冷維杰， 孫志峻， 彭瀚旻

(南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室 南京，210016)

引 言

超聲電機作為一門多學(xué)科結(jié)合的新技術(shù)，其工作原理是利用壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)和超聲振動來激發(fā)彈性體(定子)在超聲頻段內(nèi)的微幅振動，并通過定、轉(zhuǎn)子(動子)之間的摩擦作用將振動轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)子的直線或者旋轉(zhuǎn)運動，輸出功率，驅(qū)動負(fù)載[1]。超聲電機運行過程中，定子和轉(zhuǎn)子之間的預(yù)壓力對其摩擦性能有著重要影響，甚至直接決定了超聲電機的整體輸出性能，因此，對定子和轉(zhuǎn)子施加穩(wěn)定的預(yù)壓力十分重要[2]。

開槽碟簧作為一種具有非線性剛度特性的承壓結(jié)構(gòu)，非常適用于超聲電機的預(yù)壓力加載。目前，部分超聲電機已經(jīng)采用碟形彈簧進行定轉(zhuǎn)子之間的預(yù)壓力加載，但是對于小尺寸系列超聲電機，由于其尺寸的限制，需要對碟形彈簧進行結(jié)構(gòu)改進設(shè)計。同時，由于小尺寸系列超聲電機的輸出性能對預(yù)壓力的波動非常敏感，碟形彈簧的設(shè)計對計算模型的精度提出了更高的要求。目前，在碟形彈簧的設(shè)計過程中[3-5]，普遍使用的傳統(tǒng)計算公式是從經(jīng)典的Almen-Laszlo 理論[6]出發(fā)，結(jié)合傳統(tǒng)的懸臂梁小變形理論，推導(dǎo)出的載荷-位移剛度特性的計算公式(簡稱Schremmer公式[7])。但是該計算公式精度較差，適用范圍受到諸多限制，不能滿足設(shè)計需求。考慮到以上因素，筆者采用在碟形彈簧基礎(chǔ)上進一步改進結(jié)構(gòu)的開槽碟簧作為小尺寸系列超聲電機的預(yù)壓力加載部件，并基于圓錐殼體理論建立了開槽碟簧的力學(xué)計算模型。試驗結(jié)果表明，該力學(xué)計算模型具有較高的準(zhǔn)確性。

1 開槽碟簧的力學(xué)模型

1.1 開槽碟簧的結(jié)構(gòu)

開槽碟簧的幾何結(jié)構(gòu)以及截面受壓變形示意圖如圖1、圖2所示。開槽碟簧可以看成由外圈的普通碟簧和內(nèi)圈的數(shù)個分離齒組成。通過滑動簡支條件的支承，開槽碟簧承受豎直方向上的軸對稱載荷P作用。

圖1 開槽碟簧的基本幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 Basic geometry of slotted belleville spring

圖2 開槽碟簧A-A剖面受壓變形圖Fig.2 Deformation image of A-A profile

1.2 外圈普通碟簧的力學(xué)計算模型

取外圈碟簧的一段變形微元進行分析，如圖3所示。其中：左邊表示未變形時候的狀態(tài)；右邊表示變形后的狀態(tài)，變形后相應(yīng)的變量用*號進行了標(biāo)記；α為變形前微元沿徑向的切線與對稱軸的夾角；θ=α*-α為半徑R處微元徑向切線的轉(zhuǎn)角；ξ為圓周方向；η為徑向方向。

圖3 徑向微元的幾何結(jié)構(gòu)變形Fig.3 Structure deformation of radial infinitesimal

由幾何關(guān)系可知，周向曲率的變化量xξ為

(1)

徑向方向上，由于初始狀態(tài)下，碟簧的曲率為零，因此徑向方向上的中面曲率就是曲率變化量，徑向曲率變化為

(2)

周向線應(yīng)變?yōu)?/p>

(3)

徑向位移為

ur=Rεξ=R*-R

(4)

徑向方向上，中面線應(yīng)變?yōu)?/p>

(5)

