善建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題

☉江蘇省宜興市楝樹中學(xué) 繆小龍

數(shù)學(xué)建模就是通過對(duì)實(shí)際問題的抽象與提升，即只提取其中的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系與圖形形狀，然后，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行近似的刻畫，使我們對(duì)研究對(duì)象有更深刻的認(rèn)識(shí).要進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，不僅要掌握必要的知識(shí)類模型，如概念、運(yùn)算法則、定理等，而且要掌握必要的應(yīng)用類模型，如方程與方程組、不等式與不等式組、各類函數(shù)、特殊三角形、特殊四邊形、統(tǒng)計(jì)中的“三數(shù)”與“三差”、概率等.本文以問題為例主要講述應(yīng)用類模型在實(shí)際問題中的建立與轉(zhuǎn)化.

一、建立方程模型解決實(shí)際問題

方程模型是研究現(xiàn)實(shí)世界等量關(guān)系的數(shù)量模型，如現(xiàn)實(shí)生活中的行程問題、工程問題、銷售問題、利率問題、面積和體積問題等，當(dāng)我們只關(guān)注其中的等量關(guān)系時(shí)，就建立了方程模型，通過方程或方程組的解答，達(dá)到對(duì)實(shí)際問題的解決.

例1組織“大手拉小手，義賣獻(xiàn)愛心”活動(dòng)，購(gòu)買了黑和白兩種顏色的文化衫共140 件，進(jìn)行手繪設(shè)計(jì)后出售，所獲利潤(rùn)全部捐給山區(qū)困難孩子.每件文化衫的批發(fā)價(jià)和零售價(jià)如表1 所示：

表1

假設(shè)文化衫全部售出，共獲利1860元，求黑、白兩種文化衫各多少件.

分析：設(shè)黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依據(jù)“黑文化衫的件數(shù)+白文化衫的件數(shù)=140”建立第一個(gè)方程，依據(jù)“售黑文化衫的利潤(rùn)+售白文化衫的利潤(rùn)=1860”建立第二個(gè)方程，然后解方程組求解.

解：設(shè)黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依題意得

點(diǎn)評(píng)：建立方程或方程組的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易建立方程時(shí)，就間接設(shè)未知數(shù)，當(dāng)設(shè)一個(gè)未知數(shù)建立方程不易理解時(shí)，可以再設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù).一般設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就列幾個(gè)方程，從不同的角度建立不同的方程.

二、建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題

現(xiàn)實(shí)世界是廣泛聯(lián)系與永恒運(yùn)動(dòng)的，在數(shù)量關(guān)系中有運(yùn)動(dòng)變化問題，在空間形式中也有運(yùn)動(dòng)變化問題，而函數(shù)就是研究?jī)蓚€(gè)變量之間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，實(shí)際生活中的最大利潤(rùn)、最低成本、最優(yōu)方案等問題，都可以通過建立函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)對(duì)問題進(jìn)行分析和解答.

例2蘇果超市銷售一種飲料，每箱進(jìn)價(jià)是24元，按照超市相關(guān)規(guī)定，銷售的價(jià)格不能低于進(jìn)貨價(jià).現(xiàn)在售價(jià)統(tǒng)一規(guī)定為一箱36元，每月能銷售60箱.通過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：如果這種飲料的銷售價(jià)格每降低1 元，那么，每個(gè)月的銷售數(shù)量將增加10箱，如果每箱飲料降價(jià)x元（x是正整數(shù)），每個(gè)月的銷售數(shù)量為y箱.

（1）請(qǐng)寫出y和x間的函數(shù)關(guān)系式與自變量x的取值范圍；

（2）超市應(yīng)怎樣定價(jià)，才能使每個(gè)月銷售飲料的利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少元？

分析：（1）根據(jù)價(jià)格每降低1元，平均每月多銷售10箱，每箱降價(jià)x元，多賣10x箱，因?yàn)槭窃?6元的基礎(chǔ)上降價(jià)，在60箱的基礎(chǔ)上多賣，所以降價(jià)后的價(jià)格為（36-x）元，賣出的箱數(shù)為60+10x；（2）根據(jù)“總利潤(rùn)=每箱利潤(rùn)×箱數(shù)”列出函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)最值的性質(zhì)求得最大利潤(rùn).

解：（1）根據(jù)題意，得y=60+10x.由36-x≥24，得x≤12.由x為正整數(shù)，得x≥1，則1≤x≤12，且x為整數(shù).

（2）設(shè)所獲利潤(rùn)為W，則W=（36-x-24）（10x+60）=-10x2+60x+720=-10（x-3）2+810.

則當(dāng)x=3時(shí)，W取得最大值，最大值為810.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)實(shí)際問題中有兩個(gè)變量，且它們之間有一定變化規(guī)律時(shí)，就建立函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)實(shí)際問題求出自變量的取值范圍.求最值問題一般要利用二次函數(shù)最值的性質(zhì)，若建立一次函數(shù)關(guān)系求最值，則要利用自變量的取值范圍與一次函數(shù)的增減性.

三、建立獨(dú)特幾何圖形模型解決實(shí)際問題

實(shí)際生活中的測(cè)量、航海、建筑及圖案設(shè)計(jì)等都離不開幾何模型，而數(shù)學(xué)中的空間與圖形研究的就是幾何圖形的大小、位置關(guān)系、性質(zhì)及變換，在實(shí)際問題中，只要我們把實(shí)際問題進(jìn)行抽象與概括，畫出符合題意的幾何模型，然后利用幾何圖形的性質(zhì)、判定及相互變換關(guān)系就可以解決實(shí)際問題.

