基本不等式變形技巧的應(yīng)用

江蘇省鹽城市時楊中學(xué) 劉長柏

基本不等式在求最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用，應(yīng)用的前提是“一正、二定、三相等”?！耙徽敝刚龜?shù)，“二定”指和或積為定值，“三相等”指等號成立。利用基本不等式解題，關(guān)鍵在于通過條件轉(zhuǎn)化成可利用基本不等式的形式，出現(xiàn)積或和為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧進行歸納。

技巧一：加減常數(shù)

例1求函數(shù)的值域。

解析：當x＞1時當且僅當x-1=即x=2時等號成立，此時y的最小值為3。所以該函數(shù)的值域為[3，+∞)。

點評：通過加減常數(shù)，滿足使用基本不等式的條件，滿足積為定值，同時要保證代數(shù)式中的各項均為正。

練習(xí)1：已知則f(x)=4x-2+的最大值為____。

解析：因為，所以5-4x＞0。則，當且僅當，即x=1時，取等號。

技巧二：巧變常數(shù)

例2已知，試求函數(shù)y=x(1-2x)的最大值。

解法1：因為，所以1-2x＞0。

所以y的最大值為

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點評：形如f(x)=x(1-ax)或f(x)=x2(1-ax2)可有兩種變形方法，一是巧乘常數(shù)，二是巧提常數(shù)，解題時要靈活運用。

練習(xí)2：已知0＜x＜1，則y=x(4-3x)取得最大值時x的值為____。

解析：當且僅當3x=4-3x，即時，取等號。

故y取最大值時x的值為

技巧三：分離常數(shù)

例3已知，則f(x)=有( )。

點評：通過分離常數(shù)，分離出一個常數(shù)是求分式函數(shù)值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。

練習(xí)3：函數(shù)的最小值為_____。

技巧四：活用常數(shù)

例4若x，y∈R+，且滿足求x+y的最小值。

解析：由x，y∈R+，且得：

所以x+y的最小值是36。

點評：通過配湊“1”并進行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號不能同時取到的麻煩。

練習(xí)4：已知a＞0，b＞0，a+b=1，則的最小值為_____。

解析：因為a+b=1，所以，當且僅當時取等號。所以的最小值為4。

技巧五：統(tǒng)一形式

點評：根據(jù)分母的特點，改為結(jié)構(gòu)統(tǒng)一的形式，這樣便能快速求解。含有根號的問題也要注意形式的統(tǒng)一(如函數(shù)(0＜x＜1)可變形為

技巧六：巧妙消元

例6已知x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，則x+3y的最小值為____。

故x+3y的最小值為6。

點評：條件等式中含有兩個變量，利用方程思想，化二元為一元，再轉(zhuǎn)化為滿足基本不等式的形式，從而求最值。

練習(xí)6：已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值為_____。

解析：因為x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，所以

所以x+2y的最小值為4。