以簡馭繁 退而促思

浙江省常山縣實驗小學(xué) 蔡水華 丁群俐

華羅庚先生曾經(jīng)指出：善于“退”，足夠地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅。華羅庚先生的這段名言，道出了解決數(shù)學(xué)問題的一個重要策略，“以簡馭繁：從最簡單的開始想起”。 數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不僅要豐富過程，還要將教材教薄。將數(shù)學(xué)“精簡之美”借助于數(shù)學(xué)思想體系反映出來。

“退”是解決問題的一種策略和方法，要“退”到事物的最起點再換一個角度思考，讓“退”成為更好的“進”。雖然“以簡馭繁”作為一種隱性方法，但是，教師仍可以結(jié)合實際教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“融化——感應(yīng)——碰撞——挖掘”的過程，使學(xué)生對于“以簡馭繁”能逐步走近、美麗邂逅、體驗觸碰，最終實現(xiàn)深度對話。

一、思有“起點”：激發(fā)“以簡馭繁”的學(xué)習(xí)需求

通過創(chuàng)設(shè)一些難度適當?shù)膯栴}情境，有意識地制造一些懸疑，當學(xué)生面對著一道紛繁復(fù)雜的題目毫無頭緒、束手無策時，自然產(chǎn)生“知難而退”的需要。使學(xué)生產(chǎn)生認知上的沖突，激發(fā)數(shù)學(xué)探索的好奇心和求知欲，變機械思考為主動思考。

1.明顯的新舊關(guān)聯(lián)可以激活“退”的需求

數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性決定了數(shù)學(xué)知識與方法間是相互聯(lián)系的，將“新知”與需要用到的“舊法”關(guān)聯(lián)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生對原有思考模型進一步拓展與延伸的需求。

例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了《搭配中的學(xué)問》等相關(guān)組合問題的研究，教師可以并列呈現(xiàn)以下新舊關(guān)聯(lián)的三個問題，啟發(fā)學(xué)生的思考。

新知問題原有思考模型六年級四個班進行拔河比賽，每兩個班賽一場，一共要賽多少場?各圖中有多少個長方形?images/BZ_54_1933_1471_2274_1495.png各圖中有多少個角?images/BZ_54_1963_1518_2224_1622.png

原有的思考模型啟發(fā)學(xué)生進一步“檢索”“提煉”方法，在新知問題的運用中進一步清晰化，產(chǎn)生了更好的數(shù)學(xué)思考。

2.強烈的認知沖突可以激活“退”的需求

通過呈現(xiàn)與學(xué)生原有知識、經(jīng)驗相矛盾的現(xiàn)象，設(shè)置懸念；或提供幾個相互矛盾的方案、解答，由外在的情境沖突，引發(fā)認知的不平衡，從而激起學(xué)生的“退”需求。

例如：教學(xué)探索規(guī)律相關(guān)內(nèi)容（題如下圖）時，教師可以將原有的規(guī)律探索改為“你通過計算器計算出的結(jié)果嗎”？當學(xué)生遭遇了計算器上數(shù)位有限，不能直接解決這個問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從簡單的情況或從小一點的數(shù)入手：

9×9＝81

99×99＝9801

999×999＝998001

……

由易到難，從中獲得某些啟示后，再來考慮原題的解答。在活動中體驗，在體驗中領(lǐng)悟，自然過渡、水到渠成。

3.獨特的數(shù)學(xué)排列可以激活“退”的需求

獨特的數(shù)學(xué)排列就是一種良好的認知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)排列的元素可以是數(shù)、符號、式或者圖形?？梢越o學(xué)生一種強烈的數(shù)學(xué)沖突，便于學(xué)生去“檢索”，引發(fā)“退”的需求，啟動有序化的思考。

數(shù)的排列：3，5，7，9，……，_____（第2014 個數(shù)）

式的排列：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+……+1/1024=

圖的排列：求下圖中紅色部分的周長是多少？

由單一到序列，讓學(xué)生自己動手操作，通過列一列、猜一猜、數(shù)一數(shù)、比一比、說一說，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，探索數(shù)學(xué)規(guī)律。