對式(4)微分并結(jié)合式(5)可得協(xié)調(diào)性條件

(6)

在豎直方向上， 微元在z方向的高度增量為

(7)

定義NR，Nz，Mx和Mh為微元中面單位長度上受到的力和力矩?？紤]到幾何結(jié)構(gòu)和受力的軸對稱性，微元所受的剪切力、扭矩以及橫向剪切力Qx均為0，微元的受力情況如圖4所示。

圖4 微元受力示意圖Fig.4 Free-body diagram of radial infinitesimal

記微分算子

(8)

其中：f為可微函數(shù)。

Nξ=-[V]′sinα

(9)

其中：V=NRR。

如圖4所示，對K點取彎矩平衡有∑Mk=0，即有

(10)

沿徑向方向的合力為

(11)

根據(jù)Kirchhoff-Love假設(shè)，可得圓錐殼的彈性定律為

(12)

其中：E為圓錐殼的彈性模量；v為泊松比；D=Eh3/[12(1-v2)]為彎曲剛度；h為圓錐殼的厚度。

將式(9)、式(11)代入式(12)，并結(jié)合式(6)可得

(13)

將式(1)、式(2)代入式(12)，并結(jié)合式(10)可得

(14)

碟簧的力學(xué)計算模型包含2個2階微分方程式(13)和式(14)，為了便于計算，先將上述2階微分方程轉(zhuǎn)化為只包含1階變量的狀態(tài)方程，并引入待求微元變形后的豎直位置變量z*和變形后的徑向位置變量R*，得到以下包含變量組(θ,Rθ′,V,RV′,z*,R*)的狀態(tài)方程組

(15)

求解上述方程組，即可得到碟簧在載荷P下的內(nèi)徑處豎直方向上的位移

(16)

由于開槽碟簧外圈碟簧部分的邊界條件分布在內(nèi)外徑處，方程組(15)的求解問題為邊值問題，采用打靶法將其處理為初值問題，并結(jié)合Runge-Kutta方法可進行求解。

1.3 內(nèi)圈分離齒的力學(xué)計算模型

開槽碟簧的受載過程中，受豎直方向上集中力作用的內(nèi)圈分離齒變形，可看作漸變截面懸臂梁自由端受集中載荷大變形問題進行求解，如圖5所示。

圖5 懸臂梁自由端受集中載荷作用圖Fig.5 Loading diagram of cantilever beam with concentrated load on the free end

目前，對于懸臂梁大變形問題，針對不同的受力情況和邊界條件，已經(jīng)得到了有效的計算方法[8-10]。由材料力學(xué)推導(dǎo)[11]可以得到任意情況彎曲變形的撓曲線微分方程

(17)

其中：w為x處懸臂梁的撓度；M(x)為x處懸臂梁所受到的轉(zhuǎn)矩；I(x)為x處懸臂梁的截面慣性矩。

設(shè)定Q(x)=M(x)/I(x)，y(x)=dw/dx，原曲線微分方程(1)可變換為

(18)

分離變量并積分可得

(19)

其中

(20)

從式(20)中解出y(x)并積分可得懸臂梁撓度

(21)

由于懸臂梁固定端處不發(fā)生移動和轉(zhuǎn)動，因此該處的邊界條件為

(22)

w|x=0=0

(23)

代入式(21)中可得積分常數(shù)C1=0，C2=0。

假設(shè)懸臂梁的原長為L0，受載變形后自由端水平位移為Δ，受載變形后的懸臂梁在水平方向上的投影長度為L，則有L=L0-Δ，如圖5所示。由于變形前后懸臂梁的總長度保持不變，因此有條件

即

(24)

