固定鴨舵雙旋彈動態(tài)穩(wěn)定性分析

馬國梁，蔡紅明，常思江

(1.南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

常規(guī)彈藥制導(dǎo)化的改造過程中，從總體設(shè)計角度出發(fā)，需要綜合考慮作戰(zhàn)性能和制造成本。彈道修正彈通過對常規(guī)彈藥進行改進，加裝彈道修正組件，在保證低成本的同時提高命中精度，受到國內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域研究者的重視，先后出現(xiàn)了阻力修正彈、脈沖修正彈以及鴨舵修正彈[1]。隨著鴨舵控制機構(gòu)微型化技術(shù)的進步，鴨舵修正彈由于控制效率較高逐漸成為彈道修正彈的首選方案。雙旋彈是近年來出現(xiàn)的一種新型彈道修正彈，由彈道修正組件和主彈體兩部分組成，中間采用滾動軸承聯(lián)接，在彈道飛行過程中，兩部分以不同轉(zhuǎn)速繞彈體縱軸旋轉(zhuǎn)，其動力學(xué)特性分析[2]、導(dǎo)引及控制設(shè)計[3-4]得到國內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域研究者的重視。

雙旋彈修正機構(gòu)往往安裝在原來常規(guī)彈藥的引信部位，考慮到尺寸及成本的嚴格限制，前體鴨舵往往是固定的，沒有可動的舵面[5]，只能與整個彈道修正引信(CCF)一起繞彈體縱軸旋轉(zhuǎn)，因此可稱為固定鴨舵雙旋彈。Costello等[6]研究了雙旋彈線性理論，考慮了前體、后體的相互作用力和力矩，分析了雙旋彈的飛行穩(wěn)定性。法德圣路易斯研究所對雙旋彈風(fēng)洞測試、動力學(xué)特性、飛行穩(wěn)定性進行了長期研究[7-10]。王志剛等[11]采用多體動力學(xué)的凱恩方法建立了雙旋火箭彈的動力學(xué)模型。許諾等利用角運動方程分析了固定鴨舵雙旋彈的動力學(xué)特性[12]，進一步研究了固定鴨舵雙旋彈的動力學(xué)分岔特性[13]，并基于周期平均概念提出了一種雙旋彈的彈道修正控制方法[14]。郭致遠等[15]結(jié)合電機執(zhí)行機構(gòu)的特性，進一步研究了固定鴨舵雙旋火箭彈的周期控制策略。王鈺等[16]采用等效控制力方法分析了雙旋彈在側(cè)向控制力作用下的彈丸落點位置變化規(guī)律。常思江等[17]對雙旋彈鴨舵周期干擾引起的強迫運動進行了研究。Chang等論述了鴨舵控制和重力作用下雙旋彈的動態(tài)響應(yīng)[18]，并分析了雙旋彈的轉(zhuǎn)速特性[19]。Liu等[20]研究了在固定鴨舵控制力作用下的彈道擺動問題。

雙旋彈研制過程中，飛行穩(wěn)定性是應(yīng)該首要解決的理論問題。文獻[21]針對舵偏角可調(diào)節(jié)情況分析了雙旋彈的飛行穩(wěn)定性，文獻[6]的穩(wěn)定性分析方法適用于前體自由旋轉(zhuǎn)、不考慮鴨舵受控的情形，而文獻[12，22]在分析雙旋彈穩(wěn)定性時假定CCF勻速旋轉(zhuǎn)或者固定不動。從工程實際情況來看，考慮到控制律設(shè)計的多樣性，在整個彈道飛行控制過程中，CCF的控制滾轉(zhuǎn)角變化可能是任意時變的，這就需要應(yīng)用條件更寬泛的穩(wěn)定性分析方法。

