帶有輸入死區(qū)和輸出受限的非線性系統(tǒng)自適應(yīng)控制

曾 文,李志剛,高 闖，陳雪波

(遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院， 遼寧 鞍山 114051)

智能控制領(lǐng)域的自適應(yīng)控制已成為研究熱點(diǎn)，取得了不少科研成果[1-6].通常采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊控制設(shè)計(jì)控制器，文獻(xiàn)[4]采用模糊控制逼近系統(tǒng)的未知非線性項(xiàng)，文獻(xiàn)[5]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及backstepping方法設(shè)計(jì)控制器.

死區(qū)廣泛存在于實(shí)際控制系統(tǒng)，嚴(yán)重干擾了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，限制了系統(tǒng)的性能.文獻(xiàn)[7]通過中值定理將死區(qū)分解為線性和非線性兩個區(qū)域.文獻(xiàn)[8]基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(radial basis function，簡稱RBF)和中值定理，對帶有死區(qū)的純反饋系統(tǒng)提出控制策略.文獻(xiàn)[9]利用模糊邏輯控制替代RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對一類非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器.文獻(xiàn)[10]對一類非線性切換系統(tǒng)的跟蹤控制進(jìn)行了研究.

以上研究均沒有對系統(tǒng)輸出進(jìn)行約束，不加約束的工業(yè)系統(tǒng)的產(chǎn)能不高，因此設(shè)計(jì)控制器時就要考慮約束條件的限制[11-14].文獻(xiàn)[12]基于障礙李雅普諾夫函數(shù)(barrier Lyapunov function，簡稱BLF)設(shè)計(jì)狀態(tài)控制約束器.文獻(xiàn)[12]采用對稱與非對稱BLF，對一類帶有不確定參數(shù)的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器. 文獻(xiàn)[13]采用時變BLF，對一類具有未知函數(shù)的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器.文獻(xiàn)[14]為限制永磁同步電機(jī)系統(tǒng)的電流設(shè)計(jì)控制器. 筆者擬對帶有輸入死區(qū)和輸出受限的嚴(yán)格反饋系統(tǒng)，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)控制器，且通過仿真示例驗(yàn)證控制器的有效性.

1 問題描述及預(yù)備知識

1.1 問題描述

考慮如下帶有輸入死區(qū)的非線性嚴(yán)格反饋系統(tǒng)

(1)

該文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器使系統(tǒng)的輸出y跟蹤給定的參考信號yd,同時保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號均有界.為了實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，特提出如下假設(shè)：

假設(shè)1參考信號yd及其第i階時間導(dǎo)數(shù)連續(xù)且有界,i=1,2,…,n.

1.2 障礙李雅普諾夫函數(shù)

對正定且連續(xù)可微的函數(shù)V(x),若x逼近含原點(diǎn)的鄰域D的邊界時，V(x)的值趨于無窮，則稱V(x)為障礙型李雅普諾夫函數(shù)[11]，其函數(shù)形式如下

(2)

引理1?kb∈R為正常數(shù),z1∈R在區(qū)間|z1|<|kb|,存在不等式[2]

(3)

其中： |y|≤kc,kb=kc-yd.

1.3 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已被證明在有界閉集ΩZ?Rq上可以任意精度逼近連續(xù)函數(shù)，故筆者使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去逼近未知的非線性函數(shù).RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方程如下

f(Z)=W*S(Z)+δ(Z),?Z∈ΩZ,

(4)

其中：f(z)為待逼近的未知非線性函數(shù)；δ(Z)為逼近誤差，|δ(Z)|<ε；W*為最優(yōu)權(quán)重向量.高斯型徑向基函數(shù)表達(dá)式為

(5)

其中：υi(i=1,2,…,l)為最優(yōu)中心點(diǎn)；l為神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)數(shù)，且l>1;r為高斯函數(shù)的寬度.

1.4 輸入死區(qū)特性

為研究方便，定義

(6)

其中：v(t)∈R為理想控制律；gl，gr為死區(qū)特性的左、右斜率；bl，br為左、右截距，且bl<0,br>0.

假設(shè)2[14]若函數(shù)gr(v)和gl(v)充分光滑，且存在未知正常數(shù)kl0,kl1,kr0,kr1,則有

0

(7)

0

(8)

將輸入死區(qū)特性進(jìn)行如下變換

u=D(v)=KT(t)Φ(t)v+d(v),

(9)

其中

K(t)=[Kr(v(t)),Kl(v(t))]T,

(10)

Φ(t)=[φr(t),φl(t)]T,

(11)

(12)

其中：ξl(v)∈(v,bl),v

2 控制器設(shè)計(jì)

選取如下坐標(biāo)變換

zi=xi-αi-1,i=1,2,…,n,

(13)

其中：αi-1為自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)虛擬控制律，α0=yd.

自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)虛擬控制律、自適應(yīng)律及理想控制律分別為

(14)

(15)

(16)

定理1在假設(shè)1、假設(shè)2及引理1的條件下,對于一類帶有輸入死區(qū)的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)(1)，給定的初值滿足|z1|<|kb|,設(shè)計(jì)一個自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)虛擬控制律如式(14)、自適應(yīng)律如式(15)的控制器，則該控制器具有如下特性：(1)閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號均半全局一致有界；(2)系統(tǒng)的輸出滿足約束條件；(3)系統(tǒng)的輸出能跟蹤期望信號.

證明步驟1 對z1求導(dǎo)得

(17)

選取李雅普諾夫函數(shù)為

(18)

對V1求導(dǎo)得

(19)

(20)

將式(15)代入式(19)得

(21)

根據(jù)自適應(yīng)律式(15)，可得

(22)

步驟i對zi求導(dǎo)得

(23)

選取如下李雅普諾夫函數(shù)

(24)

對Vi求導(dǎo)得

(25)

同理，有如下不等式成立

(26)

根據(jù)式(14),(15),(26)整理式(25)，可得

(27)

步驟n對zn求導(dǎo)得

(28)

選取如下李雅普諾夫函數(shù)

(29)

其中:β0≤min{kl0,kr0}為未知正定常數(shù).

對Vn求導(dǎo)得

(30)

同理，有如下不等式成立

(31)

根據(jù)式(9),(31)整理式(30)，可得

(32)

將式(16)代入式(32)，整理可得

(33)

由引理1可知

(34)

令

則有

(35)

將式(35)兩邊乘ect,可得

(36)

對式(36)兩邊求積分，可得

(37)

令

則有

(38)

經(jīng)推導(dǎo)，可得

(39)

類似可得

(40)

3 仿真分析

該文使用如下嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析

(41)

其中：u為系統(tǒng)的控制輸入；ξ1(t)和ξ2(t)為有界擾動，ξ1(t)=sint,ξ2(t)=0.5sint.

控制目標(biāo)為：系統(tǒng)輸出y能夠跟蹤給定的參考信號yd=0.5(sint+sin0.5t).

選取控制信號u的輸入死區(qū)特性為

(42)

選取自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)虛擬控制律、理想控制率及自適應(yīng)律分別為

(43)

(44)

(45)

圖1～4分別為系統(tǒng)輸出、跟蹤誤差、控制信號及自適應(yīng)律的仿真結(jié)果.

圖1 系統(tǒng)輸出

圖2 跟蹤誤差

圖3 控制信號

圖4 自適應(yīng)律

4 結(jié)束語

筆者針對帶有輸入死區(qū)和輸出受限的嚴(yán)格反饋形式的非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器.利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)的未知函數(shù)，使用障礙李雅普諾夫函數(shù)降低約束條件的影響.仿真結(jié)果表明該控制器具有有效性.