由以上推導(dǎo)可知，一旦確定了自由端的水平位移Δ，就可求得g(x)。水平位移Δ可以通過試誤法確定，即先給定Δ某個初值，然后用二分法，當(dāng)式(24)右邊表達(dá)式的計算結(jié)果與懸臂梁原長L0的誤差在設(shè)定的誤差范圍內(nèi)時，可視作Δ即為所求。得到g(x)即可通過式(21)求得懸臂梁變形的撓度曲線。對于漸變截面懸臂梁，其基本幾何結(jié)構(gòu)如圖6所示。其中：b1為齒根寬度；b0為齒頂寬度；b(x)為距離固定端x處的截面寬度。

圖6 漸變截面懸臂梁的基本幾何結(jié)構(gòu)Fig.6 Basic geometry of cantilever beam with gradual change section

由幾何關(guān)系可知

b(x)=(1-x/L0)b1+(x/L0)b2

(25)

截面慣性矩I(x)為

I(x)=b(x)h3/12=b1h3/12+h3x(b2-b1)/12L0

(26)

將上述推導(dǎo)的b(x),I(x)代入式(20)可得

(27)

將g(x)代入式(24)，利用二分法確定懸臂梁自由端水平位移Δ，然后重新代入式(27)求得g(x)，最后通過式(21)求得懸臂梁變形的撓曲線方程。

1.4 開槽碟簧的力學(xué)計算模型

分離齒齒頂處的豎直方向上總位移由兩部分組成：a.外圈蝶形彈簧變形帶動分離齒的剛性轉(zhuǎn)動；b.內(nèi)圈分離齒的受載彎曲變形。

1.4.1 外圈碟簧部分

通過載荷移置，將作用在懸臂梁自由端的載荷P移置到外圈碟簧的頂部，其大小不變，并設(shè)定其均勻作用在整個圓周上，則作用在碟簧頂部圓周的線載荷大小為Pl=P/(πd1)。另外，由于載荷的移置，產(chǎn)生的移置彎矩Ml也作用在碟簧頂部圓周處，周向的線彎矩大小為Ml=Mp/(πd1)，其方向如圖2所示。開槽碟簧工作過程中，碟簧外徑自由端水平方向受力NR為零，并且沒有彎矩作用，即碟簧外徑有邊界條件

(28)

將式(9)、式(11)代入式(12)，并結(jié)合式(4)可得外圈碟簧受載變形后的外徑位置

(29)

同時，碟簧外徑處豎直方向位移為零，即

(30)

碟簧內(nèi)徑處，由于移置彎矩Ml的影響，其邊界條件為

(31)

即

(32)

由于外圈碟簧在受載過程中產(chǎn)生了彎曲變形，計算外圈碟簧變形對開槽碟簧分離齒自由端總位移的作用大小時，應(yīng)該考慮外圈碟簧頂端處的內(nèi)錐角度變化的影響。設(shè)定碟簧頂端處的內(nèi)錐角度變化量為θi，其具體數(shù)值可由1.2節(jié)求解碟簧剛度特性計算微分方程組中的變量θ得到，頂端處的內(nèi)錐角度為βi=β-θi，則由圖2中的幾何關(guān)系可知，外圈碟簧受載變形對總位移的作用大小為

(33)

1.4.2 內(nèi)圈分離齒部分

開槽碟簧的分離齒部分可以當(dāng)做漸變截面懸臂梁進行計算，在1.3節(jié)中已經(jīng)推導(dǎo)了漸變截面懸臂梁的計算模型。注意到開槽碟簧的幾何結(jié)構(gòu)特點，m個分離齒共同承載外部載荷P,因此對于單個分離齒，所受到的載荷Pi=P/m。由開槽碟簧的內(nèi)錐角度β，可得外部載荷P在垂直于懸臂梁的y方向上的分力為Pv=Picosβ，可知距離分離齒齒根x距離處截面的彎矩為

M(x)=Pv(L-x)

(34)

其中：L=L0-Δ,Δ為懸臂梁自由端在x方向上的位移。

將式(34)代入式(27)可得

(35)

進一步將式(35)代入式(24)，并通過試誤法可計算得懸臂梁自由端的x方向上的位移Δ，然后通過式(21)

(36)

