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    “學霸”錯題集之“一元二次方程”篇

    2019-11-04 02:53:11畢美秀
    初中生世界·九年級 2019年9期
    關(guān)鍵詞:直角邊長剖析

    畢美秀

    一元二次方程是初中數(shù)學中的重要內(nèi)容之一,也是各地中考中的“??汀?。為了讓同學們更好地掌握這部分知識,減少解題時的失誤,讓我們一起來看看“學霸們”整理的錯題集吧!

    類型1 理解定義不到位,忽略“a≠0”

    例1 (2019 ·棗莊)已知關(guān)于x的方程ax2+2x-3=0有兩個不相等的實數(shù)根,則a的取值范圍是。

    【錯解】有的同學一看到有兩個不相等的實數(shù)根,立刻想到b2-4ac>0,于是b2-4ac=22-4·a·(-3)=4+12a>0,解得a>[-13]。

    【剖析】題目中雖然沒有直接說這是一個一元二次方程,但是從“有兩個不相等的實數(shù)根”可以判斷出它不是一元一次方程。對于形如ax2+bx+c=0的一元二次方程,a≠0很容易被忽視,所以當一元二次方程的二次項系數(shù)含有字母時,一定要考慮其值不能為0。

    【正解】因為有兩個不相等的實數(shù)根,所以b2-4ac>0,即a>[-13],又因為a≠0,所以a的取值范圍是a>[-13]且a≠0。

    例2 若關(guān)于x的方程(m-1)xm2+1-4x+1=0是一元二次方程,則m的值為。

    【錯解】因為是一元二次方程,所以含有x的項的最高次數(shù)應(yīng)該是2,即m2+1=2,解得m=±1。

    【剖析】二次項系數(shù)是m-1,當m=1時,m-1=0,即此方程變成一元一次方程-4x+1=0,顯然不符合題意,所以m=1應(yīng)舍去。

    【正解】根據(jù)題意得m2+1=2,解得m=±1,又因為m-1≠0,即m≠1,所以m的值為-1。

    類型2 求未知系數(shù)值,忽略“b2-4ac≥0”

    例3 關(guān)于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù),則a的值為()。

    A.2B.0

    C.2或0 D.1

    【錯解】設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,根據(jù)題意有x1+x2=0,因為x1+x2=-(a2-2a)=0,解得a=2或0,所以選C。

    【剖析】上述解答中只考慮到兩個實數(shù)根互為相反數(shù)這一條件,卻忽視了實數(shù)根是否存在。實際上當a=2時,原方程為x2+1=0,其沒有實數(shù)根,應(yīng)舍去。所以利用根與系數(shù)關(guān)系求值后,需要將值代回原方程中驗證方程是否有實數(shù)根,或者代入判別式b2-4ac計算,確認是否滿足“b2-4ac≥0”。

    【正解】因為兩個實數(shù)根互為相反數(shù),設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,則有x1+x2=0。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,x1+x2=-(a2+2a)=0,解得a=2或0。

    當a=2時,原方程為x2+1=0,x2=-1<0或者判別式=-4<0,原方程沒有實數(shù)根,所以a=2應(yīng)舍去;

    當a=0時,原方程為x2-1=0,解得x=±1,兩個實數(shù)根互為相反數(shù),符合題意。

    所以正確答案應(yīng)為B。

    類型3 方程步驟不明晰,忽略條件而丟根

    例4 解下列方程:

    (1)(x-1)2=9;(2)(2x+3)2=(3x-2)2。

    【錯解】(1)x-1=3,x=4;

    (2)2x+3=3x-2,x=5。

    【剖析】形如x2=a(a≥0)的一元二次方程可以使用直接開平方法計算,但是根據(jù)平方根的定義,x=[±a]而不是x=[a]。

    【正解】(1)x-1=±3,x-1=3或x-1=-3,即x1=4,x2=-2;

    (2)2x+3=±(3x-2),2x+3=3x-2或2x+3=-(3x-2),即x1=5,x2=[-15]。

    例5 (2019 ·揚州)一元二次方程x(x-2)=x-2的根是。

    【錯解】兩邊同時除以(x-2),得x=1。

    【剖析】因為(x-2)是含有未知數(shù)的式子,有可能為0,而等式的性質(zhì)2中明確說明“等號兩邊同時乘或除以一個不為0的數(shù),等式依然成立”。所以這道題是不能利用兩邊同時除以(x-2)來求解的,這樣會丟根。

    【正解】移項得x(x-2)-(x-2)=0,提公因式得(x-1)(x-2)=0,x-1=0或x-2=0,解得x1=1,x2=2。

    類型4 實際意義理解不到位,求解忘取舍

    例6 在Rt△ABC中,∠C=90°,斜邊c=[5],兩條直角邊長分別為關(guān)于x的方程x2-(m+1)x+m=0的兩個實數(shù)根,求m的值。

    【錯解】解方程x2-(m+1)x+m=0,得x1=m,x2=1,即Rt△ABC的兩條直角邊長分別為m,1。又知斜邊c=[5],由勾股定理,得m2+1=([5])2,解得m=±2。

    【剖析】由題意可知x1=m,是直角三角形的直角邊長,應(yīng)是正數(shù),所以m=-2不合題意,應(yīng)舍去。

    【正解】解方程x2-(m+1)x+m=0,得x1=m,x2=1,即Rt△ABC的兩條直角邊長分別為m,1。又知斜邊c=[5],由勾股定理,得m2+1=([5])2,解得m=±2。當m=-2時不合題意,舍去,所以m的值是2。

    例7 某商店進了一批服裝,每件成本為50元,如果按每件60元出售,可銷售800件;如果按每件再提價5元出售,其銷售量就減少100件。如果商店銷售這批服裝要獲得利潤12000元,同時要使顧客得到實惠,那么這種服裝售價應(yīng)定為多少元?該商店應(yīng)進這種服裝多少件?

    【錯解】設(shè)這種服裝售價應(yīng)定為x元,由題意得(x-50)[800-[1005](x-60)]=12000,整理得x2-150x+5600=0。解這個方程,得x1=70,x2=80。當x=70時,800-[1005]·(70-60)=600;當x=80時,800-[1005]·(80-60)=400。

    答:每件服裝售價為70元時,該商店應(yīng)進這種服裝600件;每件服裝的售價為80元時,該商店應(yīng)進這種服裝400件。

    【剖析】利潤問題離不開公式:總利潤=單件利潤×件數(shù)。該題除了考慮“如果按每件再提價5元出售,其銷售量就減少100件”轉(zhuǎn)化為每提價1元,平均每天少售出[1005]件,還要關(guān)注“使顧客得到實惠”。上述解法中因為漏看了“同時要使顧客得到實惠”這個條件而沒有對兩個解進行取舍。

    【正解】設(shè)這種服裝售價應(yīng)定為x元,由題意得:(x-50)[800-[1005](x-60)]=12000,整理得x2-150x+5600=0。解這個方程,得x1=70,x2=80。當x=70時,800-[1005]·(70-60)=600;當x=80時,800-[1005]·(80-60)=400。

    因為商店要使顧客得到實惠,所以售價每件80元不合題意,應(yīng)舍去。

    答:每件服裝售價應(yīng)定為70元,此時該商店應(yīng)進這種服裝600件。

    (作者單位:江蘇省南京市中華中學初中部)

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