完全開放系統(tǒng)的冪律分布及其適用對象

李鶴齡，王雅婷，楊 斌，沈宏君

(1.寧夏大學(xué)物理與電子電氣工程學(xué)院，銀川 750021；2.寧夏沙漠信息智能感知重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,銀川 750021)

0 引言

傳統(tǒng)觀念認(rèn)為不同系綜具有等價(jià)性，即認(rèn)為由不同的系綜推演的結(jié)果基本相同，因?yàn)樵嘘P(guān)于系綜等價(jià)的證明[13]。因而通常在使用統(tǒng)計(jì)物理方法解決問題常使用最簡單、方便的3種系綜。如：微正則系綜，它數(shù)值計(jì)算方便；正則系綜理論分析方便；巨正則系綜處理量子系統(tǒng)方便。但近年來，很多研究成果顯示不同系綜是不等價(jià)，如：具有長程關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)[14]、小系統(tǒng)[15]及相變點(diǎn)附近等[16]。這些不等價(jià)通常表現(xiàn)為微正則系綜與正則系綜的指數(shù)函數(shù)分布推導(dǎo)結(jié)果不一致，而微正則系綜的推演結(jié)果通常是正確的，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果接近吻合[15]，耐人尋味的是微正則分布是等概論假設(shè)的結(jié)果，它是冪律分布零次冪的情景。再注意到：隨著相互關(guān)聯(lián)的增強(qiáng)、長程化和復(fù)雜化的研究對象的研究趨熱，隨機(jī)性系統(tǒng)的概率分布從指數(shù)函數(shù)走向冪函數(shù)。這樣，對于不同相互關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)和外部環(huán)境選擇合適的系綜以及概率分布函數(shù)的具體形式就顯得至為重要。因而必須充實(shí)統(tǒng)計(jì)物理方法中的系綜理論及分布函數(shù)的具體形式。

1 基于Rényi熵的冪律分布

1.1 Rényi熵特性的簡單描述

1960年匈牙利數(shù)學(xué)家Alfréd Rényi在Shannon熵基礎(chǔ)上提出廣義熵[29]或Rényi熵，其為

(1)

1)當(dāng)q→1時(shí)，Rényi熵趨于Shannon熵

(2)

SR(A∩B)=SR(A)+SR(B)

(3)

這也正是現(xiàn)在通常將Rényi熵稱為廣延熵而Tsallis熵(不具有可加性)稱為非廣延熵的原因。事實(shí)上，現(xiàn)在常稱為廣延熵的Shannon熵和Rényi熵都會(huì)因所描繪的系統(tǒng)的廣延或非廣延性而表現(xiàn)出相應(yīng)的廣延或非廣延性。

1.2 基于Rényi熵的完全開放系統(tǒng)的冪律分布

考慮一只做膨脹功的單組元系統(tǒng)，設(shè)所研究的系統(tǒng)處于熱-粒子源的包圍之中。系統(tǒng)與源之間可有力的、熱的相互作用以及粒子的相互交換。源的巨大，使得這些相互作用不至于影響源的宏觀狀態(tài)。系統(tǒng)各微觀態(tài)的粒子數(shù)Ni、能量Ei、體積Vi都可能不同。在系統(tǒng)和源達(dá)到平衡后，相應(yīng)的平均值N、E、V都是一定的。以pi表示系統(tǒng)微觀態(tài)i的概率，則應(yīng)有:

(4)

由最大熵原理，考慮式(1)的Rényi熵在式(4)的約束，取拉格朗日函數(shù):

(5)

其中λ0、λ1、λ2、λ3都為待定的拉格朗日乘子。令?L/?pi=0，得：

(6)

由歸一化條件，得：

(7)

式(6)是冪函數(shù)形式的概率分布函數(shù)。按拉氏條件極值的方法，λ0和λk(k=1,2,3)要由式(4)的4個(gè)約束式和式(6)的W個(gè)方程共W+4方程來確定，但在物理學(xué)中，它們必須遵循熱力學(xué)定律，因而由熱力學(xué)定律來確定。如下分2步來確定拉格朗日乘子。

1)對應(yīng)性法則的要求。

Rényi熵隨q趨于1而趨于Shannon熵；由Shannon熵得到的是如下的指數(shù)分布[30]：

(8)

其中的α、β、κ也是拉格朗日乘子，在遵循熱力學(xué)第零定律(熱平衡)、第一(能量守恒)、第二定律(溫度等于內(nèi)能對熵的偏導(dǎo)數(shù))的要求下，它們分別為

α=-μ/(kBT),β=1/(kBT),κ=P/(kBT)

(9)

并且

(10)

式(9)中μ為化學(xué)勢，T為絕對溫度，P為壓強(qiáng)。

對應(yīng)性法則要求：式(6)應(yīng)隨q→1而趨于式(8)的指數(shù)分布。所以其形式可選為[28]：

(11)