通過分析固定鴨舵雙旋彈的結(jié)構(gòu)特點，本文將前體舵面滾轉(zhuǎn)角看作控制輸入量，研究滾轉(zhuǎn)角任意變化時的飛行穩(wěn)定性問題。根據(jù)固定鴨舵雙旋彈的力方程組和力矩方程組得出角運動狀態(tài)方程，選取二次Lyapunov函數(shù)分析角運動狀態(tài)矩陣的穩(wěn)定性。利用復(fù)數(shù)平方根計算方法得出了穩(wěn)定因子的表達式，并結(jié)合界實引理提出了絕對穩(wěn)定H∞范數(shù)的概念。研究結(jié)果表明：固定鴨舵雙旋彈動態(tài)穩(wěn)定的充分條件是同時滿足穩(wěn)定因子約束和絕對穩(wěn)定H∞范數(shù)約束。最后分別通過仿真示例驗證了固定鴨舵雙旋彈動態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)的有效性。

1 動力學(xué)建模

1.1 前提假設(shè)

固定鴨舵雙旋彈的CCF主要集中在引信部位，如圖1所示。后體高速旋轉(zhuǎn)時，前體舵面如果不加任何鎖定力矩，仍會由于軸承摩擦力矩的影響以一定轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)。前體有兩對舵面：舵面1和舵面3為減旋舵面，設(shè)計時有一定導(dǎo)轉(zhuǎn)角，產(chǎn)生的導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩方向與軸承摩擦力矩方向相反，以降低后體高速轉(zhuǎn)動對前體的影響；舵面2和舵面4為鴨舵，用于產(chǎn)生舵面升力，與制導(dǎo)彈藥常見的舵面機構(gòu)不同，舵面2和舵面4的舵偏角是固定的，即所謂的固定鴨舵，只能改變整個前體組件的控制滾轉(zhuǎn)角，使得鴨舵升力方向發(fā)生變化，以改變飛行彈道。為便于分析，只考慮影響較大的氣動力與力矩，通過氣動計算及實驗分析可以對氣動系數(shù)進行估計。

圖1 固定鴨舵雙旋彈Fig.1 Fixed canard dual-spin projectile

1.2 坐標系定義

1.2.1 地面發(fā)射坐標系

地面發(fā)射坐標系與地球表面固連，坐標原點定義在炮口斷面中心，x軸沿水平線指向射擊方向，y軸在水平面內(nèi)，垂直射擊面向右(由彈底部前視)，z軸按右手法則定義指向下方。為簡化研究，將地面發(fā)射坐標系近似為慣性坐標系。

1.2.2 彈體固定面坐標系

1.2.3 前體坐標系

坐標原點O位于全彈質(zhì)心。xb軸與彈體縱軸重合指向彈頭，yb軸垂直于前體縱向?qū)ΨQ面指向右側(cè)，zb軸按右手法則定義指向下方。前體坐標系由BFP坐標系旋轉(zhuǎn)滾轉(zhuǎn)角φF得到，根據(jù)固定鴨舵雙旋彈的特點，φF看作是控制量。

1.3 氣動力及氣動力矩

為簡化問題，結(jié)合雙旋彈氣動外形特點，主要考慮影響較大的氣動力和氣動力矩。忽略馬格努斯力，對于舵面部分，只考慮舵面引起的升力和俯仰力矩。

1.3.1 阻力

1.3.2 彈體升力

彈體升力向量表示為

(1)

式中：xu為彈體縱軸方向上的單位向量；i為飛行速度方向上的單位向量；CLα為彈體升力系數(shù)。

1.3.3 舵面升力

1.3.4 彈體俯仰力矩

外彈道學(xué)中習(xí)慣稱為靜力矩或者翻轉(zhuǎn)力矩，彈體俯仰力矩向量為

(2)

式中：d為參考長度，這里取彈的直徑為參考長度；CMα為彈體俯仰力矩系數(shù)。

1.3.5 俯仰阻尼力矩

(3)

式中：CMq為俯仰阻尼力矩系數(shù)。

俯仰阻尼力矩在外彈道學(xué)中習(xí)慣稱為赤道阻尼力矩。

1.3.6 彈體滾轉(zhuǎn)阻尼力矩

滾轉(zhuǎn)阻尼力矩在外彈道學(xué)中習(xí)慣稱為極阻尼力矩，滾轉(zhuǎn)阻尼力矩方向指向彈體縱軸，大小為

(4)

