基于AdaGrad的GNSS-R鏡面反射點(diǎn)自適應(yīng)預(yù)測(cè)算法

盛志超，周 勃，杜璞玉，秦 瑾，王 路

(1.上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109；2.東南大學(xué)，江蘇 南京 211189)

0 引言

GNSS-R技術(shù)是一種新型遙感技術(shù)，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)海面高度、海面風(fēng)速和土壤濕度等多種環(huán)境要素的探測(cè)[1-2]。相比于傳統(tǒng)微波遙感載荷，GNSS-R載荷具有寬刈幅、高時(shí)空分辨率、低功耗和低成本等優(yōu)點(diǎn)[3-5]。

GNSS-R遙感的探測(cè)區(qū)域是以鏡面反射點(diǎn)為中心的閃耀區(qū)——反射信號(hào)功率最集中的位置[6-7]。對(duì)鏡面反射點(diǎn)幾何位置的精確預(yù)測(cè)有2個(gè)作用：① 建立對(duì)GNSS-R遙感探測(cè)的坐標(biāo)基準(zhǔn)；② 實(shí)現(xiàn)對(duì)反射信號(hào)的實(shí)時(shí)開環(huán)跟蹤。鏡面反射點(diǎn)預(yù)測(cè)的精確與否，對(duì)GNSS-R遙感探測(cè)的建模與反演有直接影響。因此，如何快速有效地計(jì)算出鏡面反射點(diǎn)的位置，是GNSS-R技術(shù)的首要問題。

現(xiàn)有的鏡面反射點(diǎn)預(yù)測(cè)算法主要有Gleason算法[8]、S.C.Wu算法[9]和線段二分法[10]。Gleason算法的精度高但收斂速度慢；S.C.Wu算法的收斂速度快且穩(wěn)定，但因其采用地球圓模型進(jìn)行建模，需要加入復(fù)雜的校正；線段二分法是S.C.Wu算法的改進(jìn)，其收斂速度快并且精度高，但存在不可避免的徑向和法向不統(tǒng)一問題。

鏡面反射點(diǎn)的預(yù)測(cè)過程本質(zhì)上和深度學(xué)習(xí)中的“學(xué)習(xí)”過程是一致的，因此，一些統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論可以用于鏡面反射點(diǎn)預(yù)測(cè)的優(yōu)化。本文提出了一種基于AdaGrad優(yōu)化的GNSS-R鏡面反射點(diǎn)自適應(yīng)預(yù)測(cè)算法，能夠?qū)W(xué)習(xí)效率進(jìn)行自動(dòng)調(diào)整，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)鏡面反射點(diǎn)更高效、更精確的搜索。

1 鏡面反射點(diǎn)

GNSS-R幾何位置關(guān)系示意圖如1所示。圖1(a)中GNSS衛(wèi)星發(fā)射GNSS信號(hào)，該信號(hào)到達(dá)地球表面時(shí)，在鏡面反射點(diǎn)所在的閃耀區(qū)發(fā)生散射和反射，反射信號(hào)由GNSS-R接收機(jī)接收[11-12]。在理想情況下，鏡面反射點(diǎn)滿足以下條件：① 鏡面反射點(diǎn)在地球表面；② 發(fā)射機(jī)—鏡面反射點(diǎn)—接收機(jī)是所有反射路徑中的最短路徑；③ 滿足斯涅耳定律——入射角等于反射角[13]。

圖1(b)中，R表示接收機(jī)，T表示發(fā)射機(jī)，S表示地球表面上的某點(diǎn)，O表示地心，M表示OC所在直線與RT所在直線的交點(diǎn)，U表示R關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)，C表示M關(guān)于RU的對(duì)稱點(diǎn)，αt，αr分別表示信號(hào)的入射角和反射角。

(b)二維視圖

在理想條件下，利用鏡面反射點(diǎn)滿足的3個(gè)條件，對(duì)鏡面反射點(diǎn)的預(yù)測(cè)問題等價(jià)于非線性約束條件下的非線性優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)模型可以表示為：

(1)

式中，f(S)的最小化函數(shù)是鏡面反射點(diǎn)預(yù)測(cè)的目標(biāo)函數(shù)；R表示接收機(jī)；T表示發(fā)射機(jī)；S表示地球表面上的某點(diǎn)；Sx，Sy，Sz分別為S在地心坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)的三軸坐標(biāo)；αt，αr分別表示信號(hào)的入射角和反射角。

2 鏡面反射點(diǎn)的估算

傳統(tǒng)鏡面反射點(diǎn)預(yù)測(cè)算法都是以入射角等于反射角為終止條件進(jìn)行搜索的，得到的反射路徑長(zhǎng)度不一定最短，不符合鏡面反射點(diǎn)的定義。本文提出的算法將直接從式(1)中的目標(biāo)函數(shù)出發(fā)，在地球表面尋找使反射路徑長(zhǎng)度最短的點(diǎn)，即鏡面反射點(diǎn)。下面會(huì)證明本文提出的算法所預(yù)測(cè)得到的鏡面反射點(diǎn)同時(shí)也滿足入射角等于反射角這一條件。