這樣，可保證在q→1時(shí)，式(11)趨于式(8)。式(11)中

(12)

(13)

平均值為：

(14)

(15)

(16)

將式(11)代入式(1)，可得熵：

SR=kBlnZ(1)+kBln[1+(1-q)αN+(1-q)βE+(1-q)κV]/(1-q)

(17)

進(jìn)一步討論后，在熱力學(xué)系統(tǒng)應(yīng)遵循熱力學(xué)定律的要求下，上述(11)-(17)這一組熱力學(xué)公式存在如下兩個(gè)困難：

(1)?S/?E≠1/T=1/(kBβ),即內(nèi)能對熵的偏導(dǎo)數(shù)不等于溫度。

(2)熱力學(xué)基本方程不能被推導(dǎo)出，即能量守恒定律不能反映出來。

上述兩個(gè)困難的出現(xiàn)源于拉格朗日乗子的不恰當(dāng)選擇，所以,我們必須重新確定遵循熱力學(xué)定律的拉格朗日乗子。

2)選取適當(dāng)?shù)睦窭嗜諄\子。

可篩選如下的拉氏乗子：

λ0=λ[1+(q-1)αN/q+(q-1)βE/q+(q-1)κV/q]

(18)

λ1=(1-q)λα/q,λ2=(1-q)λβ/q,λ3=(1-q)λκ/q

(19)

因?yàn)镹、E、V都是平均值，是常量，式(18)和(19)是由新的4個(gè)拉氏乗子λ、α、β和κ替代了式(6)中4個(gè)拉氏乗子λ0和λk(k=1,2,3)，因而這是可行的。將式(18)和(19)代入式(6),得：

(20)

由歸一化條件知配分函數(shù)：

(21)

式(20)的完全開放系統(tǒng)的概率分布pi是關(guān)于變量Ni、Ei和Vi的冪函數(shù)形式，其中拉氏乘子α、β和κ是式(9)的形式，由平衡性質(zhì)決定，N、E和V是平均值，求統(tǒng)計(jì)平均時(shí)，α、β、κ、N、E和V都不變。將式(20)和(21)代入式(1)，可得：

SR=kBlnZ(2)

(22)

(23)

平均值：

(24)

(25)

(26)

對式(20)求微分，利用式(23)-(26)，并注意到:Z(2)(α,β,κ)、N(α,β,κ)、E(α,β,κ)和V(α,β,κ)都是α、β、κ的函數(shù)。可得：

TdSR=dE+PdV-μdN

(27)

式(27)正是習(xí)慣的開系的熱力學(xué)基本方程。且有：

(28)

自由能:

F≡E-TSR=E-kBTlnZ(2);dF=-PdV-SRdT+μdN

(29)

所以，式(20)及(21)的概率分布和配分函數(shù)、式(22)的熵、式(24)-(29)的平均值公式是滿足熱力學(xué)定律的完全開放系統(tǒng)的概率分布和熱力學(xué)公式。

1.3 基于Rényi熵的其他系統(tǒng)的冪律分布

1.3.1 巨正則分布

利用式(20)，可簡單地獲得其他分布。

巨正則系統(tǒng)的體積是常量。令(20)式中每個(gè)微觀態(tài)的體積都等于常量，即Vi=V=常量，則式(20)變?yōu)?/p>

(30)

(31)

式(30)和(31)就分別是巨正則系統(tǒng)的概率分布和配分函數(shù)。將此二式代入式(1)，得：

SR=kBlnZG

(32)

(33)

平均值:

(34)

(35)

同樣得開系的熱力學(xué)基本方程:

TdSR=dE+PdV-μdN

(36)

以及:

(37)

自由能:

F≡E-TSR=E-kBTlnZG;dF=-PdV-SRdT+μdN

(38)

明顯地有：當(dāng)q→1時(shí)，除了巨配分函數(shù)ZG之外，(30)、(32)、(34)和(35)分別轉(zhuǎn)變?yōu)椴柶澛?吉布斯(Gibbs)統(tǒng)計(jì)的形式。

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

1.3.2 溫度-壓強(qiáng)分布

類似地,當(dāng)令式(20)中的Ni=N=常量時(shí)，得:

(45)

(46)

SR=kBlnZI

(47)

(48)

(49)

(50)

同樣可得類似于(36)-(38)的熱力學(xué)方程和公式。

當(dāng)q→1時(shí)，式(45)、(47)、(49)和(50)也趨于玻爾茲曼-吉布斯統(tǒng)計(jì)的形式。

當(dāng)令式(20)中的Ni=N=常量、Vi=V=常量，或令式(30)中的Ni=N=常量，或令式(45)中的Vi=V=常量時(shí)，可方便地得到正則分布；其他分布也可方便得到，為避免重復(fù)，不贅述了。

