基于損傷累積模型的可靠度保守估計(jì)方法

丁 然，李 強(qiáng)

(北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044)

理論上，中心極限定理是對(duì)載荷譜級(jí)數(shù)k→∞ 時(shí)和分布的近似，但實(shí)際應(yīng)用中載荷譜通常只有8級(jí)或16級(jí).若近似計(jì)算產(chǎn)生非保守誤差，在可靠度要求較高的場(chǎng)合，該計(jì)算方法的應(yīng)用受到限制.而分析中心極限定理的近似誤差保守與否通常存在一定的困難.另一方面，為獲得每級(jí)載荷下的損傷分布，可能需要用額外的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì).但可靠性問題通常關(guān)注的是拖尾，即高可靠度區(qū)的損傷分布特性，并非均值附近的分布特征.這意味著需要大樣本的數(shù)據(jù)才能獲得高置信度的參數(shù)估計(jì).

針對(duì)上述問題，本文提出一種通過代數(shù)和對(duì)損傷或疲勞壽命可靠度進(jìn)行保守估計(jì)的方法.損傷分布已知時(shí)，此方法可直接用于概率損傷模型；損傷分布未知時(shí)，此方法可基于一般的P-S-N(P為失效率，S為應(yīng)力幅，N為壽命)曲線進(jìn)行總損傷計(jì)算，從而避免額外的參數(shù)估計(jì).本文方法計(jì)算簡(jiǎn)便且可得到保守的可靠度估計(jì)，便于工程應(yīng)用，但通常只能對(duì)高可靠度區(qū)損傷或壽命的可靠度進(jìn)行保守估計(jì).

1 可靠度的保守估計(jì)條件

設(shè)D為隨機(jī)變量，則其可靠度R的估計(jì)值d滿足P(D≤d)=R(P為概率)，即d是D的R可靠損傷.如果P(D≤d)≥R，則稱d是R可靠損傷的保守估計(jì)，或R是d的可靠度的保守估計(jì)，下文均采用后一種說法.

一個(gè)損傷累積模型可給出保守估計(jì)是指該模型滿足如下條件：給出各級(jí)載荷下R可靠損傷的保守估計(jì)di，則總損傷d=∑di也為保守估計(jì)，即

P(Di≤di)≥R?

(1)

下面討論式 (1)成立的條件.

先討論兩級(jí)加載，即k=2 的情況.設(shè)Di的累積分布函數(shù)(Cumulative Distribution Function,CDF)和概率密度函數(shù)(Probability Density Function,PDF)分別為Fi(x)和fi(x)，且兩級(jí)損傷相互獨(dú)立.則D的CDF可利用全概率公式計(jì)算：

(2)

因Fi(x)是單調(diào)函數(shù)，令u=F1(x)，v=F2(y)，則du=f1(x)dx，dv=f2(y)dy.取d=d1+d2，代入式(2)得

(3)

式 (3)表明D≤d1+d2的概率等于Ouv平面內(nèi)被積函數(shù)下方區(qū)域的面積，如圖1中的陰影區(qū)域所示.在給定可靠度，如R=0.8 時(shí)，若計(jì)算得積分面積不小于 0.8，則模型可給出保守估計(jì).

圖1 保守估計(jì)的幾何解釋Fig.1 Geometric illustration of conservative estimation condition

由于di是R的函數(shù)，所以式(3)中被積函數(shù)是u和R的函數(shù)：

(4)

令曲線下方的面積為Π(R)，則有

(5)

式 (1)成立等價(jià)于Π(R)≥R.

(6)

2 常見損傷分布的保守估計(jì)條件

目前的損傷累積模型均假設(shè)各級(jí)載荷下的損傷服從僅參數(shù)不同的同族分布.上節(jié)討論的一般模型不受此假設(shè)的限制.為將本文理論應(yīng)用到已有的概率損傷模型，下文針對(duì)一些常見的分布族計(jì)算其可靠度保守估計(jì)的具體條件.

2.1 指數(shù)分布

損傷服從指數(shù)分布，即Di～Fi(x)=1-exp(-x/θi),x≥0，其中θi為尺度參數(shù).則有

(7)

將式(7)代入式 (6)和 (5)得

(8)

圖2為η=1時(shí)的Π(R)圖像，圖中Rp為方程Π(R)=R的解，可利用數(shù)值方法求得.可以看出，當(dāng)R≥Rp時(shí)，式(1)成立.圖3為η取不同值時(shí)Rp的變化趨勢(shì).可以看出，η=1 時(shí)Rp的最大值約為 0.715 3.工程應(yīng)用中，即使分布參數(shù)的取值未知，也可用R≥0.715 3 獲得總損傷的保守估計(jì)，本文稱滿足此特點(diǎn)的條件為一致可用的保守估計(jì)條件.

