基于『直覺表征』『改造』學(xué)生經(jīng)驗(yàn)
——《平行與垂直》教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

執(zhí)教/朱孟迪 評(píng)析/金 奎

《平行與垂直》是人教版四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形與梯形”單元起始課。教材基于“圖形分類”的方式編排：在白紙上任意畫兩條直線——對(duì)兩條直線的位置關(guān)系分類——認(rèn)識(shí)平行與垂直。這種方式有一弊端，學(xué)生所畫的所謂的“平行線”不能突顯其本質(zhì)，換句話說，平行線很難畫，稍一偏差就是相交（教材已取消平行線的作圖要求）。教師借助方格紙讓學(xué)生“直覺表征”，可以激發(fā)學(xué)生內(nèi)部動(dòng)力，通過改造“學(xué)習(xí)材料”，逐步剝離“錯(cuò)誤的”、“偏差的”、“非本質(zhì)的”經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而形成正確的認(rèn)知。

一、發(fā)揮經(jīng)驗(yàn)，改造經(jīng)驗(yàn)

師：同學(xué)們，這是一張白紙，今天我們要把它看作一個(gè)平面，請(qǐng)你展開想象：這個(gè)平面可以這樣大，這么大，變得（用手比劃）……無限大。今天，我們就要在這個(gè)平面內(nèi)，研究直線與直線的位置關(guān)系。直線與直線有怎樣的關(guān)系呢？

1.畫出心目中的“平行”與“垂直”。

師：請(qǐng)你先想一想，平行是怎樣的？垂直呢？想好了嗎？請(qǐng)你在方格紙上分別畫出你心目中的平行與垂直。

（學(xué)生操作，教師收集作品）

2.交流“平行”——基于經(jīng)驗(yàn)，改造經(jīng)驗(yàn)。

師：老師收集了一些作品，我們一起來欣賞一下。

作品一：

師：這位同學(xué)這樣畫，符合你心目中的平行標(biāo)準(zhǔn)嗎？你是怎么想的？

生1：平平的線就是平行。

生2：這兩條直線的中間都是1 格，像這樣即使無限延長(zhǎng)后也不會(huì)碰在一起。

師：是的，像這樣無限延長(zhǎng)后也不會(huì)碰在一起的兩條直線就是平行。

作品二：

生：因?yàn)橹虚g都是3 格，所以無限延長(zhǎng)后它們?nèi)匀徊粫?huì)碰在一起。

師：你們都說無限延長(zhǎng)，那我一條這樣延長(zhǎng)，另一條這樣延長(zhǎng)，現(xiàn)在你認(rèn)為它們還是不是平行，為什么？（如下圖）

生：直線可以無限延長(zhǎng)，長(zhǎng)一點(diǎn)短一點(diǎn)都沒有關(guān)系。

師：（轉(zhuǎn)動(dòng)方向）這樣，你認(rèn)為還是平行嗎？

生：還是。因?yàn)樗鼈冞€是不會(huì)碰在一起。

作品三：

師：有人這樣畫，你覺得它是平行嗎？

生：是的。（將作品旋轉(zhuǎn)至水平位置）

師：改變方向，只要不碰在一起，就是平行的。

作品四：

師：剛才同學(xué)們畫了兩條直線，這位同學(xué)呢？（1條）你們認(rèn)為這是平行嗎？（不是）如果給它加一條直線變成平行，你會(huì)怎么幫助他呢？（學(xué)生比劃）看來，你們心目中的平行是指兩條直線的位置關(guān)系。

二、豐富表象，形成平行概念

1.在辨析中豐富表象。

師：①號(hào)為什么是平行？

生：無限延長(zhǎng)也不會(huì)碰頭。

師：②號(hào)為什么不是平行？

生：兩條直線相交了。

師：我們把這樣的位置關(guān)系稱為兩條直線相交，相交的點(diǎn)稱為交點(diǎn)。

師：③號(hào)、④號(hào)作品也沒有相交，它們應(yīng)該算平行了吧？

生：③號(hào)向左延長(zhǎng)后會(huì)相交。④號(hào)是兩條曲線，不是直線。

2.建構(gòu)平行的概念。

（1）呈現(xiàn)概念。

師：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。想一想，為什么要在“平行”前面加上“互相”兩字？

生：只有一條是不夠的，是兩條直線的一種位置關(guān)系。

（2）語言表征。

師：如果老師給一條直線記作直線a，另一條直線記作直線b，于是我們可以這樣說——直線a 是直線b 的平行線，直線b 是直線a 的平行線，它們互相平行。誰能像老師一樣來說一說？

（3）符號(hào)表征。

師：為了表示方便，數(shù)學(xué)上還給平行規(guī)定了符號(hào)——a∥b，讀作a 平行于b。你看，這個(gè)符號(hào)多像平行線。請(qǐng)你們?cè)诓莞寮埳媳硎境鲎约鹤髌分械钠叫?，并讀給同桌聽。

