準同步DFT諧相角的線性修正算法

傅中君 王建宇 歐云 周根元 白鳳娥 趙小榮

摘要：針對準同步DFT諧波分析方法在信號頻偏時的短范圍泄漏問題，研究準同步DFT諧相角的線性特性，建立準同步DFT諧相角與信號頻偏率、諧次、迭代次數(shù)之間的線性修正模型，給出了準同步DFT諧相角的線性修正方法。該方法首先根據(jù)相鄰采樣點之間的基波相角差只與信號頻率和采樣頻率相關(guān)的原理來測量信號頻偏率，再按照只與信號頻偏率、諧次、迭代次數(shù)相關(guān)的諧相角線性修正公式對準同步DFT的諧波分析結(jié)果進行修正。實驗表明準同步DFT諧相角線性修正算法能夠有效抑制短范圍頻譜泄漏，在較寬信號頻偏范圍內(nèi)獲得高精確度的諧相角分析結(jié)果。

關(guān)鍵詞：諧波分析;準同步DFT;頻譜泄漏;諧相角;線性修正

DOI：10.15938/j.emc.2019.09.014

中圖分類號：TM 935

文獻標志碼：A

文章編號：1007-449X（2019）09-0108-07

Linear correcting algorithm for quasi?synchronous DFT′s ?harmonic phase

FU Zhong?jun1，2，WANG Jian?yu2，OU Yun3，ZHOU Gen?yuan1，?BAI Feng?e1，ZHAO Xiao?rong1

（1.School of Computer Engineering，Jiangsu University of Technology， Changzhou 213001， China; ?2.School of Automation，Nanjing University of Science & Technology， Nanjing 210094， China; ?3.Changzhou Foreign Languages School， Changzhou 213001， China）

Abstract：

Aiming at the short?range leakage problem of quasi?synchronous DFT （QSDFT） harmonic analysis method when signal frequency deviated， the linear characteristics of QSDFT′s harmonic phase angle were studied， and linear correction model between QSDFT′s harmonic angles and signal frequency deviation rate， harmonic order and iteration number were established. Furthermore， the linear correction method of QSDFT′s harmonic phase was given. Firstly， the signal frequency deviation rate was measured by the principle that the fundamental phase angle difference between adjacent sampling points is only related to the signal frequency and the sampling frequency. And then， the harmonic analysis result of QSDFT was corrected through the phase linearity correction formula. Simulation and experiment results show that this proposed algorithm can increase the accuracy of harmonic phase efficiently in the wide frequency range by minimizing short?range spectral leakage.

Keywords：harmonic analysis; quasi?synchronous DFT; spectral leakage; harmonic phase; linear correction

0引言

諧波分析技術(shù)能夠把復雜信號分解成簡單周期信號來認識事物的本質(zhì)，因此它在電能質(zhì)量監(jiān)控、電子產(chǎn)品生產(chǎn)檢驗、電器設(shè)備監(jiān)控等眾多領(lǐng)域應用廣泛。諧波分析的主要參數(shù)有諧幅值、諧相角兩個，通常諧幅值應用較多，但是在應用諧波法進行相位測量的場合同樣需要高精度的諧相角參數(shù)。在工程應用中，最常用的諧波分析方法是離散傅里葉變換（discrete Fourier transform，DFT）和快速傅里葉變換（fast Fourier transformation，F(xiàn)FT）。進行諧波分析時，總是有限點的采樣和難以做到嚴格意義的同步采樣，這樣，在應用DFT和FFT進行諧波分析時就會存在由于截斷效應導致的長范圍泄漏以及柵欄效應導致的短范圍泄漏，使得分析結(jié)果精度不高，甚至不可信。通常情況下，采用加窗插值修正算法來抑制頻譜泄漏。

文獻提出了一種新的解決思路——準同步DFT（quasi?synchronous DFT，QSDFT），其核心思想是：將準同步采樣算法和DFT相結(jié)合，通過多次迭代運算以梯形法或其他積分法求面積和抵消非同步采樣造成的誤差。準同步DFT具有采樣長度短、算法簡單、系統(tǒng)開銷小、程序易于實現(xiàn)等技術(shù)優(yōu)勢，并且信號頻偏頻率測量精度高，但是準同步諧波分析算法對信號頻偏導致的短范圍頻譜泄漏抑制不足，即信號頻偏時尤其諧相角的分析精度不高，需要進一步的完善。目前常用的改進方法有參數(shù)自適應準同步采樣算法、周期點數(shù)修正法、鎖相環(huán)技術(shù)、最小二乘法等，但是以上方法都不能完全有效地抑制準同步DFT的頻譜泄漏。文獻在準同步DFT 諧波分析算法的基礎(chǔ)上，提出了一種基于非整數(shù)波概念的諧波分析算法，該算法可以獲得極高精度的諧波分析結(jié)果，但是需要兩次迭代運算才能獲得分析結(jié)果，不適合進行實時運算。

