彈性高超聲速飛行器輸入飽和抑制backstepping控制

路 遙 ， 孫 友， 路坤鋒

(北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854)

高超聲速飛行器是指飛行馬赫數(shù)大于5的飛行器[1]。它具有機(jī)動(dòng)靈活、隱身性高、突防能力強(qiáng)等特點(diǎn)，可以作為戰(zhàn)略突襲武器的發(fā)射平臺(tái)，因而受到了各個(gè)航天強(qiáng)國(guó)的廣泛關(guān)注。其中，乘波體構(gòu)形的吸氣式高超聲速飛行器(Air-breathing Hypersonic Vehicle, AHV)因具有較高的升阻比，被認(rèn)為是高超聲速飛行器最好的氣動(dòng)外形[2]，具有廣闊的應(yīng)用前景。

飛行控制系統(tǒng)是高超聲速飛行器實(shí)現(xiàn)安全飛行的關(guān)鍵因素。高超聲速飛行器模型普遍具有高度非線性、參數(shù)不確定的特點(diǎn)，為其設(shè)計(jì)控制器已是不易；而AHV動(dòng)力學(xué)模型中存在非最小相位特性，且AHV通常采用輕質(zhì)材料的細(xì)長(zhǎng)體設(shè)計(jì)，因此其彈性振動(dòng)效應(yīng)較為顯著，這些特點(diǎn)使得為AHV設(shè)計(jì)控制器更加困難。

在設(shè)計(jì)AHV的總體幾何構(gòu)型時(shí)，通常控制俯仰通道姿態(tài)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)只安裝升降舵[3]；然而，AHV的升降舵對(duì)升力的影響較一般飛行器更為顯著，使得飛行器縱向通道的軌跡控制與姿態(tài)控制之前存在強(qiáng)烈的耦合，這給飛行器控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)造成很大困難。針對(duì)這一問(wèn)題，目前研究者通常采用增加鴨翼的方式予以解決[4-6]。但是，增加額外的控制舵面會(huì)為飛行器帶來(lái)一些不利的影響。文獻(xiàn)[7]指出，增加鴨翼會(huì)影響高超聲速飛行器熱量保護(hù)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，而且鴨式布局還會(huì)降低飛行器的隱身性能。因此，是否可以在AHV僅安裝升降舵的情況下，同時(shí)考慮機(jī)體彈性模態(tài)的影響，為其設(shè)計(jì)縱向通道的控制器，是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。在目前的研究中，文獻(xiàn)[8]考慮了機(jī)體的彈性模態(tài)，證明了所提出的控制器不會(huì)引起彈性模態(tài)發(fā)散；但其控制器中并未對(duì)彈性模態(tài)影響進(jìn)行補(bǔ)償，因此其閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性較差，在控制的初始階段存在明顯的震蕩。文獻(xiàn)[9]將彈性模態(tài)項(xiàng)視為一類(lèi)系統(tǒng)干擾項(xiàng)，并設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，在控制器設(shè)計(jì)中予以補(bǔ)償，取得了良好的控制效果；其對(duì)機(jī)體中彈性模態(tài)的處理方式值得借鑒，但其仍采用增加鴨翼舵的方式抵消升降舵對(duì)升力的影響。文獻(xiàn)[10]與文獻(xiàn)[9]類(lèi)似，同樣將彈性模態(tài)項(xiàng)視為干擾項(xiàng)，并進(jìn)一步考慮了控制輸入量的限制，但在控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中未考慮對(duì)控制量進(jìn)行抑制，因此仍存在控制量達(dá)到飽和的現(xiàn)象。文獻(xiàn)[11]也將彈性模態(tài)項(xiàng)視為系統(tǒng)的干擾項(xiàng)，但其彈性模態(tài)干擾項(xiàng)建模中存在控制量升降舵偏角，這影響其設(shè)計(jì)的干擾觀測(cè)器的觀測(cè)精度，進(jìn)而影響非線性控制器的控制精度。文獻(xiàn)[12]以無(wú)鴨翼AHV為研究對(duì)象，將機(jī)體的彈性模態(tài)視為干擾項(xiàng)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)其動(dòng)態(tài)進(jìn)行逼近，設(shè)計(jì)了預(yù)設(shè)性能非線性控制器，取得了一定的控制效果；然而文中在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)基于升降舵偏轉(zhuǎn)角對(duì)升力的影響可忽略的假設(shè)，導(dǎo)致飛行器在小攻角飛行時(shí)控制精度不高。

本文研究彈性AHV縱向通道姿態(tài)跟蹤控制問(wèn)題，針對(duì)其中存在的彈性模態(tài)擾動(dòng)影響、控制量易到達(dá)飽和的問(wèn)題，在飛行器僅安裝升降舵的情況下，基于backstepping方法設(shè)計(jì)非線性控制器。將飛行器的彈性模態(tài)視為系統(tǒng)的不確定干擾項(xiàng)，設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，并在控制器中進(jìn)行補(bǔ)償。引入非線性增益函數(shù)，采用動(dòng)態(tài)的非線性增益函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的固定增益策略，提高控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的飽和抑制能力。

