三角函數(shù)與平面向量經(jīng)典題突破

■河南省平輿縣第一高級中學 張靈敏

三角函數(shù)和平面向量都是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是歷年高考考查的重點。三角函數(shù)與解三角形結(jié)合是高考考查的熱點問題，基本每年必考。一般考查三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式、正弦定理、余弦定理及三角恒等變形能力；平面向量主要考查平面向量加減法、平面向量共線定理、平面向量基本定理、平面向量數(shù)量積。

典例1(2019年高考全國Ⅰ卷理)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。

(1)求A；

分析：(1)利用正弦定理化簡已知邊角關(guān)系式可得b2+c2-a2=b c，從而可整理出cosA，根據(jù)A∈(0，π)可求得結(jié)果；(2)由正弦定理可得，然后利用sinB=sin(A+C)、兩角和差正弦公式可得關(guān)于sinC和cosC的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解方程即可求得結(jié)果。

解：(1)因為(sinB-sinC)2=sin2B-2 sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC，所以sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，由正弦定理可得b2+c2-a2=b c。

(2)方法一：因為2a+b=2c，由正弦定理得

方法二：因為 2a+b=2c，由正弦定理得2 sinA+sinB=2 sinC。

點評：本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對邊角關(guān)系式進行化簡，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系。

典例2(2019年高考全國Ⅲ卷理)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍。

解析：(1)由題設(shè)及正弦定理得sinA·

(2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△A B C由正弦定理得由于△ABC為銳角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°，由(1)知A+C=120°，所以30°＜C＜90°，故，從而

因此，△ABC面積的取值范圍是

點評：本題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及正弦定理的使用(此題也可以用余弦定理求解)，最后考查△ABC是銳角三角形這個條件的利用，考查得很全面，是一道很好的考題。

典例3(2019年高考江蘇卷)如圖1，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋A B(A B是圓O的直徑)。規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、Q A。規(guī)劃要求：線段PB、Q A上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑。已知點A、B到直線l的距離分別為A C和BD(C、D為垂足)，測得A B=10，A C=6，BD=12(單位：百米)。

(1)若道路PB與橋A B垂直，求道路PB的長。

(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處?并說明理由。

圖1

(3)在規(guī)劃要求下，若道路PB和Q A的長度均為d(單位：百米)。求：當d最小時，P、Q兩點間的距離。

解析：(1)如圖2，過A作A E⊥BD，垂足為E。

圖2

由已知條件得，四邊形A C D E為矩形，D E=B E=A C=6，A E=C D=8。

因為PB⊥A B，所以cos∠PBD=，所以，所以∠B A D為銳角。所以線段A D上存在到點O的距離小于圓O的半徑的點。因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求。

綜上，P和Q均不能選在D處。

(3)先討論點P的位置。

當∠O B P＜90°時，線段PB上存在到點O的距離小于圓O的半徑的點，點P不符合規(guī)劃要求；

當∠O B P≥90°時，對線段PB上任意一點F，O F≥O B，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求。

設(shè)P1為l上一點，且P1B⊥A B，由(1)知，P1B=15，此時P1D=P1Bsin∠P1BD=

因此道路PB的長為15(百米)。

(2)①若P在D處，由(1)可得E在圓上，則線段B E上的點(除B，E)到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求。

②若Q在D處，連接A D，由(1)知A D，從而 cos∠B A D=；當∠O B P＞90°時，在△P P1B中，PB＞P1B=15。由上可知，d≥15。

再討論點Q的位置。由(2)知，要使得Q A≥15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求。當Q A=15時，C Q=此時，線段Q A上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑。

綜上，當PB⊥A B，點Q位于點C右側(cè)，且時，d最小，此時P，Q兩點間的距離

因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為(百米)。

點評：本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查同學們的直觀想象和數(shù)學建模能力，以及運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力。

圖3

典例4(2019年高考江蘇卷12)如圖3，在△ABC中，D是B C的中點，E在邊A B上，B E=2E A，A D與C E交于點O。若的值是

分析：由題意將原問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值。

圖4

解：如圖4，過點D作D F∥C E，交A B于點F，由B E=2E A，D為B C的中點，知B F=F E=E A，A O=O D。

點評：本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)。采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題。

歸納總結(jié)：解三角形和平面向量是近些年高考的熱點，各省市的命題人在命題方向上標新立異，我們從不同的數(shù)學思想角度對解三角形和平面向量問題進行剖析。

角度一：轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想在研究、解決數(shù)學問題中，當思維受阻時考慮尋求簡單方法或從一種情形轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維方式。利用正、余弦定理，通過“邊化角、角化邊、切化弦”等角度對問題進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為熟悉的三角恒等變換、三角函數(shù)、平面向量等問題，再進行求解。

角度二：函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題中的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時，還可通過函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的。

角度三：數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，將反映問題的抽象數(shù)量關(guān)系與直觀圖形結(jié)合起來，也是將抽象思維與形象思維有機地結(jié)合起來的一種解決數(shù)學問題的重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)。它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合。