài)系統(tǒng)具體的表達(dá)形式，考慮使用基于統(tǒng)計(jì)方法的GMM來建立對于DS的概率描述/估計(jì)。高斯混合模型是一種有限混合模型，其通過有限的高斯函數(shù)的混合來建立對示教運(yùn)動數(shù)據(jù)的粗略的表示，同時消{除數(shù)}據(jù)的噪聲。給定一組次示教軌跡數(shù)據(jù)，GMM由以下概率密度函數(shù)表示

式(10)、(11)得到的動態(tài)系統(tǒng)表示為一組線性動態(tài)系統(tǒng)的非線性加權(quán)的形式，也即得到了關(guān)于示教運(yùn)動的動態(tài)系統(tǒng)模型的具體表達(dá)形式。

2 動態(tài)系統(tǒng)全局穩(wěn)定的充分條件

由以上得到的動態(tài)系統(tǒng)模型，為了保證動態(tài)系統(tǒng)模型在示教的目標(biāo)點(diǎn)具有全局收斂的特性以及提高其泛化能力，也即將在不同的初始點(diǎn)開始最終到達(dá)同一目標(biāo)點(diǎn)的模仿學(xué)習(xí)任務(wù)轉(zhuǎn)化為具有全局收斂的學(xué)習(xí)任務(wù)，則需要考慮其穩(wěn)定性問題。對于由定義的動態(tài)系統(tǒng)，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論：其在點(diǎn)處全局漸近穩(wěn)定的充分條件是存在一個連續(xù)可微的Lyapunov函數(shù)

為了得到式(10)中DS的穩(wěn)定條件，可以構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

由式(12)、(13)可以求得保證DS全局穩(wěn)定的充分條件

將式(14)作為DS的約束條件，則DS滿足全局收斂的特性。同時，考慮高斯混合模型的性質(zhì)和式(14)的條件，其共同組成了具有全局漸進(jìn)穩(wěn)定的動態(tài)系統(tǒng)的完整的約束條件。此后，需要求解動態(tài)系統(tǒng)模型的相應(yīng)參數(shù)，得到對于動態(tài)系統(tǒng)完整的描述。

3 動態(tài)系統(tǒng)參數(shù)學(xué)習(xí)

為了學(xué)習(xí)得到具有全局漸近穩(wěn)定的DS，需要對其參數(shù)進(jìn)行求解。由以上可知DS的未知參數(shù)為。本文通過將動態(tài)系統(tǒng)參數(shù)學(xué)習(xí)的過程轉(zhuǎn)化為求解一個非線性優(yōu)化問題，在保證模型全局漸近穩(wěn)定的約束條件下求解優(yōu)化問題來計(jì)算的最優(yōu)值。使用對數(shù)似然函數(shù)作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)

對于以上優(yōu)化問題，可以將其化為非線性規(guī)劃問題，借助于標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)化約束技術(shù)可以很好地解決，最終得到具有全局漸近穩(wěn)定的動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對于動態(tài)系統(tǒng)的完整描述。

4 機(jī)器人模仿學(xué)習(xí)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

在以上內(nèi)容的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了基于DS的機(jī)器人模仿學(xué)習(xí)系統(tǒng)。所設(shè)計(jì)的機(jī)器人模仿學(xué)習(xí)系統(tǒng)工作流程如圖1所示。在機(jī)器人模仿學(xué)習(xí)系統(tǒng)中，本文主要集中在對示教過程和學(xué)習(xí)過程的研究。

