一種廣義松弛正定反預(yù)處理求解非Hermitian鞍點問題

耿麗芳

摘要：以常規(guī)的Krylov子空間算法為基礎(chǔ)，引入?yún)?shù)，結(jié)合PSS方法與松弛正定反Hennitian分裂方法，構(gòu)建松弛PSS預(yù)處理因子（RPSS），并在此基礎(chǔ)上引入?yún)?shù)，優(yōu)化RPSS，形成廣義松弛預(yù)處理因子（GRPSS），對離散化系統(tǒng)鞍點問題進行分析。仿真結(jié)果表明本方法具有較快的收斂速度，能夠在一定程度上改善非Hennitian鞍點問題解析速度，為相關(guān)工程學(xué)科提供輔助性決策依據(jù)。

關(guān)鍵詞：非Hermitian鞍點;廣義松弛;預(yù)處理因子

中圖分類號：0241.6文獻標志碼：A 文章編號：2095-5383（2019）03-0058-03

流體動力學(xué)、優(yōu)化控制、電網(wǎng)結(jié)構(gòu)分析以及地球數(shù)據(jù)反演等工程學(xué)科中均會出現(xiàn)鞍點問題。常規(guī)算法是通過有限差分、區(qū)域分解等將鞍點問題離散化后形成結(jié)構(gòu)化線性系統(tǒng)方程，如式（1）所示。

通常式（1）滿足非奇異性，但因為系數(shù)矩陣A的強不定性、對角元素的非占優(yōu)性、涉及學(xué)科領(lǐng)域的復(fù)雜性、工程問題的高維數(shù)性等問題，使得式（1）的鞍點線性數(shù)值求解難度加大，無法獲得適合于所有鞍點線性系統(tǒng)的求解方法。因此，根據(jù)不同學(xué)科、不同領(lǐng)域、不同問題、不同離散方式下的鞍點問題特殊性，需要開展有針對性的數(shù)值計算。

目前，針對鞍點系統(tǒng)的稀疏性與大規(guī)模性，常用的經(jīng)典數(shù)值算法主要有Uzawa類迭代算法、HSS迭代算法、Krylov子空間算法。但是，Uzawa類迭代算法收斂速度緩慢，HSS迭代算法對鞍點問題的應(yīng)用不夠精準，而Krylov子空間算法雖適合于大型線性系統(tǒng)，可收斂速度較慢。

基于此，本文針對離散化偏微分系統(tǒng)的鞍點問題，以式（1）中的A為非Hermitian正定矩陣為研究情形，結(jié)合矩陣計算、數(shù)值理論、迭代算法等基礎(chǔ)知識，構(gòu)建新的迭代算法，分析收斂條件，以期對相關(guān)工程問題提供幫助性建議。

1離散系統(tǒng)鞍點問題

由表1、表2可知，隨著a取值的逐漸增加以及β取值的逐漸減小，基于GRPSS方法的非Hermitian鞍點問題分析具有越來越快的收斂速度。

4小結(jié)

非Hermitian鞍點問題常規(guī)分析算法具有收斂精度較差、收斂速度較低的缺點。本文從Kyylov子空間算法入手，結(jié)合PSS方法與松弛正定反Hermitian分裂方法，構(gòu)建基于給定參數(shù)a的松弛PSS處理因子。為了更好地貼近離散化數(shù)值方程的系數(shù)矩陣，引入新的松弛參數(shù)a與β，構(gòu)建廣義松弛預(yù)處理因子，并將其應(yīng)用于Oseen方程分析。仿真結(jié)果表明本方案具有較快的收斂速度。未來進一步研究參數(shù)a與β的優(yōu)化取值。