式中：p為彈體轉(zhuǎn)速；Clp為滾轉(zhuǎn)阻尼力矩系數(shù)。

1.3.7 馬格努斯力矩

馬格努斯力矩向量方向指向彈體縱軸，表示為

(5)

式中：CMpα為馬格努斯力矩系數(shù)。

1.3.8 舵面俯仰力矩

1.4 其他力和其他力矩

整個彈丸在飛行過程中質(zhì)量不變，忽略重力常數(shù)隨彈道高度的變化，認為彈丸飛行過程中受到恒定的重力作用。

研究固定鴨舵雙旋彈的角運動變化規(guī)律時，前體和后體相互作用的摩擦力矩客觀存在，而且根據(jù)軸承結(jié)構(gòu)的特點，摩擦力矩主要包括黏滯摩擦力矩和滾動摩擦力矩。本文將前體舵面滾轉(zhuǎn)角φF看作控制量，重點討論固定鴨舵雙旋彈的飛行穩(wěn)定性問題，因此暫不分析摩擦力矩的具體影響。

1.5 動力學(xué)模型

固定鴨舵雙旋彈的動力學(xué)模型不同于傳統(tǒng)的6自由度外彈道模型，一些學(xué)者在研究雙旋彈動力學(xué)特性時，常常將彈丸前體和后體的轉(zhuǎn)速都看作獨立運動變量，相對于傳統(tǒng)的6自由度外彈道模型增加了1個前體轉(zhuǎn)速變量，因此建立的是7自由度外彈道模型[6，17]。由于固定鴨舵雙旋彈的舵偏角固定，對彈道進行修正時只能通過改變前體滾轉(zhuǎn)角φF來實現(xiàn)，在此情況下前體轉(zhuǎn)速不再是獨立運動變量，受到滾轉(zhuǎn)角控制量φF的限制。本文主要研究固定鴨舵雙旋彈前體受控條件下的飛行穩(wěn)定性，因此沒有采用文獻[6，17]的7自由度模型，而是采用文獻[9]得到的固定鴨舵雙旋彈6自由度模型。根據(jù)BFP坐標系的定義可以得出pBFP=-rtanθ，由牛頓第二定律，經(jīng)推導(dǎo)可得雙旋彈力學(xué)方程組為

(6)

(7)

(8)

式中：u、v、w為飛行速度向量在BFP坐標系中的3軸分量；m為全彈質(zhì)量；g為重力加速度常數(shù)。 進一步根據(jù)動量矩定理，經(jīng)推導(dǎo)可得雙旋彈力矩方程組為

(9)

(10)

(11)

式中：Ix為軸向轉(zhuǎn)動慣量；Iy為橫向轉(zhuǎn)動慣量。

2 穩(wěn)定性分析

2.1 線性化狀態(tài)方程

根據(jù)BFP坐標系的3軸速度分量計算彈體攻角α和側(cè)滑角β，有以下關(guān)系式成立：

u=vpcosαcosβ,

(12)

v=vpsinβ,

(13)

w=vpsinαcosβ.

(14)

αF≈αcosφF+βsinφF.

(15)

將(12)式～(15)式代入力方程組和力矩方程組，進行線性化處理，將得到以x為變量的狀態(tài)方程，其中氣動系數(shù)CFL0、CFM0出現(xiàn)在狀態(tài)方程的非齊次項中?？紤]到動態(tài)穩(wěn)定性討論問題的特點，只保留狀態(tài)方程的齊次項，得到固定鴨舵雙旋彈角運動狀態(tài)空間模型為

(16)