圖2 Π(R)與R的關(guān)系圖Fig.2 Relationship between Π(R)and R

圖3 Rp與η的關(guān)系圖Fig.3 Relationship between Rp and η

2.2 對(duì)數(shù)正態(tài)分布

損傷服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即Di～Φ[(lnx-μi)/σi] (x>0)，其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的CDF；μi為對(duì)數(shù)均值；σi為對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差.lnx-μi=ln[x/exp(μi)]，所以exp(μi)是尺度參數(shù)，按本文約定η=exp(μ1-μ2).由于求解Π(R)≥R時(shí)需考慮σ1、σ2和η不同取值的組合，所以對(duì)數(shù)正態(tài)分布下的求解與指數(shù)分布下的求解具有明顯區(qū)別.參數(shù)較多時(shí)，若沒有一致可用的保守估計(jì)條件，將大大增加工程應(yīng)用的難度.

視Rp為參數(shù)的函數(shù)，觀察Rp(σ1,σ2,η)的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)σ1≤σ2時(shí)，Rp是η的增函數(shù)，如圖4所示.此外，無論η取何值，Rp是σi的增函數(shù).取σ=max{σ1,σ2}，則有

Rp(σ1,σ2,η)≤Rp(σ,σ,η)≤Rp(σ,σ,1)

(9)

利用上式可計(jì)算僅與σ相關(guān)的保守估計(jì)條件.

圖5為η=1時(shí)Rp的圖像.可以看出，Rp為σ的增函數(shù)，σ=1時(shí)Rp略小于 0.8.

圖4 Rp 與η的關(guān)系圖Fig.4 Relationship between Rp and η

圖5 Rp與σ的關(guān)系圖Fig.5 Relationship between Rp and σ

損傷服從對(duì)數(shù)正態(tài)分是應(yīng)用本文理論計(jì)算保守估計(jì)條件的典型例子，有以下幾點(diǎn)需要說明：

(1)Rp并不總是η的增函數(shù).對(duì)于復(fù)雜的分布，要考慮各個(gè)參數(shù)對(duì)總損傷分布的影響.

(2)對(duì)于較大的σ，保守估計(jì)的條件可能很苛刻.如σ=2 時(shí)Rp≈0.95，此情況建議使用其它方法估計(jì)可靠損傷.

(3)通常損傷的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差小于 1，此時(shí)可一致使用R≥0.8 進(jìn)行保守估計(jì).

2.3 其他常見分布

經(jīng)計(jì)算可知，當(dāng)損傷分布服從正態(tài)分布時(shí)，總有Rp=0.5.故可一致使用R≥0.5進(jìn)行保守估計(jì).

實(shí)踐表明，當(dāng)損傷服從Weibull分布時(shí)，不同載荷下?lián)p傷分布的形狀參數(shù)(β)為常數(shù)，即β1=β2=β.由于Rp是β的減函數(shù)，所以β≥1時(shí)，可一致使用R≥0.715 3進(jìn)行保守估計(jì).

負(fù)Weibull分布也稱第3型廣義極值分布，目前很少用于損傷建模.但 Castillo[6]的理論研究表明，在相對(duì)一般的條件下?lián)p傷必然服從第3型廣義極值分布，因此該分布有較高的理論價(jià)值，此時(shí)Rp是β的增函數(shù)，當(dāng)β≤10 時(shí)，可一致用R≥0.578 2進(jìn)行保守估計(jì)，當(dāng)β≤3.5 時(shí)，總有Rp≤0.5.此外，當(dāng)β增大時(shí)，Rp的增大并不明顯，如果損傷服從此分布有必然性，則此特性可從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度解釋為何 Miner法則總能給出偏差不大的損傷估計(jì).

表1為常見分布的一致可用保守估計(jì)條件.

表1 常見分布的一致可用保守估計(jì)條件Tab.1 Uniform conditions of conservative estimation for common distributions

3 應(yīng)用舉例

上文討論的僅為兩級(jí)加載情況下保守估計(jì)成立的條件.原則上，本方法可以推廣到k級(jí)加載的情況，但k級(jí)加載要計(jì)算多重積分，因此計(jì)算效率較低.由正態(tài)分布的可加性知，無論k取何值，總有Rp=0.5.若損傷服從其它分布，當(dāng)k→∞ 時(shí)，根據(jù)中心極限定理，D依分布收斂于某正態(tài)分布，從而Rp收斂至 0.5.以損傷服從Weibull分布為例，對(duì)應(yīng)k=2，3，4以及ηi=1時(shí)Rp的計(jì)算結(jié)果見表2.可以看出，當(dāng)Rp>0.5 時(shí)，Rp為k的減函數(shù).因此，無論k取何值，總可一致使用k=2 時(shí)的條件進(jìn)行可靠度保守估計(jì).而Rp≤0.5 時(shí)總可使用R≥0.5 來進(jìn)行保守估計(jì).