準同步DFT采用多次迭代的積分方法來抑制頻譜泄漏，導致準同步頻譜函數(shù)極為復雜，也就無法通過反演來推導精確的、能夠適應不同頻偏情況的修正算法。本文避開準同步諧波分析算法反演推導修正的難點，在總結(jié)仿真實驗規(guī)律和進一步理論證明的基礎(chǔ)上獲得準同步DFT信號頻偏與諧相角誤差之間的關(guān)系函數(shù)，并根據(jù)這個函數(shù)規(guī)律給出了準同步DFT諧相角的線性修正算法（phase linear correcting algorithm for QSDFT，QSPLCA）。仿真和應用實驗表明，該方法正確有效。

1準同步DFT算法分析

1.1準同步DFT

設(shè)一周期信號

f（t）=A0+∑Mk=1Aksin（2πkf1t+φk）。（1）

式中：fs=1/Ts為采樣頻率;f1=Ts /N為f（t）頻率;N為周期內(nèi)采樣點數(shù)。對其在區(qū)間內(nèi)按fs進行等間隔采樣W+1次，獲得采樣數(shù)據(jù)f（i）。

對采樣獲得的數(shù)據(jù)f（i）按式（2）進行運算可以獲得k次諧波的實部ak和虛部bk。

ak=2Fnak（j）=

2Q∑Wi=0γif（i+j）cos（k2πNi），

bk=2Fnbk（j）=

2Q∑Wi=0γif（i+j）sin（k2πNi）。（2）

式中：j為運算起點，一般為0;n為迭代次數(shù);W由積分方法決定，例如復化梯形積分方法W=nN;γi為一次加權(quán)系數(shù);Q=∑Wi=0γi，為所有加權(quán)系數(shù)之和，W=nN時Q=（N+1）n。

1.2準同步DFT對長范圍頻譜泄漏的抑制

在諧波分析中，所要處理的信號一般為采樣和A/D轉(zhuǎn)換后得到的數(shù)字信號。也就是說，進行諧波分析的信號相當于對無限長的信號做了持續(xù)時間為T=NTS 的截斷，因而造成離散傅立葉變換的泄漏現(xiàn)象（圖1）。

應用準同步諧波分析算法進行諧波分析時，基于準同步采樣的收斂作用，離散譜線的主瓣將加寬，旁瓣被抑制。圖1還分別給出了迭代次數(shù)為n=2、4、8時的離散頻譜，隨著迭代次數(shù)的增加，主瓣逐漸收斂，旁瓣抑制越發(fā)明顯，能量趨于集中。當n=4時，旁瓣已經(jīng)基本被抑制;n=8時，主瓣已經(jīng)收斂到各次諧波泄漏的能量相互之間影響極其微小的程度。從這個角度講，準同步采樣是一個良好的窗函數(shù)，對長范圍泄漏的抑制作用明顯，所以有時也稱之為準同步窗。

1.3信號頻偏對準同步DFT的影響

實際測量中，受采樣時鐘精度、采樣時鐘整數(shù)倍誤差、信號頻率漂移等多種因素的影響，采樣過程難以做到嚴格的整周期同步采樣，而其中信號頻率的漂移是造成短范圍泄漏的主要原因。理論上說，基于多次迭代收斂特性的準同步DFT對頻率漂移所造成的短范圍泄漏具有一定的抑制作用。但是在實際應用中，準同步DFT對短范圍泄漏的抑制作用并不明顯，圖2給出了當信號頻率從49.5 Hz到50.5 Hz漂移時應用準同步DFT算法（迭代次數(shù)n=8）對式（3）所產(chǎn)生的波形進行諧波分析所產(chǎn)生的誤差。

f（t）=∑7k=0A2k+1sin[（2k+1）ωt+φ2k+1]。（3）

式中：A2k+1、φ2k+1均為任意給定。

通過圖2可以看出，準同步DFT算法的諧相角除了50Hz時其余均誤差極大，基本不可信。因此準同步DFT算法只能應用在信號頻偏較小、對幅值精度要求不太高的場合，并且基本不能應用于諧相角分析的場合。

2準同步DFT算法分析諧相角誤差的線性特性

為了分析準同步DFT諧相角誤差影響因素和規(guī)律，進而得到諧相角誤差的關(guān)系函數(shù)，首先從理論上來探討準同步DFT諧相角誤差的線性特性，進而設(shè)計了一系列的實驗來考察準同步DFT諧相角誤差與信號頻偏、諧次、迭代次數(shù)、采樣點數(shù)等之間的相互關(guān)系。