針對(duì)帶非線性約束條件的非線性優(yōu)化問題，鏡面反射點(diǎn)初始值的設(shè)置會(huì)對(duì)算法的收斂速度以及結(jié)果的準(zhǔn)確度產(chǎn)生重要影響。因此，本文提出的算法將通過以下2個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)對(duì)鏡面反射點(diǎn)的預(yù)測(cè)：

① 利用發(fā)射機(jī)、地球、接收機(jī)的幾何關(guān)系，實(shí)現(xiàn)鏡面反射點(diǎn)的粗略估計(jì)；

② 利用AdaGrad優(yōu)化算法求解最短路徑，實(shí)現(xiàn)鏡面反射點(diǎn)的精確估計(jì)。

2.1 鏡面反射點(diǎn)粗估

圖1(b)中存在如下數(shù)學(xué)關(guān)系：

|RM|=|MU|=|UC|
|RM|/|RT|=|RM|/(|RM|+|MT|)=
|CU|/(|CU|+|MT|)=
|SR|/(|SR|+|ST|)≈
|OR|/(|OR|+|OT|)。

(2)

由此可以得到，M的粗略估計(jì)值為：

M=R+RM≈R+[|OR|/(|OR|+|OT|)]×RT。

(3)

而鏡面反射點(diǎn)S1為M的星下點(diǎn)，則鏡面反射點(diǎn)的粗略估計(jì)值為：

S1=(OM/|OM|)×Re，

(4)

式中，Re為WGS-84坐標(biāo)下M點(diǎn)對(duì)應(yīng)星下點(diǎn)的半徑。

2.2 鏡面反射點(diǎn)精估

2.2.1 AdaGrad優(yōu)化算法

深度學(xué)習(xí)使用數(shù)據(jù)對(duì)其構(gòu)筑中的參數(shù)進(jìn)行更新以達(dá)成訓(xùn)練目的，該過程被稱為“學(xué)習(xí)”，“學(xué)習(xí)”的常見方法有梯度下降法及其變體，一些統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)上的理論被應(yīng)用在學(xué)習(xí)過程的優(yōu)化上[14]。

針對(duì)反射路徑長(zhǎng)度f(S)=|S-T|+|R-S|的最小化問題求解，同樣也可以通過梯度下降的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)解的優(yōu)化更新，其更新表達(dá)式為Sn+1=Sn-K·f(Sn)[15]。其中，K表示學(xué)習(xí)率，f(Sn)表示f(S)的梯度，即每一次迭代過程中的更新增量，其可以表示為：

(5)

梯度下降法在每一次迭代過程中，對(duì)解的更新都采用固定的學(xué)習(xí)率。學(xué)習(xí)率決定了參數(shù)移動(dòng)到最優(yōu)值的速度快慢。如果學(xué)習(xí)率太小，優(yōu)化效率可能過低，算法收斂速度太慢；如果學(xué)習(xí)率太大，參數(shù)的收斂過程會(huì)產(chǎn)生震蕩，甚至無法收斂[16]。

本文采用深度學(xué)習(xí)中的AdaGrad優(yōu)化算法。該算法是梯度下降法的一種變體，能夠在每一次迭代過程中對(duì)學(xué)習(xí)率進(jìn)行調(diào)整，當(dāng)離目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解較遠(yuǎn)時(shí)，學(xué)習(xí)率較大，朝最優(yōu)解移動(dòng)得越多[17]。隨著迭代次數(shù)的增加，學(xué)習(xí)率逐漸減小。

基于AdaGrad計(jì)算鏡面反射點(diǎn)的算法具體如下：

① 對(duì)參數(shù)進(jìn)行初始化：

設(shè)置全局學(xué)習(xí)率ε為1，鏡面反射點(diǎn)的初值為上節(jié)鏡面反射點(diǎn)的粗估值S1，常數(shù)δ為10-7，梯度累積變量τ為0。

f(Sn)n=N(Sn)×f(Sn)×N(Sn)，

(6)