1 問(wèn)題描述

本文以文獻(xiàn)[12]中AHV縱向通道姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型作為研究對(duì)象，可描述為：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：α,Q分別表示飛行器的攻角和俯仰角速度；V,γ,m,Iyy,g分別表示飛行器的速度、航跡角、質(zhì)量、俯仰方向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和重力加速度；T,L,M分別表示發(fā)動(dòng)機(jī)推力、升力和俯仰力矩；ηi,i=1,2表示第i階彈性模態(tài)；ψi表示耦合系數(shù)，ki=1+ψi/Iyy；ξi,ωi分別表示彈性模態(tài)ηi的阻尼系數(shù)和自然頻率；Ni表示廣義力。L、M和Ni可近似描述成如下形式：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)為使飛行器的攻角跟蹤給定的參考指令αref，同時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)有界穩(wěn)定。本文在設(shè)計(jì)控制器時(shí)基于以下合理假設(shè)：

假設(shè)1[12]αref信號(hào)及其一階微分已知且連續(xù)有界。

假設(shè)2[3]式(1)中Tsinα遠(yuǎn)小于L，可忽略不計(jì)。

2 Backstepping控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于Backstepping的非線性控制器設(shè)計(jì)

(11)

(12)

式中，

(13)

(14)

g2=

(15)

(16)

式中：Δ為彈性模態(tài)項(xiàng)。已有研究表明，當(dāng)彈性模態(tài)ηi的阻尼系數(shù)滿足0<ξi<1，自然頻率滿足ωi>0，且攻角有界時(shí)，ηi的動(dòng)態(tài)過(guò)程是漸近穩(wěn)定的[3,13]；因此，可以將Δ視為干擾項(xiàng)，通過(guò)設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，在backstepping控制器中進(jìn)行補(bǔ)償。

注2 與文獻(xiàn)[12]中的彈性干擾項(xiàng)相比，式(16)中的干擾項(xiàng)Δ中不包含控制量δe的相關(guān)項(xiàng)，這有利于對(duì)Δ進(jìn)行精確估計(jì)。若Δ中含有δe的相關(guān)項(xiàng)，則Δ的實(shí)際值只有在δe確定后才能確定；而δe的設(shè)計(jì)又依賴(lài)于對(duì)Δ的估計(jì)，這意味著對(duì)Δ進(jìn)行估計(jì)的工作需要在δe確定前完成；這種情況下容易導(dǎo)致Δ的估計(jì)值與實(shí)際值之間出現(xiàn)較大的偏差。

由于式(11)和式(12)中均包含控制量δe，因此傳統(tǒng)的適用于嚴(yán)格反饋控制系統(tǒng)的backstepping方法不再適用。為此，令

u=Q+g1δe

(17)

此時(shí)式(11)可改寫(xiě)為

(18)

以u(píng)為虛擬控制量，設(shè)計(jì)如下控制律

(19)

式中:k3>0為控制增益。由式(17)可知，ucmd由Qcmd和g1δe兩部分組成，即：

ucmd=Qcmd+g1δe

(20)

而δe在組成ucmd的同時(shí)也需要控制狀態(tài)Q趨近于虛擬控制量Qcmd。基于式(12)，若Qcmd已確定，設(shè)計(jì)如下控制律：

(21)

(22)

式中:?為濾波器系數(shù)，通常取0.01≤?≤0.05，Δt為控制周期。由文獻(xiàn)[14]中定理1的證明過(guò)程可知在假設(shè)1的條件下，?B1,B2>0使得下式滿足：

(23)

(24)

這樣，通過(guò)聯(lián)立式(20)、式(22)和式(24)組成方程組，即可得到δe的實(shí)際值。

2.2 基于干擾觀測(cè)器的彈性模態(tài)擾動(dòng)項(xiàng)補(bǔ)償策略

引理1[15]對(duì)于如下系統(tǒng)：

(25)

式中:z1∈R,z2∈R若式(25)的解滿足z1(t)→0,z2(t)→0(t→∞)，則對(duì)于任意有界可積輸入信號(hào)v(t)和R>0，下式

(26)

以下基于引理1設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器。首先給出以下定理：

定理1 對(duì)于如下系統(tǒng)：

(27)

其中R>0，?(x)的形式如下：

(28)

當(dāng)常數(shù)a>0時(shí)，系統(tǒng)(27)的解滿足z1(t)→0,z2(t)→0(t→∞)。

(29)

由LaSalle不變性原理[16]可知系統(tǒng)式(27)的解滿足z1(t)→0,z2(t)→0 (t→∞)。

證畢.