2.1準同步DFT諧相角的線性誤差特性

由文獻可知，當N>（2+Nf/fS）、fS/N>2M|f|、n>4時，有

Fnka≈（γkk）nAksin（2πf1NTsCn+φ′k），

Fnkb≈（γkk）nAkcos（2πf1NTsCn+φ′k）。（4）

式中：f為信號頻偏;M為最大諧次;

Cn=i0N+n1212N;（5）

γkk=1Nsin（πfNTs）sin（πfTs）。（6）

即

φnk=tg-1FnkaFnkb≈φk+C。（7）

式中：C為與信號頻偏f、迭代次數(shù)n和諧次k等相關(guān)的常數(shù)。

式（7）表明，各次諧波的諧相角分析結(jié)果與真實值之間存在線性關(guān)系。但是文獻并未給出常數(shù)C的確定方法，因此無法直接應用該結(jié)論進行諧相角修正。

2.2準同步DFT諧相角誤差與信號頻偏之間的關(guān)系

為考察準同步DFT的諧相角絕對誤差與信號頻偏之間的關(guān)系，選擇n=8、N=128，分析信號為f1=49.5～50.5 Hz、幅值任意、初相角任意的正弦信號，諧相角絕對誤差與信號頻偏之間的關(guān)系如圖3。

由圖3可知：（1）諧相角絕對誤差和信號頻偏之間存在線性關(guān)系;（2）信號每頻偏0.1 Hz諧相角偏差2.88°。

2.3準同步DFT諧相角誤差與諧次的關(guān)系

為考察準同步DFT的諧相角絕對誤差與諧次之間的關(guān)系，選擇n=8、N=128，分析信號為f1=49.5～50.5 Hz、幅值任意、初相角任意、諧次為1～15次的信號，考慮信號的周期性，諧相角絕對誤差與信號諧次之間的關(guān)系如圖4。

由圖4可知：（1）不同頻率下諧相角絕對誤差和諧次之間存在線性關(guān)系;（2）各次諧相角絕對誤差=基波諧相角絕對誤差*諧次。

2.4準同步DFT諧相角誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系

為考察準同步DFT的諧相角絕對誤差與迭代次數(shù)之間的關(guān)系，選擇n=4～8、N=128，分析信號為f1=49.5～50.5 Hz、幅值任意、初相角任意的正弦信號，諧相角絕對誤差與迭代次數(shù)之間的關(guān)系如圖5。

由圖5可知：（1）不同頻率下諧相角絕對誤差和迭代次數(shù)之間存在線性關(guān)系;（2）各次諧相角絕對誤差隨著迭代次數(shù)的增加而成倍數(shù)增加。

另外，仿真實驗還表明常數(shù)C只與信號頻偏f、迭代次數(shù)n和諧次k相關(guān)，與采樣點數(shù)N等其他參數(shù)無關(guān)，限于篇幅不再給出實驗數(shù)據(jù)。

3準同步DFT諧相角的線性修正算法

3.1線性修正公式

定義：信號頻偏率μ為信號頻率的漂移程度。

μ=Nf1/fs。（8）

顯然，信號頻率無漂移時μ=1;信號頻率漂移時，μ≠1。

綜上，準同步DFT諧相角與信號頻偏、迭代次數(shù)n、諧次k之間存在線性關(guān)系。結(jié)合實驗數(shù)據(jù)分析，可以得出準同步DFT諧相角的線性修正公式

φk=φnk+C=φnk+kn（1-μ）π。（9）

式中：C=kn（1-μ）π。

3.2信號頻偏率

由式（4）可得

Fn1a≈（γ11）nA1sin（2πf1NTsCn+φ′1），

Fn1b≈（γ11）nA1cos（2πf1NTsCn+φ′1）。（10）

對于從第i個采樣點進行準同步DFT諧波分析，其基波初相角φ1 （i）為

φ1（i）=tg-1Fn1a（i）Fn1b（i）=

2πfNTsiN+n12-12N+φ′1。（11）

那么，對于兩個相鄰采樣點，其基波初相角差為

φ1（i+1）-φ1（i）=2πf1/fs。（12）

工程應用時，可以從i=0和i=1兩個起點應用式（2）進行計算獲得兩個相鄰采樣點的基波初相角φ1 （0）和φ1 （1），然后計算出μ。其算式為

μ=Ntg-1Fna1（1）Fnb1（1）-tg-1Fna1（0）Fnb1（0）2π。（13）

基于準同步DFT諧相角誤差的線性特性，相鄰采樣點之間的基波相角差只與信號頻率f1和采樣頻率fs有關(guān)。

3.3線性修正算法

線性修正算法的分析過程包含5個步驟，具體如下：

1）采樣W+2個數(shù)據(jù)（W由積分方法決定）。標準的準同步DFT算法需要采樣W+1個數(shù)據(jù)，由于需要從j=0和j=1兩個起點進行諧波分析，所以需要增加一個采樣點。