式中：A=

可以看出，角運動狀態(tài)矩陣可以分解為兩項相加的形式，一項為A，另一項為Bζ.A只與彈體部分的氣動系數(shù)及彈道運動參數(shù)有關(guān)，而彈體部分氣動系數(shù)與原來無控彈的氣動系數(shù)數(shù)值接近，因此為便于敘述，將A稱為無控狀態(tài)矩陣。B與前體鴨舵的氣動導(dǎo)數(shù)有關(guān)，ζ與前體鴨舵的滾轉(zhuǎn)角數(shù)值有關(guān)，相應(yīng)地將Bζ稱為有控狀態(tài)矩陣。

2.2 固定鴨舵雙旋彈絕對穩(wěn)定性判據(jù)

在固定鴨舵雙旋彈的研制過程中，需要根據(jù)彈道偏差改變前體舵面滾轉(zhuǎn)角φF，即控制量φF將是變化的。如果固定鴨舵雙旋彈在φF任意變化時都是絕對穩(wěn)定的，將會給φF的控制律設(shè)計帶來很大方便，為此提出固定鴨舵雙旋彈絕對穩(wěn)定性判據(jù)，表述如下：

(17)

式中：I為維數(shù)適當?shù)膯挝痪仃嚒?/p>

(18)

由于始終滿足

(19)

展開(19)式，整理可得

(20)

計算可知

則有

(21)

由定理1可以看出，固定鴨舵雙旋彈的動態(tài)穩(wěn)定性問題可以通過求解一個Riccati不等式(17)式來判別。根據(jù)Schur引理[23]，(17)式等價于如下矩陣不等式成立：

(22)

對定理1的結(jié)果可以作進一步轉(zhuǎn)化，為此引入由Scherer改進的界實引理[24]：

(23)

式中：s為Laplace算子。

(24)

定理2對于固定鴨舵雙旋彈，若飛行狀態(tài)矩陣A是穩(wěn)定的且‖(sI-A)-1B‖∞<1，則在前體舵面控制滾轉(zhuǎn)角φF任意變化的情況下，固定鴨舵雙旋彈都絕對是動態(tài)穩(wěn)定的。

根據(jù)飛行力學(xué)理論可知，當增大前體鴨舵的升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)時，對應(yīng)的俯仰力矩導(dǎo)數(shù)會相應(yīng)增大，而由B矩陣的表達式可知，這會使‖(sI-A)-1B‖∞的數(shù)值增大，就越不容易滿足絕對穩(wěn)定判據(jù)，對飛行穩(wěn)定性帶來不利影響。

2.3 穩(wěn)定因子和絕對穩(wěn)定H∞范數(shù)

由定理2可知，固定鴨舵雙旋彈的絕對穩(wěn)定條件要求A是穩(wěn)定陣‖(sI-A)-1B‖∞<1，根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論可知，如果狀態(tài)矩陣A的所有特征根具有負實部，則A是穩(wěn)定的。

通過符號化求解，可得A的4個特征根為

(25)

(26)

(27)

(28)

式中：a=4M+H2-P2+4T(T-H)；b=2P(2T-H+2K)。

根據(jù)復(fù)數(shù)的平方根計算方法[25]，可以進一步對特征根的形式進行整理：當b≥0時，4個特征根可以表示為如下兩對共軛復(fù)根：

(29)

(30)

當b<0時，4個特征根可以表示為如下兩對共軛復(fù)根：

(31)

(32)

兩對共軛復(fù)根的實部取值也不同，分別為

(33)

(34)

定理3在前體舵面控制滾轉(zhuǎn)角φF任意變化的情況下，固定鴨舵雙旋彈絕對動態(tài)穩(wěn)定的條件為：

1) 穩(wěn)定因子λs<0；

2)絕對穩(wěn)定H∞范數(shù)滿足Sa<1.