例3如圖1所示，一鐵路MN和一公路PQ相交于點(diǎn)O處，∠QON=30°，一幢居民樓位于點(diǎn)A處，AO=320m，假設(shè)一火車行駛時(shí)，在其周圍相距200m內(nèi)會(huì)受噪音的干擾，則火車于鐵路MN上沿著ON這一方向行駛的時(shí)候，

（1）居民樓是否會(huì)受到噪音的影響？請(qǐng)說明理由；

（2）假設(shè)行駛速度為72km/h，則居民樓被噪音干擾的時(shí)間為多久？

圖1

圖2

分析：（1）居民樓是否受噪音的影響，主要看火車距離居民樓最近時(shí)是否受影響，如果距離最近時(shí)受到影響，那么就受到影響，如果距離最近時(shí)不受影響，那么就不會(huì)受到影響.所以應(yīng)作AC⊥ON于點(diǎn)C，然后比較AC的長(zhǎng)與200m的大小關(guān)系，從而可判斷是否受到影響.

（2）火車行駛時(shí)，周圍200m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，也就是說當(dāng)火車距離居民樓200米時(shí)，居民樓就會(huì)受到影響，因?yàn)樽罱嚯x160米＜200米，所以在點(diǎn)C之前和之后會(huì)各有一個(gè)點(diǎn)距離點(diǎn)A200米，當(dāng)火車在線段BD上行駛時(shí)，居民樓都會(huì)受到影響.最后利用時(shí)間=路程÷速度求得受影響的時(shí)間.

解：（1）如圖2，過點(diǎn)A作AC⊥ON于點(diǎn)C.

由∠QON=30°，OA=320米，得AC=160米.

由AC＜200，得居民樓會(huì)受到噪音的影響.

（2）如圖2，在ON上取兩點(diǎn)B、D，使BC=CD，設(shè)BA=DA=200m，即當(dāng)火車到點(diǎn)B時(shí)直到駛離點(diǎn)D，對(duì)居民樓產(chǎn)生噪音影響.

因行星輪系具有運(yùn)行噪音小的特點(diǎn)，能夠給乘坐者提供舒適感與安全感，其較長(zhǎng)的使用壽命也為電梯的長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行提供保證，此外，行星齒輪曳引機(jī)的效率遠(yuǎn)高于同樣提升力的蝸輪副式曳引機(jī)，且體積僅是它的一半[2]，因此，在曳引機(jī)設(shè)計(jì)中，行星齒輪減速器較其它形式的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)更具優(yōu)勢(shì)。某型號(hào)電梯的曳引機(jī)減速器使用2級(jí)行星輪系 [3]，該項(xiàng)目選取串聯(lián)的2個(gè)2K-H型行星輪系進(jìn)行設(shè)計(jì)。

由AB=200米，AC=160米，根據(jù)勾股定理，得BC=120米.由垂徑定理，得BD=2BC=240米.

72千米/小時(shí)=20米/秒，240÷20=12（秒）.

答：影響時(shí)間是12秒.

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)題意建立了含30度角的直角三角形和等腰三角形兩種幾何圖形模型，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)：30度的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解決了居民樓是否受影響的問題；利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求得了受影響時(shí)火車行駛的路程，最后利用時(shí)間=路程÷速度的模型求得受影響的時(shí)間.這是一個(gè)利用幾何圖形模型解決實(shí)際問題的典型實(shí)例，其關(guān)鍵是構(gòu)造符合題意的幾何圖形.

四、間接建立數(shù)學(xué)模型解決疑難問題

有些問題直接建模如果有困難，可以間接建模求解，如有些代數(shù)問題需建立幾何圖形的模型解決，有些幾何問題需建立代數(shù)的模型解決，這種方法稱為建模轉(zhuǎn)型.這種方式不常用，常出現(xiàn)在競(jìng)賽試題中，它往往能使疑難的問題變得簡(jiǎn)單、易懂.

圖3

解：因?yàn)槊看谓厝≡瓉淼囊话?，所以n次截取后，木桿剩下的長(zhǎng)度為這個(gè)問題相當(dāng)于：面積為1的正方形第一次剪去，第二次剪去剩下的，第三次又剪去剩下的，當(dāng)n次剪取后剩下的面積是多少？如圖3所示，我們發(fā)現(xiàn)第一次剩下，第二次剩下，第三次剩下，第四次剩下，……，所以第n次截取后剩下米.

點(diǎn)評(píng)：本題首先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的計(jì)算，然后把有理數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為圖形面積問題，再通過對(duì)圖形的觀察直觀地得到結(jié)果，這種不斷取的幾何模型，也可用來計(jì)算的結(jié)果.

數(shù)學(xué)源于生活，但又高于生活，反過來又服務(wù)于生活，教學(xué)的改革越來越重視數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活的聯(lián)系，通過數(shù)學(xué)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一.通過以上事例的解析與說明，我們已經(jīng)可以看出數(shù)學(xué)建模無處不在，應(yīng)用它可解決生活中的諸多問題，這不僅需要掌握一些必要的知識(shí)性模型，而且要善于從數(shù)學(xué)的角度看待生活中的人和事，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系或變換關(guān)系.W