二、思有“結(jié)構(gòu)”：掌握“以簡馭繁”的技術(shù)范式

毋庸置疑，學(xué)生“化繁為簡”的思考水平和技術(shù)能力的培養(yǎng)，離不開教師的引導(dǎo)和點撥。為此，我們在教學(xué)實踐摸索中，初步構(gòu)建了“化繁為簡”的階段層次和基本技術(shù)范式（如下圖），經(jīng)過精心設(shè)計、合乎邏輯的技術(shù)范式不僅能使學(xué)生獲得知識，而且有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力，增強其對“以簡馭繁”思想方法的感應(yīng)能力。

下面，就以“一個大正方形用十字形連續(xù)均分：連續(xù)均分20次，能得到幾個小正方形？”為例，具體闡述教師在課堂教學(xué)中，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)思考如何進行“適時介入”和“合理引導(dǎo)”，幫助學(xué)生構(gòu)建、掌握化繁為簡的基本技術(shù)范式。

1.簡約階段：化繁為簡，簡化探究素材

簡約階段是指把繁雜的問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達。如此題，可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析，“退到”從第一次均分開始研究，記錄基本規(guī)律。

均分1 次均分2 次均分3 次均分次數(shù)images/BZ_55_1485_540_1580_634.pngimages/BZ_55_1650_543_1744_636.pngimages/BZ_55_1825_540_1920_634.png均分4 次 ……小正方形個數(shù)4images/BZ_55_1550_676_1615_710.png7images/BZ_55_1729_680_1792_713.png10 13 ……images/BZ_55_1897_680_1962_713.png

2.符號階段：化數(shù)為式，探索數(shù)學(xué)模型

符號階段時，可以引導(dǎo)學(xué)生去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡約化了的事物在內(nèi)的一類事物。如根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律，將“結(jié)論數(shù)”改寫成“算式”，用數(shù)學(xué)符號的方式搭建數(shù)學(xué)模型。

均分1 次均分2 次均分3 次均分次數(shù)images/BZ_55_1494_1265_1590_1360.pngimages/BZ_55_1659_1267_1754_1362.png4均分4 次 ……images/BZ_55_1835_1265_1931_1360.png小正方形個數(shù)4+3 4+3+3 4+3+3+3 ……4 4+3×1 4+3×2 4+3×3 ……

3.普適階段：無中生有，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

普適階段是指通過假設(shè)和推理建立法則、模型或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物和復(fù)雜問題。比如引導(dǎo)學(xué)生在均分一次的前面再增加一種初始狀態(tài)，數(shù)形結(jié)合，完善數(shù)學(xué)模型。

均分0 次均分1 次均分2 次均分3 次均分次數(shù)images/BZ_55_1425_1986_1520_2079.pngimages/BZ_55_1575_1986_1671_2079.pngimages/BZ_55_1725_1988_1820_2080.pngimages/BZ_55_1865_1986_1961_2079.png均分4 次 均分n 次小正方形個數(shù)1 4 4+3×1 4+3×2 4+3×3 1+3×n 1 1+3×1 1+3×2 1+3×3 1+3×4

讓學(xué)生從最簡單、也是從最小的情況出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)、探究較復(fù)雜的問題，即大的本質(zhì)的內(nèi)涵。相信，通過對復(fù)雜問題的猜想、思考、驗證，在學(xué)生的眼中已不再成為困難。

三、思有“延伸”：形成“以簡馭繁”的思維慣性

“前延后展”的學(xué)習(xí)方法能夠讓學(xué)生“觸景生思”，誘發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的積極性，引起他們更多的數(shù)學(xué)聯(lián)想，逐步向數(shù)學(xué)思想的掌握靠近。

1.解決了，不妨再“瞻前”議一議

數(shù)學(xué)里有很多模式，簡潔的數(shù)學(xué)模式就像知識的“胚胎”，等待被醞釀和呵護，我們應(yīng)該像澆花一樣的去滲透，更多數(shù)學(xué)問題解決后需要我們再引導(dǎo)學(xué)生回頭想一想，體驗其中更簡潔的結(jié)構(gòu)，更系統(tǒng)的聯(lián)系。