2）從j=0應用式（2）計算Fna1（0）和Fnb1（0）;

3）從j=1應用式（2）計算Fna1（1）和Fnb1（1）;

4）應用式（13）計算信號頻偏率μ;

5）應用式（9）計算各次諧波的諧相角。

4實驗

為了驗證改進算法的有效性，對式（3）產(chǎn)生的波形進行諧波分析。信號頻率漂移的范圍為49.5～50.5 Hz、幅值和諧相角任意，并按照fs=6 400 Hz、N=128、迭代次數(shù)n=4、6、8進行采樣。

4.1信號頻偏率的仿真結(jié)果

線性修正算法的分析精度直接依賴于信號頻偏率μ的分析精度。表1給出了改進算法下μ的仿真結(jié)果的相對誤差。仿真結(jié)果表明可以獲得極高分析精度的μ。

4.2諧相角的仿真結(jié)果

限于篇幅，本文只給出線性修正算法下的諧相角絕對誤差圖（圖6）。n=4時，最大相角誤差=-0.004 912 235（°）;n=6時，最大相角誤差=-5.580 0×10-6（°）;n=8時，最大相角誤差=-2.544 8×10-8（°）。

對照圖2和圖6，可以得出以下結(jié)論：

1）線性修正算法獲得的諧相角具有極高的分析精確度。

2）迭代次數(shù)對分析精確度有較大的影響。迭代次數(shù)每增加1次，分析精確度幾乎可以增加一個數(shù)量級。系統(tǒng)開銷允許的情況下選擇更高的迭代次數(shù)，線性修正可以獲得更高精確度的分析結(jié)果。

3）隨著信號頻率的漂移的增加，諧相角的分析誤差會增加。

4）高次諧波的諧相角分析精確度略低于低次諧波的分析精確度。

5應用

為驗證方法的可行性，應用本文方法到容性設(shè)備在線監(jiān)測裝置JCQ-5中（圖7）。容性設(shè)備是電力系統(tǒng)非常重要的運行設(shè)備，為評估其當前運行狀態(tài)，通常需要在線監(jiān)測它的電流i、介損角或者介損因子tg。其中

=2π-（φi1-φu1）。（14）

式中：φi1是i的基波初相角;φu1是u的基波初相角。

JCQ-5包含4個部分：電壓/電流互感器、信號調(diào)理電路、同步ADC AD7606和CPU STM32F103。JCQ-5裝置分別同步采樣i和市電信號、u，采樣頻率fs=6 400 Hz、N=128、迭代次數(shù)n=8。然后計算相對于市電信號的相位差φi1和φu1，最后匯總計算和tg。

作為比較，分別嵌入FFT、QSDFT和QSPLCA諧波分析算法到JCQ-5中測量，持續(xù)記錄72小時的數(shù)據(jù)進行分析。它們的具體表現(xiàn)見表2。

表2表明：QSPLCA諧波分析算法相對于QSDFT和FFT而言具有較大的優(yōu)勢。

6結(jié)論

準同步DFT諧相角線性修正算法不需要增加系統(tǒng)的硬件成本，而且只用較少的采樣點數(shù)就能夠達到極高的諧相角分析進度，相對而言具有以下優(yōu)勢：

1）準同步DFT諧相角線性修正算法彌補了準同步DFT算法的對于短范圍泄漏抑制不足的缺陷，放寬了準同步DFT對于同步采樣的要求，顯著提高了各次諧波的諧相角分析準確度。

2）該算法相對于標準準同步DFT算法而言，只需要增加1個采樣點和增加1次基波初相角的計算，就可應用線性修正公式獲得極高的諧相角分析精度。

3）應用線性修正算法進行諧相角分析時，合理設(shè)計程序，仍可進行實時計算。

4）該算法采樣點數(shù)少，算法簡單，分析精度高，并且不需要增加現(xiàn)有系統(tǒng)的硬件成本，具有較高的實用價值。

該方法已應用于江蘇順創(chuàng)電氣有限公司的電力系統(tǒng)容性設(shè)備在線監(jiān)測裝置JCQ-5和氧化鋅避雷器阻性電流在線監(jiān)測裝置中，獲得了非常好的測量效果。

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