三、基于經(jīng)驗(yàn)，形成垂直概念

1.在比較中引入垂直。

師：同學(xué)們，讓我們把目光聚焦到這些相交的情況。你感覺哪兩條直線最特殊？為什么？

生：⑤號(hào)，因?yàn)? 個(gè)角都相等，都是直角。

師：要知道是不是直角，我們得借助——三角尺驗(yàn)證。

2.形成垂直的概念。

（1）呈現(xiàn)概念。

師：在數(shù)學(xué)上，兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線。

（2）語言表征。

師：如果我們給這條直線取名為直線a，這條直線取名為直線b，你會(huì)怎么理解這兩條直線的位置關(guān)系呢？

生：直線a 是直線b 的垂線，直線b 是直線a 的垂線，它們互相垂直。

（3）改變方向。

師：現(xiàn)在老師把這組互相垂直的直線旋轉(zhuǎn)方向，再轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)在你認(rèn)為它們還是互相垂直嗎？為什么？

生：只要這兩條直線相交成直角，它們就是互相垂直。

（4）符號(hào)表征。

師：數(shù)學(xué)上，互相垂直的兩條直線還可以用這樣的符號(hào)表征——直線a 與直線b 互相垂直，記作a⊥b，讀作a 垂直于b。

3.判斷中深化垂直本質(zhì)的理解。

師：這是同學(xué)們一開始畫的“垂直”（一條豎線）。你猜一猜，他當(dāng)時(shí)可能是怎么想的？

生：垂下來的一條直線就是垂直。

師：老師也畫了這樣的一些垂直，請(qǐng)你快速判斷。

師：你有什么新發(fā)現(xiàn)？

生：要判定兩條直線是不是互相垂直，至少看到一個(gè)直角就可以了。

四、拓寬經(jīng)驗(yàn)，溝通聯(lián)系

師：學(xué)到這兒，現(xiàn)在你認(rèn)為在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有幾種呢？請(qǐng)你靜靜地想一想：想好了嗎？我們來快速判斷。

（課件依次呈現(xiàn)“平行——相交——相交——相交（垂直）——相交”）

師：現(xiàn)在讓我們一起來整理一下，我們發(fā)現(xiàn)，在同一平面的兩條直線只有兩種情況：一種是不相交，我們也可以稱它為互相平行。另一種是相交，如果相交成直角，它們就互相垂直；如果相交成鈍角、銳角，我們就稱它們普通相交。

五、應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，解釋現(xiàn)象（略）

【評(píng)析】

一、改造“平行”經(jīng)驗(yàn)，先體驗(yàn)、再實(shí)踐、后概念

1.先體驗(yàn)。

課伊始，確定本課的學(xué)習(xí)范圍——在同一平面內(nèi)。學(xué)生根據(jù)自己經(jīng)驗(yàn)嘗試畫出心目中的“平行”，教師借助學(xué)生的“作品”進(jìn)行“改造”，進(jìn)而完善對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解?！案脑臁敝型怀鲆韵聨c(diǎn)：（1）平行線之間的格數(shù)保持不變，突顯平行線之間的距離處處相等的本質(zhì)；（2）改造成“一條線長(zhǎng)，另一條線短”的視覺效應(yīng)，突破平行線的本質(zhì)實(shí)則為“直線”，與畫的長(zhǎng)短無關(guān)；（3）改變平行線的方向，借助旋轉(zhuǎn)變化，

突顯“只要兩條直線不相交”的本質(zhì)。一次次的經(jīng)驗(yàn)改造，一次次的思維沖突，打破非本質(zhì)因素對(duì)概念建構(gòu)的影響，進(jìn)而把學(xué)生的思維聚焦于本質(zhì)屬性上。

2.再實(shí)踐。

出示一組“判斷素材”，學(xué)生借助直觀經(jīng)驗(yàn)，借助討論辨析找到“平行”，豐富學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。

3.后概念。

借助先體驗(yàn)與再實(shí)踐，學(xué)生頭腦中已經(jīng)有了豐富的平行表象，平行的概念呼之欲出，教師只需要順勢(shì)利導(dǎo)，呈現(xiàn)概念。

二、改造“垂直”經(jīng)驗(yàn)，打破思維定勢(shì)

1.借助判斷，突破難點(diǎn)。

一方面，以“垂下來的線”為素材展開辨析，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)中的垂直是兩條直線的位置關(guān)系；另一方面，學(xué)生辨別一般的“垂直”幾乎沒有問題，但對(duì)于“丁字型”或“直角型”往往會(huì)出現(xiàn)問題。借助直觀演示與爭(zhēng)論，學(xué)生把思維聚焦于“兩條直線”，進(jìn)而很好地說明了問題，突破了難點(diǎn)。

2.溝通聯(lián)系，形成體系。

以“快速判斷”兩條直線的位置關(guān)系為載體，一方面讓學(xué)生理解垂直是一種特殊的相交；另一方面形成兩條直線位置關(guān)系的框架結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生在思維上形成體系。