可求得懸臂梁自由端沿y軸方向的位移w，根據(jù)所求結(jié)果可得懸臂梁自由端在豎直方向上的位移為

W2=wcosθ+Δsinθ

(37)

由以上分析可得，開槽碟簧在外載P作用下的總位移大小為

W=Wi+W2=W1+W2+L0sinβ-

(38)

2 開槽碟簧力學(xué)模型的計算

選取試驗開槽碟簧的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 開槽碟簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)

將本研究的計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果、傳統(tǒng)Schremmer公式結(jié)果以及試驗結(jié)果進行對比分析，如圖7所示。

圖7 開槽碟簧載荷-位移曲線對比Fig.7 Comparison of force-displacement curves

由對比結(jié)果可知，筆者提出的理論方法比傳統(tǒng)的Schremmer公式以及有限元方法更加準(zhǔn)確。相對于試驗值，各個計算方法的相對誤差如下：同一變形量情況下，Schremmer公式計算結(jié)果的最大相對誤差達(dá)到了±23%，平均相對誤差達(dá)到±18%；有限元方法計算結(jié)果的最大相對誤差為±9.3%，平均相對誤差為±5.8%；理論計算方法結(jié)果的最大相對誤差僅為±3.5%，平均相對誤差僅為±1.7%。在小變形階段(變形量在0～0.7 mm之間)，開槽碟簧的載荷-位移剛度特性近似呈線性關(guān)系，該線性段的壓力值范圍可達(dá)0～127 N。變形量在0.7～1.39 mm范圍時，開槽碟簧的剛度逐漸較小，在變形量WP=1.393 mm時，剛度變?yōu)榱悖⑦_(dá)到受載的最大值Pmax=168 N。當(dāng)變形量大于Wp，開槽碟簧特性曲線處于負(fù)剛度階段。另外，有限元方法的計算值與試驗值在曲線的末端均有一個壓力值隨位移迅速增大的上翹階段，而筆者提出的計算方法得到的曲線沒有上翹階段。主要原因在于開槽碟簧試驗和有限元模擬過程中，在曲線末端處已經(jīng)處于壓平狀態(tài)，上下壓板開始擠壓開槽碟簧，此時壓力隨著變形的增加而迅速增大。但是對于理論計算方法，由于壓力與邊界條件始終限定在內(nèi)外徑處，開槽碟簧被壓平之后還可以繼續(xù)沿受載方向發(fā)生變形，因此不會出現(xiàn)壓力值隨位移迅速增大的上翹階段。

3 準(zhǔn)零剛度特性的參數(shù)敏感性分析

3.1 參數(shù)敏感性試驗流程

為了滿足超聲電機對開槽碟簧準(zhǔn)零剛度特性的需求，建立基于準(zhǔn)零剛度特性需求的開槽碟簧結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，需要分析準(zhǔn)零剛度特性對開槽碟簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性。

在實際超聲電機用碟簧的制作過程中，考慮到制作工藝和原材料成本，一般選用彈簧鋼進行開槽碟簧的設(shè)計制作，因此，其基本的材料屬性(如彈性模量E和泊松比v)已經(jīng)確定，本研究主要對開槽碟簧的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)進行設(shè)計。另外，由于小尺寸系列超聲電機的尺寸限制以及開槽碟簧的裝配限制，開槽碟簧的外徑D1一般根據(jù)實際情況設(shè)定。因此，對于超聲電機用開槽碟簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計，設(shè)計參數(shù)組包含的結(jié)構(gòu)參數(shù)為

(d1,D2,t,H,c)

筆者基于Matlab編制的準(zhǔn)零剛度計算程序，利用Isight數(shù)字化分析軟件平臺，建立了敏感性分析試驗流程，如圖8所示。

圖8 敏感性分析試驗流程Fig.8 Flow of parameter sensitivity analysis

試驗過程中，試驗?zāi)K首先將樣本點傳遞給計算程序Matlab，計算得到結(jié)果之后，將結(jié)果由Matlab傳遞給試驗?zāi)K。如此不斷進行循環(huán)計算，直到試驗方案中的樣本點全部計算完成，試驗結(jié)束。整個試驗過程，樣本點的選擇對試驗分析結(jié)果有很大的影響。因此，為了使樣本點的選取更加容易，對設(shè)計參數(shù)組進行變量代換處理，設(shè)定