例如：《列方程解決問題》

師：同學(xué)們用方程解答了這么多不同的問題，整體看一看，你能發(fā)現(xiàn)其中相同的地方嗎？覺得哪幾個問題可以歸為一類？

生1：除了（3），其余可以歸為一類，都是ax+bx=c 形式。

生2：（1）（2）（4）的數(shù)量關(guān)系可類似表示在線段圖（5）里。

生3：（3）也可以和它們歸為一類，因為它們的數(shù)量關(guān)系都是：部分+部分=總量。

師：如果我們嘗試著把這些題都用一個式子來概括的話，你覺得可以怎么來寫？

生：ax+by=c，不同的是，有些問題當中的x 與y 相等，有些x 與y 不相等。

如果學(xué)生在每節(jié)課里獲得的知識是散裝的，一定有“管中窺豹”的狹隘感。及時地“瞻前”，在整體知識背景下對所學(xué)知識的重組和構(gòu)建，將原先分散的、彼此分割的知識聯(lián)系成一個整體，從而幫助形成由點、線、面筑成的立體式的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

2.學(xué)會了，不妨再“顧后”想一想

如果只重視局部訓(xùn)練而淡化整體聯(lián)網(wǎng)的教學(xué)，就會使學(xué)生缺少高瞻遠矚的解決謀略和隨機應(yīng)變的解決智慧。所以我們應(yīng)有這樣的意識：將前后知識進行融合，不同的領(lǐng)域內(nèi)容互相滲透，恰當“顧后”，既是學(xué)生掌握知識的張力，也是數(shù)學(xué)知識本身的魅力，還是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的活力。

例如：《整理與復(fù)習(xí)：小數(shù)的意義和加減法》

同學(xué)們已經(jīng)對《小數(shù)的意義和加減法》單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容及相關(guān)知識進行整體回顧，體會了“小數(shù)意義”在其中的核心價值，構(gòu)建起了具有結(jié)構(gòu)性的知識樹。

師：太棒了，知識可以像一棵樹一樣，形成聯(lián)系。那么，學(xué)了這么多小數(shù)的知識，有什么用呢？

師：小數(shù)的加減法和小數(shù)意義有什么聯(lián)系呢？

生：其實，小數(shù)的加減法要求相同數(shù)位進行相加減，就是運用了小數(shù)的意義及小數(shù)部分的計數(shù)單位。

師：接下來，我們還將學(xué)習(xí)《小數(shù)乘法》，它們會不會與這個單元的知識有聯(lián)系呢？（學(xué)生的眼睛開始發(fā)亮，翻閱書本后，學(xué)生們紛紛說：哦，知道了！原來小數(shù)乘法這樣就行了。）

師：同學(xué)們，《小數(shù)的意義》的學(xué)習(xí)內(nèi)容僅僅只是給我們提供了一棵知識樹嗎？

生：老師，我看到了，這棵知識樹的背后還有和它有聯(lián)系著的更多的知識樹！不，那是一片森林……

在學(xué)生對小數(shù)意義的知識整體聯(lián)系后，教師不妨再引導(dǎo)學(xué)生恰當“顧后”，提前劇透后面的學(xué)習(xí)內(nèi)容《小數(shù)加減法》《小數(shù)乘法》《小數(shù)除法》，引導(dǎo)學(xué)生進一步體會所學(xué)知識的重要意義，簡化未來學(xué)習(xí)的經(jīng)驗儲備。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個動態(tài)的過程，教學(xué)中要具有“四兩撥千斤”的從容和智慧，不斷擴大課堂的張力，讓學(xué)生感受到有些數(shù)學(xué)問題比較復(fù)雜，直接解答過程會比較繁瑣，如果在結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系相似的情況下，從更加簡單的問題入手，找到解決問題的方法或建立模型，并進行適當檢驗，用正確的方法或模型去解決問題，“退”出海闊天空，“簡”出優(yōu)質(zhì)高效，讓思維碰撞出的智慧火花，彰顯“以簡馭繁”的教學(xué)魅力。