k-冪零矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計數(shù)

陳建達(dá) 王萍 張璐

摘 要：冪零矩陣作為一種特殊矩陣，具有很好的性質(zhì)，這些性質(zhì)使得冪零矩陣在密碼學(xué)、構(gòu)造認(rèn)證碼及安全性等方面應(yīng)用非常廣泛。首先針對n階4-冪零矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計數(shù)問題進(jìn)行研究，通過對整數(shù)n的有序拆分方法，得到n階4-冪零矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計數(shù)公式;其次討論了當(dāng)秩給定時的所有4-冪零矩陣，給出它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計數(shù)公式。最后針對k-冪零矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計數(shù)問題進(jìn)行了研究，通過迭代的方法給出了n階k-冪零矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計數(shù)公式。

關(guān)鍵詞：冪零矩陣;Jordan標(biāo)準(zhǔn)形;有序分拆

DOI：10.15938/j.jhust.2019.04.023

中圖分類號： O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2019）04-0139-04

Abstract：As a kind of special matrices， the nilpotent matrices has good properties. In this paper， we mainly discuss the enumeration problem of the Jordan′s normal form of 4-nilpotent matrix. We get conclusions including the calculation formulas of the Jordan′s normal form of 4-nilpotent matrix and calculation formulas of the Jordan′s normal form of 4-nilpotent matrix with constant is presented. Then， We have the calculation formulas of Jordan′s normal form of n×n k-nilpotent matrix by iteration.

Keywords：Nilpotent matrix; Jordan′s normal form; ordered partitions

0 引言

自從1964年Give′on引入格上的冪零矩陣以來，就有大量的文獻(xiàn)在不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)研究了冪零矩陣的性質(zhì)[1]。1982年，Hashimoto[2]研究了冪零模糊矩陣（即Fuzzy代數(shù)上的冪零矩陣）簡化的一些性質(zhì)。2001年Zhang[3]給出D01-格矩陣A為零冪矩陣的必要且充分的條件。2005年，Tan[4]又將這些性質(zhì)推廣到分配格上，并且證明了分配格上任意一個冪零矩陣A的簡化的傳遞閉包等于A本身的傳遞閉包。而Han等[5]在2005年又將Tan中的結(jié)論推廣到斜坡上，得到了incline上n階冪零矩陣的冪零指標(biāo)為n的一個充分且必要條件。2008年周驚雷和李慶國探討了incline上n階冪零矩陣冪零指標(biāo)的特征，得到了incline上n階冪零矩陣的冪零指標(biāo)為n的一個充分必要條件[6]。2009年官明友和譚宜家考慮一般加法冪等交換半環(huán)上冪零矩陣的傳遞閉包與簡化，并將文[5]的結(jié)果推廣到一般加法冪等交換半環(huán)上[7]。2001年李殿龍和隋思漣證明了一般數(shù)域上的2-冪零矩陣秩的取值范圍，同時也證明了2-冪零矩陣存在Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并給出了2-冪零矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的明確表示[8]。2006年林榮珍和江飛在李殿龍和隋思漣研究的基礎(chǔ)上，討論了一般數(shù)域上的3-冪零矩陣的相似等價類的個數(shù)問題，得到了它的計算公式和秩一定時的計算公式以及n階3-冪零矩陣秩的范圍[9]。2013年曾月迪和林麗芳利用不同于林榮珍和江飛的方法得到了n階3-冪零矩陣的秩的取值范圍，并給出了幾種表示方法和秩一定時的3-冪零矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的個數(shù)[10]。冪零矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形問題在理論密碼學(xué)、認(rèn)證碼理論[11-13]及安全性、子群的結(jié)構(gòu)[14-16]等問題中有廣泛的應(yīng)用。

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（編輯：王 萍）