圖1 模仿學(xué)習(xí)系統(tǒng)工作流程Fig. 1 Workflow of imitation learning system

對應(yīng)于模仿學(xué)習(xí)的3個基本的步驟，模仿學(xué)習(xí)系統(tǒng)工作流程，首先，對于某個固定的模仿任務(wù)(如：繪畫或書寫、拿放物品、籃球投籃等任務(wù))，通過手把手地抓取機(jī)器人手臂末端執(zhí)行器進(jìn)行多次目標(biāo)點(diǎn)相對固定的軌跡示教，獲得示教軌跡數(shù)據(jù)；然后，將獲得的示教軌跡數(shù)據(jù)預(yù)處理后送入學(xué)習(xí)算法學(xué)習(xí)關(guān)于動態(tài)系統(tǒng)模型的參數(shù)，得到動態(tài)系統(tǒng)模型。最后，將動態(tài)系統(tǒng)模型作為機(jī)器人的控制策略，設(shè)置機(jī)器人手臂初始的運(yùn)動位置，結(jié)合機(jī)器人的控制系統(tǒng)完成對示教任務(wù)的模仿。

5 機(jī)器人模仿學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證基于動態(tài)系統(tǒng)的機(jī)器人模仿學(xué)習(xí)方法的有效性，在已設(shè)計(jì)的模仿學(xué)習(xí)系統(tǒng)的框架下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)和機(jī)器人實(shí)驗(yàn)研究。

5.1 機(jī)器人平臺和示教數(shù)據(jù)的獲取

實(shí)驗(yàn)中的機(jī)器人平臺是7bot機(jī)械臂，如圖2所示。7bot機(jī)械臂是一款桌面應(yīng)用級的機(jī)械臂，也是一款6軸的全金屬智能機(jī)械臂。借助于Processing和Arduino Due實(shí)現(xiàn)開發(fā)和控制，使用USB線與計(jì)算機(jī)之間完成數(shù)據(jù)通信，能夠?qū)崿F(xiàn)在三維空間的多種運(yùn)動，使用方便靈活。

實(shí)際中，對于示教數(shù)據(jù)的獲取，是在機(jī)械臂的運(yùn)動空間內(nèi)通過抓取7bot機(jī)械臂末端進(jìn)行次運(yùn)動軌跡示教。由機(jī)器臂自身攜帶的關(guān)節(jié)角度傳感器記錄運(yùn)動軌跡信息。另外，也可以通過在仿真環(huán)境中拖動虛擬機(jī)械臂，進(jìn)行示教并獲取示教數(shù)據(jù)。

具體地，實(shí)際中的示教數(shù)據(jù)是由上位機(jī)程序處理示教軌跡信息，得到關(guān)于(機(jī)械臂末端執(zhí)行)器在笛卡爾坐標(biāo)系中的位置，即為示教數(shù)據(jù)。對應(yīng)于算法中的表述，經(jīng)過計(jì)算，對于示教數(shù)據(jù)有、。

圖2 7bot機(jī)械臂Fig. 2 7bot manipulator

而對于具體的運(yùn)動軌跡的示教，模仿學(xué)習(xí)示教過程如圖3所示。示教者通過抓取機(jī)械臂末端進(jìn)行運(yùn)動示教，此運(yùn)動可以是一個拿放物品的運(yùn)動。圖中的幾個關(guān)鍵子過程可以說明整個示教過程是如何完成的，黑色的圓點(diǎn)代表示教運(yùn)動的起始點(diǎn)，黑色的星形點(diǎn)代表示教運(yùn)動的終點(diǎn)或目標(biāo)點(diǎn)，實(shí)線代表已完成的示教運(yùn)動過程，虛線代表未完成的示教運(yùn)動過程。

圖3 模仿學(xué)習(xí)示教過程示意Fig. 3 Imitation learning demonstration process diagram

5.2 實(shí)驗(yàn)步驟

本文在MATLAB環(huán)境中進(jìn)行相關(guān)仿真實(shí)驗(yàn)，為了簡化實(shí)驗(yàn)操作的復(fù)雜性，主要在MATLAB環(huán)境中進(jìn)行二維平面的模仿學(xué)習(xí)仿真實(shí)驗(yàn)，具體步驟如下：

1)將實(shí)際采集的或在仿真環(huán)境中生成的多次示教運(yùn)動軌跡信息在MATLAB中進(jìn)行預(yù)處理并可視化，完成模仿學(xué)習(xí)的示教過程。

