懸鏈線方程的推導(dǎo)與應(yīng)用

張華杰 易洪榮 王豪 梁吉雷

摘? 要：文章主要研究懸鏈線的一般形態(tài)問(wèn)題，基于對(duì)懸鏈線的受力分析，給出了懸鏈線一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程。針對(duì)適用于海洋工程系泊系統(tǒng)的錨鏈設(shè)計(jì)，構(gòu)建了近海觀測(cè)網(wǎng)在不同情況下的數(shù)學(xué)模型，展示如何利用迭代算法和約束條件，求解近海錨鏈形態(tài)。

關(guān)鍵詞：懸鏈線方程;受力分析;迭代算法

中圖分類號(hào)：U662? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? 文章編號(hào)：2095-2945（2019）26-0173-04

Abstract： This paper mainly studies the general morphology of catenary. Based on the force analysis of catenary， the derivation process of general equation and standard equation of catenary is given. Aiming at the anchor chain design suitable for marine engineering mooring system， this paper constructs the mathematical model of offshore observation network under different conditions， and shows how to use iterative algorithm and constraint conditions to solve the shape of offshore anchor chain.

Keywords： catenary equation; force analysis; iterative algorithm

現(xiàn)實(shí)生活中存在各種各樣的曲線，懸鏈線就是其中的一種。懸鏈線是一種常用曲線，物理上用于描繪懸在水平兩點(diǎn)間的因均勻引力作用下的軟繩的形狀，因此而得名（圖1）。

1 懸鏈線方程的推導(dǎo)

為方便受力分析，本文先討論懸掛點(diǎn)等高時(shí)，即相鄰懸掛點(diǎn)無(wú)高差時(shí)鐵鏈的受力情況。根據(jù)對(duì)稱性，本文取一半的鐵鏈進(jìn)行分析，如下：

本文以等高懸掛著的鐵鏈（以下稱為懸鏈）的最低點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，同時(shí)假定懸鏈與兩端懸掛點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，懸鏈為連續(xù)質(zhì)量均稱可均勻形變的柔鏈。故可將懸鏈設(shè)為y=f（x），設(shè)點(diǎn)A為鐵鏈上任意一點(diǎn)（x，y），懸鏈OA段分別受到A點(diǎn)沿切線方向往上的拉力F，自身所受重力G以及最低點(diǎn)水平向左的拉力T，將受力關(guān)系放入一個(gè)三角形中可得（圖3）：

因懸鏈處于靜止?fàn)顟B(tài)，由靜力學(xué)平衡條件可知懸鏈OA段各方向上的分解受力必然平衡，即：

如圖6所示，近淺海觀測(cè)網(wǎng)系統(tǒng)由浮標(biāo)和系泊系統(tǒng)組成。某型傳輸節(jié)點(diǎn)的浮標(biāo)系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為重為m1=2000kg高為h=2m底面半徑為r=1m的圓柱體，錨鏈長(zhǎng)L=22.05m單位質(zhì)量為ρ1=7kg/m?，F(xiàn)將該型近海觀測(cè)系統(tǒng)布放在水深為H=18m，且海床平坦、海水密度為ρ2=1.025×103kg/m3的海域中。若此時(shí)海水靜止，分別研究海面風(fēng)速為v=12m/s和v=24m/s時(shí)的錨鏈形態(tài)，近海風(fēng)荷載可以通過(guò)近似公式F=0.625×Sv2（N）計(jì)算，其中S為物體在風(fēng)向法平面的投影面積（m2），v為風(fēng)速m/s。

首先我們要對(duì)錨鏈在海中的可能形態(tài)進(jìn)行分析：

（1）錨鏈未被全部拉起，有部分錨鏈拖在海床上

（2）錨鏈剛好被全部拉起，與海床夾角剛好成0度

（3）錨鏈被完全拉起后與海床成一夾角a2

因不清楚當(dāng)風(fēng)速為12m/s和24m/s時(shí)錨鏈?zhǔn)欠癖煌耆?，無(wú)法直接對(duì)錨鏈進(jìn)行受力分析。故假設(shè)錨鏈剛好被完全拉起，先對(duì)情況2進(jìn)行分析，求出臨界風(fēng)速：

3 結(jié)束語(yǔ)

本文主要對(duì)懸鏈線方程進(jìn)行推導(dǎo)與研究，給出了懸鏈線方程的一般表達(dá)式，演示如何使用約束條件和迭代算法解決近海錨鏈的形態(tài)問(wèn)題。因主要討論錨鏈形態(tài)而簡(jiǎn)化了模型，忽略海水流力等其它因素對(duì)浮標(biāo)的影響，故在實(shí)際設(shè)計(jì)分析時(shí)應(yīng)對(duì)其他影響因素逐層分析討論，不可一味忽略。目前近海系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化為我國(guó)近海觀察檢測(cè)提供了實(shí)用的理論，對(duì)近海船舶作業(yè)具有重要意義，是我國(guó)現(xiàn)今熱門的研究方向，而未來(lái)研究方向則需更多地考慮海中多種因素對(duì)錨鏈影響以及錨鏈材料的選擇問(wèn)題。

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