在定理1的基礎(chǔ)上可設(shè)計(jì)如下形式的干擾觀測(cè)器：

(30)

2.3 基于非線性增益函數(shù)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和抑制策略

針對(duì)機(jī)體彈性模態(tài)(干擾項(xiàng)補(bǔ)償誤差)可能引起的控制量超出限制的問(wèn)題，本節(jié)對(duì)式(19)和式(24)中的誤差項(xiàng)進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化處理，設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)的非線性增益函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的固定增益策略。非線性增益函數(shù)設(shè)計(jì)如下：

(31)

式中:sgn(·)表示符號(hào)函數(shù)，b>0為調(diào)節(jié)參數(shù)，μ>0為誤差閾值項(xiàng)。取μ=0.1，當(dāng)b=2和b=4時(shí)，G(x,b,μ)的曲線如圖1所示。

圖1 時(shí)曲線圖Fig.1 The curve ofwhen

由函數(shù)形式易知G(x,b,μ)連續(xù)可導(dǎo)，表達(dá)式為：

(32)

且G(x,b,μ)對(duì)于x嚴(yán)格單調(diào)遞增。定義

(33)

由G(x,b,μ)的單調(diào)性和式(32)易知H(x,b,μ)也對(duì)于x單調(diào)遞增。引入非線性增益策略，將式(19)和式(24)的控制律更新為：

(34)

(35)

式中ζ為魯棒項(xiàng)，表達(dá)式為：

(36)

注意到當(dāng)|x|>μ時(shí)|G(x,b,μ)|<|x|且0μ。由此可知，若x表示閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差，當(dāng)其幅值在閾值μ之內(nèi)時(shí)，非線性增益策略的作用與傳統(tǒng)的固定增益策略相同；但當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)因擾動(dòng)出現(xiàn)較大的跟蹤誤差時(shí)，非線性增益策略能夠?qū)刂屏科鸬揭欢ǖ囊种谱饔?，防止其達(dá)到飽和。調(diào)節(jié)參數(shù)b和閾值μ可根據(jù)實(shí)際被控對(duì)象的氣動(dòng)特性以及控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制能力進(jìn)行設(shè)置。

3 穩(wěn)定性分析

(37)

對(duì)其求導(dǎo)得：

(38)

(39)

(40)

4 仿真分析

圖2 攻角跟蹤結(jié)果Fig.2 Tacking result of angle of attack

圖3 升力系數(shù)CL比較曲線Fig.3 Comparative curve of lift coefficient CL

圖4 干擾觀測(cè)器估計(jì)結(jié)果Fig.4 Estimated results of disturbance observer

接下來(lái)驗(yàn)證2.3節(jié)提出的非線性增益函數(shù)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和抑制策略的效果。為對(duì)比本文方法的控制效果，同時(shí)采用不含非線性增益函數(shù)執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和抑制策略的方法(即式(19)和式(24)所示的控制律)進(jìn)行仿真，對(duì)比仿真結(jié)果如圖5～圖6所示。

圖5 升降舵偏角比較結(jié)果Fig.5 Comparative result of the elevator deflection angle

圖6 俯仰角速度誤差曲線Fig.6 Curves of the error of pitch angle angular

圖5為兩種策略下控制量升降舵偏角的比較結(jié)果，結(jié)合圖2和式(9)可知，圖2中考慮升降舵影響與不考慮升降舵影響的差異的大小與圖5中升降舵偏角的實(shí)際大小和正負(fù)號(hào)在數(shù)量上是對(duì)應(yīng)的，這進(jìn)一步佐證了注1中提到的“δe對(duì)升力的影響是不能忽略的”。圖6為本文算法下俯仰角速度誤差曲線?？梢钥闯?，當(dāng)俯仰角速度誤差較大時(shí)，本文算法提出的基于非線性增益函數(shù)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和抑制策略能夠有效抑制控制量的大小，防止其達(dá)到飽和狀態(tài)；而不含有飽和抑制策略的控制方法將出現(xiàn)控制量飽和的問(wèn)題。這是由于非線性增益函數(shù)參數(shù)設(shè)置中μ2取值的意義為當(dāng)俯仰角速度誤差超過(guò)2.5時(shí)，執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和抑制策略開(kāi)始起作用，通過(guò)降低控制器增益降低控制量的大小，進(jìn)而達(dá)到防止控制量出現(xiàn)飽和情況的目的。

圖7為狀態(tài)量俯仰角速度的仿真結(jié)果曲線，可以看出該狀態(tài)量是穩(wěn)定的。

圖7 俯仰角速度曲線Fig.7 Curves of pitch angular velocity

5 結(jié) 論

(2) 在彈性模態(tài)擾動(dòng)項(xiàng)的建模中剝離了控制量相關(guān)項(xiàng)，并設(shè)計(jì)了非線性干擾觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)，在控制器中予以補(bǔ)償，提高了控制器的控制性能。

(3) 引入非線性增益函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的固定增益策略，提高了系統(tǒng)控制輸入量的飽和抑制能力。

(4) 在飛行器俯仰通道控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)只有升降舵的情況下，不能忽略升降舵偏轉(zhuǎn)對(duì)升力的影響。