2)設(shè)置算法的相關(guān)初始值，將示教運(yùn)動數(shù)據(jù)由GMM模型編碼為一動態(tài)系統(tǒng)模型。

3)通過求解帶有全局漸近穩(wěn)定性約束條件的動態(tài)系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)集合，學(xué)習(xí)得到動態(tài)系統(tǒng)模型，完成模仿學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)過程。

4)由學(xué)習(xí)得到的動態(tài)系統(tǒng)模型生成新的模仿運(yùn)動軌跡，并分析生成的運(yùn)動軌跡的相關(guān)結(jié)果。

5)最后將學(xué)習(xí)得到的動態(tài)系統(tǒng)模型作為控制策略，結(jié)合機(jī)器人控制系統(tǒng)，完成對模仿學(xué)習(xí)過程中示教運(yùn)動的模仿。

5.3 仿真實(shí)驗(yàn)

本部分主要針對簡單示教運(yùn)動和較復(fù)雜示教運(yùn)動進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。通過將示教運(yùn)動軌跡與提出的方法生成的軌跡相比較來驗(yàn)證方法的有效性；并結(jié)合仿真環(huán)境中的兩連桿機(jī)械臂系統(tǒng)，展示最終的學(xué)習(xí)效果。其中，規(guī)定簡單示教運(yùn)動是具有一定彎曲度的類直線運(yùn)動。而較復(fù)雜示教運(yùn)動相比于簡單示教運(yùn)動其示教運(yùn)動體現(xiàn)出更多的示教變化，如二次及以上的曲線形狀的運(yùn)動、自相交運(yùn)動或者它們的組合等。

模仿學(xué)習(xí)性能的量化指標(biāo)可采用機(jī)械臂末端位置與目標(biāo)點(diǎn)的距離、示教與再現(xiàn)運(yùn)動的路徑模仿任務(wù)的時間與示教時間的差，以此來衡量。

5.3.1 簡單示教運(yùn)動實(shí)驗(yàn)

圖4給出了單次簡單示教的仿真結(jié)果。示教運(yùn)動代表的任務(wù)類型可以是繪畫任務(wù)中的一筆或者是拿和放物品的運(yùn)動等。圖4中，(a)為在MATLAB環(huán)境中簡單示教運(yùn)動軌跡，起點(diǎn)是，目標(biāo)點(diǎn)；(b)為使用文中的學(xué)習(xí)方法，模型生成的使機(jī)器人到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的平滑軌跡流圖，可見所有生成軌跡均收斂到目標(biāo)點(diǎn)；(c)、(d)中藍(lán)色虛線為在MATLAB中模擬的一個兩連桿機(jī)械臂系統(tǒng)，將學(xué)習(xí)得到的運(yùn)動模型作為控制策略，從不同起點(diǎn)執(zhí)行模仿的結(jié)果，起點(diǎn)分別為、。最終，機(jī)械臂末端與目標(biāo)點(diǎn)的距離分別為、。

在實(shí)際示教過程中，機(jī)器人可能需要多次示教。圖5分別為多次示教運(yùn)動軌跡和經(jīng)算法學(xué)習(xí)后生成的平滑的軌跡流圖，可見生成的軌跡均收斂到示教運(yùn)動的目標(biāo)點(diǎn)。

圖4 單次簡單示教運(yùn)動與仿真結(jié)果Fig. 4 Single simple demonstration motion and simulation results

圖5 多次簡單示教運(yùn)動與仿真結(jié)果Fig. 5 Multiple simple demonstration motion and simulation results

由以上可知，學(xué)習(xí)得到的運(yùn)動模型一方面具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性，軌跡均收斂到同一個目標(biāo)點(diǎn)。另一方面，由未示教區(qū)域開始的再現(xiàn)運(yùn)動也可以在具有一定模仿相似性的前提下到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)附近，誤差較小，體現(xiàn)出模型具有較好的泛化能力。