定理3可用于判斷具有固定鴨舵結(jié)構(gòu)的尾翼穩(wěn)定彈或者旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈。固定鴨舵雙旋彈的絕對穩(wěn)定條件在形式上比無控彈穩(wěn)定條件更加保守，無控狀態(tài)矩陣A穩(wěn)定不一定能保證固定鴨舵雙旋彈的絕對穩(wěn)定性，而固定鴨舵雙旋彈如果是絕對動態(tài)穩(wěn)定的，則無控狀態(tài)矩陣A一定是穩(wěn)定的。

3 仿真分析

采用某固定鴨舵155 mm榴彈的有關(guān)數(shù)據(jù)進行外彈道仿真分析，仿真用到的物理參數(shù)如表1所示，氣動力系數(shù)如表2所示，氣動力矩系數(shù)如表3所示。

表1 物理參數(shù)

仿真初始條件為：初速930 m/s，初始轉(zhuǎn)速1 885 rad/s，俯仰角初值θ0=45°，其余狀態(tài)初值為0，采用炮兵標準氣象條件進行仿真計算。

表2 氣動力系數(shù)

表3 氣動力矩系數(shù)

為了驗證絕對穩(wěn)定性分析方法的有效性，生成前體鴨舵控制滾轉(zhuǎn)角的隨機指令曲線如圖2所示。外彈道仿真計算表明，全彈道穩(wěn)定因子λs的變化曲線如圖3所示，可以看出始終滿足λs<0，意味著無控狀態(tài)矩陣A是穩(wěn)定的。全彈道的絕對穩(wěn)定H∞范數(shù)Sa變化曲線如圖4所示，可以看出始終滿足Sa<1. 同時滿足λs<0及Sa<1，意味著固定鴨舵雙旋彈在控制滾轉(zhuǎn)角φF任意變化情況下都是絕對動態(tài)穩(wěn)定的。

圖2 鴨舵滾轉(zhuǎn)角曲線Fig.2 Curve of canard roll angle

圖3 穩(wěn)定因子曲線Fig.3 Curve of stability factor

圖4 絕對穩(wěn)定H∞范數(shù)曲線Fig.4 Curve of H∞ norm of absolute stability

繪制出固定鴨舵雙旋彈的攻角側(cè)滑角變化曲線如圖5所示，可見在固定鴨舵控制滾轉(zhuǎn)角隨機變化的作用下，彈丸始終是動態(tài)穩(wěn)定的。

圖5 固定鴨舵雙旋彈攻角- 側(cè)滑角曲線Fig.5 Attack angle-slide angle curve of fixed canard dual-spin projectile

靶場的多次試驗結(jié)果表明，該雙旋彈在鴨舵滾轉(zhuǎn)角固定(φF為0°、90°、180°、-90°)和變化情況下，飛行過程都是動態(tài)穩(wěn)定的，也進一步驗證了以上分析結(jié)論。

4 結(jié)論

本文建立了固定鴨舵雙旋彈在前體滾轉(zhuǎn)角控制作用下的6自由度外彈道模型，研究了滾轉(zhuǎn)角控制量任意變化時的動態(tài)穩(wěn)定性問題。采用狀態(tài)空間模型及Lyaounov方法進行分析，最終給出了固定鴨舵雙旋彈的絕對穩(wěn)定判據(jù)。所得主要結(jié)論如下：

1) 在固定鴨舵控制滾轉(zhuǎn)角任意時變的條件下，固定鴨舵雙旋彈的絕對穩(wěn)定問題可以通過判斷1個Riccati形式的線性矩陣不等式是否成立來解決。

2) 要想充分保證固定鴨舵雙旋彈的動態(tài)穩(wěn)定性，需要同時滿足穩(wěn)定因子約束和絕對穩(wěn)定H∞范數(shù)約束。

3) 固定鴨舵的升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)數(shù)值增大時，會更不容易滿足絕對穩(wěn)定判據(jù)。

4) 本文的絕對穩(wěn)定性判據(jù)適用于鴨舵滾轉(zhuǎn)角任意時變的所有情況，鴨舵滾轉(zhuǎn)角保持常值時仍可使用，不過會有一定保守性。鴨舵的氣動系數(shù)CFL0、CFM0雖然沒有影響動態(tài)穩(wěn)定性，但對追隨穩(wěn)定性會產(chǎn)生影響，這都有待進一步研究。