式中，N(S)表示S的單位法向量。

監(jiān)管點(diǎn)設(shè)立后珠海局多措并舉，嚴(yán)密監(jiān)控監(jiān)管點(diǎn)周邊水域的渡口，渡船以及橋梁的安全，發(fā)揚(yáng)“敬業(yè)、工匠、團(tuán)隊(duì)”的精神，每天安排執(zhí)法人員前往“海躉1556”值守，重點(diǎn)開展電子巡航和對(duì)赤粉水道、荷麻溪水道、泥灣門水道、虎跳門水道、磨刀門水道進(jìn)行巡航檢查：“海躉1556”監(jiān)管點(diǎn)設(shè)立以來，共檢查船舶1716艘次，檢查渡口541次，橋梁水域巡查1141次，開展夜巡56次。隨著“海躉1556”監(jiān)管點(diǎn)的投入使用，珠海局依托該監(jiān)管點(diǎn)進(jìn)一步提高了現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)管效率，加大了違章、違法行為的打擊力度，強(qiáng)化了轄區(qū)渡口、橋梁、岔河口等重點(diǎn)水域的監(jiān)管力度，周邊水域通航秩序大有改觀，未發(fā)生重大事故，極大地助力了“平安西江”建設(shè)。

③ 計(jì)算累積梯度平方和τ：

τ=τ+f(Sn)2。

(7)

④ 計(jì)算更新增量ΔS：

(8)

⑤ 利用ΔS，對(duì)Sn進(jìn)行更新：

S′=Sn+ΔS。

(9)

⑥ 將S′映射到地球表面，得到相應(yīng)的鏡面反射點(diǎn)的下一個(gè)解Sn+1：

Sn+1=(OS′/|OS′|)×Re(S′)。

(10)

⑦ 計(jì)算更新幅度：

COR=|Sn+1-Sn|。

(11)

如果更新幅度COR大于設(shè)定的閾值則繼續(xù)進(jìn)行下一次迭代，否則結(jié)束迭代，輸出鏡面反射點(diǎn)的最優(yōu)解。

2.2.2 預(yù)處理

預(yù)處理實(shí)現(xiàn)將WGS橢球面通過坐標(biāo)變換映射成單位圓[18]。其坐標(biāo)變換的矩陣F為：

(12)

式中，a=6 378 137 m是赤道半徑長(zhǎng)度；b=6 356 800 m為經(jīng)線半徑長(zhǎng)度。

坐標(biāo)系映射的示意如圖2所示，其中，R表示接收機(jī)，T表示發(fā)射機(jī)，SWGS-84表示W(wǎng)GS-84橢球面上的鏡面發(fā)射點(diǎn)，q表示f(S)在點(diǎn)SWGS-84處的梯度，n表示點(diǎn)SWGS-84處的法向量，Spro表示單位圓上的鏡面反射點(diǎn)，q′表示f(S)在點(diǎn)Spro處的梯度，n′表示點(diǎn)Spro處的法向量。

圖2 坐標(biāo)映射示意

將WGS-84橢球面通過坐標(biāo)變換映射成單位圓，具有以下2個(gè)作用：

① 實(shí)現(xiàn)了地球尺度和收斂因子數(shù)量級(jí)的統(tǒng)一。通過坐標(biāo)變換，將赤道半徑a=6 378 137 m，經(jīng)線半徑b=6 356 800 m的WGS84橢球面映射成單位圓，使地球尺度和收斂因子在同一數(shù)量級(jí)上，以便在鏡面反射點(diǎn)的最優(yōu)解求解過程中能夠快速獲得有效解。

② 實(shí)現(xiàn)鏡面反射點(diǎn)的徑向和法向的統(tǒng)一。如圖2所示，點(diǎn)SWGS-84處的目標(biāo)函數(shù)下降最快的方向?yàn)閒(Sn)的方向，即圖中徑向q。因此，算法只有在徑向q的水平分量為0時(shí)收斂。但是徑向q的水平分量只有在R，O，T共線且該直線與地平線垂直的時(shí)候才為0，即入射角為90°時(shí)。而在單位圓中，徑向q與法向n共線，當(dāng)算法收斂時(shí)，即修正幅度COR為0時(shí)，徑向q的水平方向分量為0，又因?yàn)閝=(Sn-T)/|T-Sn|+(Sn-R)/|R-Sn|，可知徑向q是2條單位向量的矢量和，只有入射角等于反射角時(shí)，徑向q無水平分量。

2.2.3 算法流程

上面提出的基于AdaGrad計(jì)算鏡面反射點(diǎn)算法的基礎(chǔ)上，增加了預(yù)處理操作，因此本文總的算法流程如圖3所示。

圖3 算法流程

3 仿真分析

利用STK和Matlab進(jìn)行聯(lián)合仿真實(shí)驗(yàn)。GNSS衛(wèi)星采用GPS衛(wèi)星，軌高20 200 km，LEO衛(wèi)星軌高700 km，進(jìn)行了4種算法反射路徑長(zhǎng)度和運(yùn)算效率比較仿真以及本文算法迭代次數(shù)穩(wěn)定性仿真。發(fā)射機(jī)T的坐標(biāo)為(-11 178 791.991 29，-13 160 191.204 99,20 341 528.127 54)，接收機(jī)R的坐標(biāo)為(-4 069 896.491 51,-3 583 236.963 73,4 527 639.271 75)。