分別采用Miner線性損傷模型和Zhu等[7]的損傷模型進(jìn)行損傷計(jì)算.由文獻(xiàn)[7]中數(shù)據(jù)估得某鋼材的S-N曲線的方程為

NS7.01=2.45×1024

(10)

文獻(xiàn)[7]認(rèn)為在恒幅載荷下材料的壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布(LN)，即

N～LN(μN(yùn),σN)

(11)

式中:μN(yùn)為對(duì)數(shù)均值，μN(yùn)=logN，可由式 (10)計(jì)算而得.為簡(jiǎn)化計(jì)算，本文假設(shè)變異系數(shù)(γ)不隨S變化，γ=σN/μN(yùn).由文獻(xiàn)[7]中數(shù)據(jù)估得γ=0.054 9.文獻(xiàn)[7]進(jìn)一步推導(dǎo)出恒幅載荷循環(huán)作用n次所得損傷D(n)也服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布：

(12)

表2 Rp隨k的變化Tab.2 Variation of Rp with k

表3 不同可靠度下?lián)p傷的計(jì)算Tab.3 Damage calculations under different reliability

由表1可知，對(duì)數(shù)正態(tài)分布的可靠度保守估計(jì)條件為R≥0.8.即按80%和90%可靠度計(jì)算的損傷是保守的(偏大)；而按50%或按傳統(tǒng)Miner法則計(jì)算的損傷則偏小.假設(shè)損傷服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則按 Monte-Carlo 法模擬的 90%，80%，50% 的可靠損傷分別為 0.222，0.193，0.150，還可用∑n/∑D進(jìn)行可靠壽命的大致估算.如本例對(duì)應(yīng) Miner 法則、Zhu模型和 Monte-Carlo 模擬估得的80%可靠壽命分別為8.46×106、10.06×106和11.44×106，從而驗(yàn)證了本文方法的保守性.

圖6為k=6時(shí)，Monte-Carlo法計(jì)算得出總損傷的實(shí)際分布和中心極限定理(CLT)計(jì)算得出漸近分布的對(duì)比.可以看出，漸近分布與實(shí)際分布較為接近.但在可靠度要求較高的區(qū)域，如R≥0.9 時(shí)，漸近分布給出的可靠度高于實(shí)際分布.這意味著用漸近分布進(jìn)行可靠度評(píng)估無法保證計(jì)算結(jié)果的保守性.

圖6 k=6時(shí)Monte-Carlo模擬結(jié)果與CLT結(jié)果的對(duì)比Fig.6 Comparison between the results calculated by Monte-Carlo method and CLT while k=6

本文的出發(fā)點(diǎn)是在各級(jí)損傷分布已知的情況下進(jìn)行總損傷的可靠度估計(jì).目前已有許多概率化的累積損傷模型，結(jié)合這些模型為損傷建模后即可應(yīng)用文本方法對(duì)可靠度進(jìn)行保守估計(jì).

具體應(yīng)用時(shí)，由于對(duì)損傷的參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷可能會(huì)產(chǎn)生誤差，所以本文推導(dǎo)了一些常見分布一致可用的保守估計(jì)條件.只要采用的分布對(duì)損傷有較好的擬合優(yōu)度，即使其參數(shù)估計(jì)有一定出入，也不影響其保守推斷.

此外，無論使用本文方法還是中心極限定理，都要求各級(jí)載荷下的損傷相互獨(dú)立.若認(rèn)為損傷間存在依賴關(guān)系，如不同的加載順序?qū)倱p傷有較大影響，則需使用其它方法進(jìn)行可靠度估計(jì).

4 結(jié)語

統(tǒng)計(jì)學(xué)角度認(rèn)為Miner 法則總可以給出偏差不大的損傷均值估計(jì).但理論推導(dǎo)和數(shù)值算例表明，直接使用 Miner 法則或中心極限定理等方法求得的總損傷可能是非保守的，因此其在可靠度要求較高的應(yīng)用中受到限制.

當(dāng)損傷服從的分布已知時(shí)，往往存在一致可用的保守估計(jì)條件.利用這類條件進(jìn)行計(jì)算，可避免分布參數(shù)估計(jì)誤差對(duì)可靠度保守性帶來的影響.損傷分布的這種特性對(duì)減少甚至避免額外的參數(shù)實(shí)驗(yàn)有很大作用，因此本文研究有較好的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.