顯然，上述完全開放系統(tǒng)、巨正則系統(tǒng)、溫度-壓強(qiáng)系統(tǒng)等的概率分布和熱力學(xué)公式是自洽的。

1.4 基于Rényi熵且不受熱力學(xué)定律限制的復(fù)雜性系統(tǒng)冪律分布的簡單形式

注意到統(tǒng)計(jì)物理方法早已被用于研究各種復(fù)雜系統(tǒng)，復(fù)雜系統(tǒng)一般不必受到諸如“守恒”、熵對內(nèi)能的偏導(dǎo)數(shù)是溫度的單值函數(shù)等熱力學(xué)定律的限制。注意到式(24)-(26)的平均值公式都是自包含的，求平均值時(shí)難度較大。然而式(11)-(16)這套公式盡管不遵循熱力學(xué)定律，但卻不是自包含的。如果所討論、研究的復(fù)雜性問題不涉及熱力學(xué)兩定律的要求，只要賦予N、E、V新的內(nèi)涵，式(11)-(16)這套公式更簡單、實(shí)用。因此，如下我們給出一套較易于求平均值的、可用于復(fù)雜系統(tǒng)的更一般的冪律分布和計(jì)算平均值的公式。前提是在不必遵循熱力學(xué)定律時(shí)使用。

設(shè)描述復(fù)雜系統(tǒng)“總數(shù)量”特性的變量有l(wèi)個(gè)，在W個(gè)系統(tǒng)隨機(jī)狀態(tài)中的第i個(gè)狀態(tài)，由xki(k=1,2,…,l；i=1,2,…,W)描述。則xki的統(tǒng)計(jì)平均值為

(51)

按照上述方法可得概率分布函數(shù)：

(52)

(53)

因此，平均值為

(54)

熵：

(55)

式(52)-(55)中λk(k=1,2,…,l)是類似于物理學(xué)中的統(tǒng)計(jì)溫度等具有某種“強(qiáng)度量”特點(diǎn)的復(fù)雜性系統(tǒng)的狀態(tài)參量。

2 冪律分布不能用于近獨(dú)立系統(tǒng)及廣延系統(tǒng)的證明

眾所周知：

3)冪律分布比指數(shù)分布更適用于長程相互作用或復(fù)雜的非廣延系統(tǒng)。

定理若實(shí)函數(shù)p(x)是實(shí)變量x(-∞

p(x1)p(x2)=p(x1+x2)

(56)

則，唯一不恒等于零的可微函數(shù)p(x)只能是指數(shù)函數(shù)p(x)=ax。式中a是不等于1的正常數(shù)(此處唯一性不考慮a的不同值)。

證明：由已知式(56)，令x1=x,x2=dx。有

p(x)p(dx)=p(x+dx)

(57)

因p(x)可微，分別有

p(dx)=p(0)+p′(0)dx

(58)

p(x+dx)=p(x)+p′(x)dx

(59)

將式(58)、(59)代入式(57)，有

p(x)p(0)+p(x)p′(0)dx=p(x)+p′(x)dx

(60)

又x1=x,x=0時(shí)，由式(56)，得

p(x)p(0)=p(x)

(61)

要求p(x)非平凡，即p(x)不能恒等于零，應(yīng)有

p(0)=1

(62)

則由式(60)得

p(x)p′(0)=p′(x)

(63)

對式(63)積分，得：

lnp(x)=p′(0)x+C

(64)

式(64)中的C是待定積分常數(shù)。利用式(62),可得C=0。又因p(x)是非平凡的實(shí)函數(shù)，p′(0)必為不等于0的實(shí)數(shù)。設(shè)p′(0)=λ≠0，則式(64)去對數(shù)，成為

p(x)=eλx≡ax。(a=eλ,λ≠0,a≠1,a>0)

證畢。

3 結(jié)論

基于最大熵原理和Rényi熵得到了完全開放系統(tǒng)的冪函數(shù)形式的概率分布、配分函數(shù)(式(20)和(21))、熵(式(22))和平均值公式(式(24)-(26))。

基于Rényi熵巨正則冪律分布、溫度-壓強(qiáng)等其他冪律分布、配分函數(shù)及平均值公式((30)-(50))也簡單地得出，它們都是自洽的，且當(dāng)Rényi熵中的參數(shù)q→1時(shí)，熱力學(xué)函數(shù)、平均值公式等都回到了傳統(tǒng)的玻爾茲曼-吉布斯統(tǒng)計(jì)的形式。

得到了可不必遵循熱力學(xué)定律的、用于一般復(fù)雜性的系統(tǒng)較為簡潔的冪律分布和平均值公式(式(11)-(17)或(52)-(55))。

嚴(yán)格證明了冪律分布不能用于忽略相互作用的系統(tǒng)及具有廣延性的熱力學(xué)系統(tǒng)。