3.1 4種算法反射路徑長(zhǎng)度和運(yùn)算效率比較仿真

4種算法反射路徑長(zhǎng)度和運(yùn)算效率仿真圖如圖4所示。

(a)反射路徑長(zhǎng)度

(b)收斂性能比較圖4 種算法反射路徑長(zhǎng)度和運(yùn)算效率仿真

從圖4可以看出，S.C.Wu算法得到的反射路徑最長(zhǎng)，其獲得的鏡面反射點(diǎn)與真實(shí)鏡面反射點(diǎn)距離最遠(yuǎn)，因此，該算法計(jì)算精度最差。其他3種算法的路徑長(zhǎng)度接近，其中本文算法的路徑長(zhǎng)度最短，滿足最短反射路徑的特點(diǎn)。4種算法預(yù)測(cè)得到的鏡面反射點(diǎn)在地圖上位置相近，說明本文算法得到的鏡面反射點(diǎn)是有效的。

將仿真中本文算法計(jì)算得到的鏡面反射點(diǎn)S*作為參考，對(duì)算法的收斂性能進(jìn)行分析。圖4(a)為4種鏡面反射點(diǎn)算法收斂性能的比較結(jié)果圖。從圖4(b)可以看出，S.C.Wu算法無法收斂，Gleason算法迭代次數(shù)多，運(yùn)算速度較慢。本文算法迭代次數(shù)最少，速度最快。

3.2 本文算法高效性統(tǒng)計(jì)意義仿真

利用STK生成的1顆軌高700 km的LEO衛(wèi)星和31顆GPS衛(wèi)星進(jìn)行仿真，仿真時(shí)間是從2015年3月7日00:00:00開始的24 h。GNSS-R接收機(jī)的下視天線的波瓣寬度為±45°，采用的選星策略是GNSS-R接收機(jī)的仰角不低于75°。

分別利用本文算法和線段二分法計(jì)算32 750組符合條件的數(shù)據(jù)。本文算法和線段二分法效率統(tǒng)計(jì)圖如圖5所示。通過比較可以看出，本文算法每次的迭代次數(shù)穩(wěn)定在14次以內(nèi)，線段二分法每次的迭代次數(shù)集中在13～17次，部分?jǐn)?shù)據(jù)的迭代次數(shù)超過25次，因此本文算法從統(tǒng)計(jì)意義上來說運(yùn)算效率明顯優(yōu)于線段二分法。

3.3 結(jié)論

Gleason算法收斂速度慢，但是位置較為精確；而S.C.Wu算法因其精度低、無法達(dá)到預(yù)設(shè)的精度要求，出現(xiàn)了無限次迭代，算法無法終止；線段二分法是S.C.Wu算法的改進(jìn)，因此它繼承了S.C.Wu速度快的優(yōu)點(diǎn)，并且利用WGS-84橢球面，其預(yù)測(cè)得到的鏡面反射點(diǎn)較為精確，但沒有解決徑向、法向不統(tǒng)一的問題。本文提出的算法能夠根據(jù)更新幅度自適應(yīng)的改善學(xué)習(xí)率，因而能更快速地到達(dá)最優(yōu)解。通過仿真結(jié)果可以看出，本文算法的結(jié)果相比于其他算法更為精確。此外，根據(jù)圖5結(jié)果可以得出，本文算法統(tǒng)計(jì)意義上也更加高效。

(a)本文算法效率統(tǒng)計(jì)圖

(b)線段二分法效率統(tǒng)計(jì)圖圖5 本文算法和線段二分法算法效率統(tǒng)計(jì)仿真

4 結(jié)束語

本文提出了基于AdaGrad的GNSS-R鏡面反射點(diǎn)預(yù)測(cè)算法，具有精度高、速度快的優(yōu)點(diǎn)。該算法將深度學(xué)習(xí)優(yōu)化算法應(yīng)用于鏡面反射點(diǎn)的預(yù)測(cè)過程，通過自適應(yīng)地調(diào)整學(xué)習(xí)率，提高算法收斂速度，滿足星載環(huán)境中的實(shí)時(shí)性需求。該算法在預(yù)處理過程中實(shí)現(xiàn)鏡面反射點(diǎn)徑向和法向的統(tǒng)一，進(jìn)一步提高了算法的預(yù)測(cè)速度。仿真結(jié)果表明，該算法收斂速度快，預(yù)測(cè)精度高。相比于傳統(tǒng)鏡面反射點(diǎn)預(yù)測(cè)算法，該算法在預(yù)測(cè)速度方面具有明顯優(yōu)勢(shì)，對(duì)于GNSS-R載荷搭載具有一定的參考意義。