5.3.2 較復(fù)雜示教運(yùn)動實(shí)驗(yàn)

對于較復(fù)雜的示教運(yùn)動，相應(yīng)的仿真結(jié)果如圖6、7所示。其中圖6是對機(jī)器人進(jìn)行單次示教后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。單次示教的起點(diǎn)為，目標(biāo)點(diǎn)為。通過算法學(xué)習(xí)后，模型生成的軌跡均收斂到目標(biāo)點(diǎn)。類似地，分別從不同的起點(diǎn)和開始再現(xiàn)模仿，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6(c)、(d)所示。機(jī)械臂末端與目標(biāo)點(diǎn)的距離分別為、，誤差較小。

同樣地，在實(shí)際的機(jī)器人示教過程中，需要多次示教時，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。其中，經(jīng)過算法學(xué)習(xí)后，學(xué)習(xí)得到的運(yùn)動模型生成的軌跡收斂到同一個目標(biāo)點(diǎn)。

圖6 單次較復(fù)雜示教運(yùn)動與仿真結(jié)果Fig. 6 Single more complex demonstration motion and simulation results

圖7 多次較復(fù)雜示教運(yùn)動與仿真結(jié)果Fig. 7 Multiple more complex demonstration motion and simulation results

由此可知，學(xué)習(xí)得到的運(yùn)動模型對于此類較復(fù)雜的示教運(yùn)動也有不錯的學(xué)習(xí)效果，模型的穩(wěn)定性較好，未示教空間的泛化能力也較好。

5.4 機(jī)器人實(shí)驗(yàn)

此部分結(jié)合實(shí)際的7bot機(jī)器人系統(tǒng)來驗(yàn)證學(xué)習(xí)方法的有效性。

圖8、9分別展示了二維平面中單次示教時，機(jī)器人真實(shí)示教運(yùn)動軌跡和經(jīng)算法學(xué)習(xí)后的學(xué)習(xí)效果。紅色虛線為示教軌跡，藍(lán)色實(shí)線為生成軌跡。由圖可知，所有生成軌跡最終都收斂到目標(biāo)點(diǎn)，體現(xiàn)了運(yùn)動模型具有全局漸進(jìn)穩(wěn)定性的特點(diǎn)；但對于有交叉點(diǎn)的自相交運(yùn)動，其在交叉點(diǎn)的學(xué)習(xí)效果并不明顯，忽略了部分的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)效果有待提高。

圖8 二維真實(shí)示教運(yùn)動與學(xué)習(xí)效果Fig. 8 Two-dimensional real demonstration motion and learning results

圖9 自相交運(yùn)動與學(xué)習(xí)效果Fig. 9 Self-intersection motion and learning results

圖10 、11展示了通過7bot機(jī)械臂系統(tǒng)對示教運(yùn)動進(jìn)行模仿的結(jié)果。將學(xué)習(xí)得到的運(yùn)動模型作為控制策略，設(shè)定機(jī)器人的初始位置，由機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行模仿實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示其成功實(shí)現(xiàn)了對運(yùn)動的模仿，到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)附近。

圖10 機(jī)械臂模仿的結(jié)果Fig. 10 Results of the imitation of a manipulator

圖11 機(jī)械臂對于自相交運(yùn)動的模仿結(jié)果Fig. 11 Results of the imitation of a manipulator for selfintersection motion

同樣，圖12中分別為在三維空間中的示教及學(xué)習(xí)效果?？梢钥闯鰪钠鹗键c(diǎn)開始的三條生成軌跡均收斂到目標(biāo)點(diǎn)，表明運(yùn)動模型的穩(wěn)定性很好。圖13是7bot機(jī)械臂對示教運(yùn)動進(jìn)行模仿的結(jié)果，可見其也很好地完成了對示教運(yùn)動的模仿，到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)附近。