(39)

試驗參數(shù)組變化為(q1,q2,q3,H,t)，根據(jù)開槽碟簧的實際使用情況，參數(shù)組的約束范圍為

(40)

在以上約束范圍內(nèi)，布置2 000個試驗樣本點，并進行均勻優(yōu)化處理。設(shè)定參數(shù)組(q1,q2,q3,H1,t)為試驗因子，準(zhǔn)零剛度區(qū)間長度L(q1,q2,q3,H1,t)為試驗響應(yīng)。

3.2 試驗結(jié)果分析

通過試驗方案流程的計算，得到試驗響應(yīng)對試驗因子的敏感性分析Pareto圖，如圖9所示。

圖9 試驗響應(yīng)的Pareto圖Fig.9 Pareto diagram of test response

圖9表示試驗因子對試驗響應(yīng)的影響程度，并以百分比的形式按照影響程度的大小從上到下排列出來。其中：藍(lán)色代表試驗因子和試驗響應(yīng)呈正相關(guān)；紅色代表試驗因子和試驗響應(yīng)呈負(fù)相關(guān)。由圖可以看出：開槽碟簧的厚度t與準(zhǔn)零剛度段長度L整體呈負(fù)相關(guān)，并且相比于其他參數(shù)量，其影響程度最大，百分比超過了45%；外圈碟簧的自由高H1對準(zhǔn)零剛度段長度L的影響程度百分比將近40%，二者整體呈正相關(guān)；其余參數(shù)量對準(zhǔn)零剛度區(qū)間長度L影響不大。

從樣本點計算結(jié)果中輸出外圈碟簧自由高H1和開槽碟簧厚度t對準(zhǔn)零剛度段長度L的三維結(jié)果圖，如圖10所示。

圖10 高度H1和厚度t與長度L的關(guān)系圖Fig.10 Relation graph of height H1, thickness t and length L

由圖10可以看出，沿圖中紅色箭頭方向，準(zhǔn)零剛度段長度L的大小一直處于峰值附近，該方向是指向零剛度段長度影響的最優(yōu)方向。因此，進一步考慮高厚比H1/t對準(zhǔn)零剛度段長度L的影響情況。由計算結(jié)果輸出高厚比H1/t與L的等值線圖，如圖11所示，其中H1/t為無量綱單位。

圖11 高厚比H1/t與厚度t等值線圖Fig.11 Contour plot of H1/t and thickness t

由圖11可以看出，試驗響應(yīng)存在一個峰值區(qū)域，該區(qū)域?qū)?yīng)的高厚比H1/t的最優(yōu)取值范圍為

1.5

(41)

由以上分析可知，在開槽碟簧的設(shè)計過程中，可以先設(shè)定開槽碟簧的高厚比最優(yōu)取值范圍，然后基于最優(yōu)取值范圍，對其他變量進行優(yōu)化設(shè)計。

4 結(jié) 論

1) 基于圓錐殼體理論以及漸變截面懸臂梁大變形理論，建立了開槽碟簧在滑動簡支條件下受軸向載荷的力學(xué)模型。對比分析結(jié)果表明，該力學(xué)模型比傳統(tǒng)計算公式和有限元方法更加準(zhǔn)確，相對誤差在±3.5%以內(nèi)。

2) 基于本研究提出的開槽碟簧準(zhǔn)零剛度特性計算方法，設(shè)計了準(zhǔn)零剛度特性的結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感性試驗。由試驗結(jié)果分析得到了準(zhǔn)零剛度特性的最優(yōu)高厚比取值范圍為1.5～1.8之間，可作為準(zhǔn)零剛度特性開槽碟簧結(jié)構(gòu)的設(shè)計參考。