表1給出了機(jī)器人實(shí)驗(yàn)中機(jī)器人模仿性能的量化結(jié)果。可以看出運(yùn)動模仿結(jié)束后，機(jī)械臂末端距離目標(biāo)點(diǎn)較近，誤差較小；示教時間和模仿時間相差不大；但是在自相交運(yùn)動上軌跡長度之差比較大。

圖12 三維真實(shí)示教運(yùn)動與學(xué)習(xí)效果Fig. 12 Three-dimensional real demonstration motion and learning results

圖13 機(jī)械臂對于三維運(yùn)動的模擬結(jié)果Fig. 13 Results of the imitation of a manipulator for threedimensional motion

表1 機(jī)器人模仿性能的量化結(jié)果Table 1 Quantitative results of robot imitative performance

綜上實(shí)驗(yàn)結(jié)果，基于DS的模仿學(xué)習(xí)方法在簡單示教運(yùn)動、較復(fù)雜示教運(yùn)動以及真實(shí)示教運(yùn)動的學(xué)習(xí)上，通過附加穩(wěn)定性約束條件的方法，再現(xiàn)的生成軌跡均收斂到目標(biāo)點(diǎn)，一方面使運(yùn)動模型的穩(wěn)定性更強(qiáng)；另一方面，使運(yùn)動模型具有較好的泛化能力。

6 結(jié)束語

本文針對當(dāng)前機(jī)器人模仿學(xué)習(xí)過程中，運(yùn)動模仿穩(wěn)定性差，泛化能力不足，引入了一種基于動態(tài)系統(tǒng)的模仿學(xué)習(xí)方法來解決以上問題。首先，通過使用高斯混合模型將示教運(yùn)動建模為一動態(tài)系統(tǒng)；然后，考慮穩(wěn)定性問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出動態(tài)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分條件；最后，建立一個包含多約束的非線性優(yōu)化問題，迭代求解以得到最優(yōu)參數(shù)，進(jìn)而得到動態(tài)系統(tǒng)模型，并作為機(jī)器人的控制策略實(shí)現(xiàn)對示教運(yùn)動的模仿。從實(shí)驗(yàn)中可以得到以下結(jié)論：

1)文中提出的模仿學(xué)習(xí)方法在簡單示教運(yùn)動和較復(fù)雜的示教運(yùn)動的仿真實(shí)驗(yàn)中，學(xué)習(xí)得到的運(yùn)動模型從示教起始點(diǎn)生成的軌跡均能夠到目標(biāo)點(diǎn)，軌跡平滑，穩(wěn)定性好。

2)將示教運(yùn)動建模為動態(tài)系統(tǒng)，通過附加穩(wěn)定性約束條件，保證了學(xué)習(xí)得到的運(yùn)動模型生成的軌跡都收斂到目標(biāo)點(diǎn)。

3)文中的方法可以實(shí)現(xiàn)從單一到多次示教運(yùn)動的學(xué)習(xí)，對于未被示教的狀態(tài)空間其模型也可以生成平滑的軌跡收斂到目標(biāo)點(diǎn)，具有較強(qiáng)的泛化能力。

4)存在的問題是對于復(fù)雜的自相交的示教運(yùn)動，模型忽略了運(yùn)動的關(guān)鍵信息，運(yùn)動再現(xiàn)相似度將會稍差。同時，在其他機(jī)器人系統(tǒng)上的應(yīng)用還有待進(jìn)一步驗(yàn)證。對于非精密要求場合、目的為導(dǎo)向的機(jī)器人工作場合，此方法的通用性和穩(wěn)定性具有較大優(yōu)勢。

在未來，可以結(jié)合具有高精度控制的機(jī)器人來實(shí)現(xiàn)實(shí)時調(diào)整再現(xiàn)軌跡提高模仿的相似性；同時，可以通過提高系統(tǒng)的階次來學(xué)習(xí)復(fù)雜的自相交運(yùn)動；另外，結(jié)合快速控制技術(shù)可以將其擴(kuò)展到快速捕獲運(yùn)動目標(biāo)的領(lǐng)域。