基于偏序集的模糊互補(bǔ)矩陣次序一致性檢驗(yàn)與調(diào)整

吳 偉, 顧 丹

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)與經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，阜新轉(zhuǎn)型創(chuàng)新發(fā)展研究院，遼寧 阜新 123000; 2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 黨委宣傳部，遼寧 阜新 123000)

0 引言

自從1977年匹茨堡大學(xué)教授薩蒂提出層次分析法(Analytic Hierarchy Process，簡(jiǎn)稱AHP)以來，因其有效、實(shí)用的特點(diǎn)[1],該方法被廣泛的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)、管理、軍事、技術(shù)工程等多個(gè)領(lǐng)域。單一準(zhǔn)則下,人們常常通過比較兩兩方案的偏好信息構(gòu)造判斷矩陣( 通常為互反判斷矩陣或模糊互補(bǔ)矩陣) 進(jìn)行決策選擇[2]，相比這兩種判斷矩陣，模糊互補(bǔ)矩陣更符合人的心理習(xí)慣,更容易為決策者掌握和使用。在實(shí)際決策中，模糊互補(bǔ)矩陣的一致性是保證決策過程合理性的重要前提,直接影響排序向量的可靠性[2～6], 一些學(xué)者提出了包括基本一致性、滿意一致性、次序一致性概念。但由于受專家的認(rèn)識(shí)能力、知識(shí)水平等諸多主觀因素的影響,加上客觀對(duì)象本身的模糊性、復(fù)雜性,模糊互補(bǔ)矩陣很難保證基本一致性[7,8]，魏翠萍提出當(dāng)矩陣具有滿意一致性時(shí)，也能得到合理的排序向量[9],文獻(xiàn)[5]提出模糊互補(bǔ)矩陣滿足次序一致性也能得到和專家意見一直的排序結(jié)果，并證明了滿意一致性和次序一致性的等價(jià)性，楊靜等人提出次序一致性是判斷矩陣的基本條件[10]，由不具備次序一致性矩陣獲得的排序向量不可能是“對(duì)某種屬性的合理測(cè)度[11～13]”，因此，為了得到準(zhǔn)確的排序結(jié)果，有必要對(duì)判斷矩陣次序一致性檢驗(yàn)問題進(jìn)行探討。

學(xué)者們對(duì)模糊互補(bǔ)矩陣次序一致性檢驗(yàn)盡管不多，但已經(jīng)有了一些研究成果，文獻(xiàn)[11]給出了檢驗(yàn)矩陣次序一致性的通用方法；文獻(xiàn)[8]提出用有向圖討論了判斷矩陣次序一致性的性質(zhì)，給出了檢驗(yàn)判斷矩陣滿足次序一次性的方法；文獻(xiàn)[5]提出判斷矩陣滿足次序一致性的充要條件是存在一個(gè)置換矩陣P，給出了次序一致性的標(biāo)準(zhǔn)形式和調(diào)整完全次序一致性的方法；Zhang等人通過對(duì)矩陣分解，闡述了次序一致性矩陣檢驗(yàn)的新方法[14]，侯福均提出互補(bǔ)判斷矩陣如果任意兩行對(duì)應(yīng)元素大小都保持同向的關(guān)系[15]，則矩陣具有可接受一致性，該方法簡(jiǎn)單、易操作，符合人們的慣性思維。另外，行和行的可比其實(shí)就是方案和方案之間可比，方案的排序是全序，具有傳遞性，而全序是特殊的偏序，因此蘊(yùn)含了互補(bǔ)判斷一致性問題可以用偏序集來表示。學(xué)者們對(duì)矩陣次序一致性的檢驗(yàn)方法各有特點(diǎn)，都能對(duì)判斷矩陣次序一致性進(jìn)行有效檢驗(yàn)，但是以上文獻(xiàn)對(duì)矩陣次序一致性的研究也存在以下幾個(gè)問題：第一，只給出檢驗(yàn)方法，但是并未給出如何調(diào)整不一致，如文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[11]，第二，檢驗(yàn)和調(diào)整方法運(yùn)算過程較為繁瑣，判斷矩陣階數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量較大問題，應(yīng)用性較差，如文獻(xiàn)[5]文獻(xiàn)[11]調(diào)整過于牽強(qiáng)，缺乏賦值依據(jù)?；谝陨戏治?，本文在闡述偏序集理論、模糊互補(bǔ)矩陣次序一致性的基礎(chǔ)上，給出若干性質(zhì)，然后討論模糊互補(bǔ)矩陣次序一致性檢驗(yàn)問題，給出hasse矩陣檢驗(yàn)判斷矩陣次序一致性的方法基礎(chǔ)上，提出一種不滿足次序一致性矩陣的調(diào)整方法。

1 基本概念

1.1 偏序集

定義1[16]設(shè)R是集合A上的一個(gè)二元關(guān)系，若R滿足:

(1)自反性：對(duì)任意x∈A,有xRx；

(2)反對(duì)稱性：對(duì)任意x,y∈A,若xRy且yRx，則x=y；

(3)傳遞性：對(duì)于任意x,y,z∈A,若xRy且yRz，則xRz。

則稱R為A上的偏序關(guān)系，記作?，并稱(A,?)是一個(gè)偏序集。

如果該集合對(duì)象可數(shù)，則我們可用矩陣的形式表示，稱之為偏序關(guān)系矩陣[17]。

定義2[16]給定偏序集(A,?)，對(duì)于?ai，aj∈A，若ai?aj，則記sij=1；若ai?aj或者ai與aj不可比，則記sij=0。則S=(sij)n×n為(A,?)的偏序關(guān)系矩陣。

由偏序關(guān)系矩陣S可以形成hasse矩陣，偏序關(guān)系矩陣轉(zhuǎn)換hasse矩陣的公式：

定理1[18]設(shè)S=(sij)n×n為偏序矩陣，則HR=(S-I)-(S-I)2。

其中，S為偏序關(guān)系矩陣，HR為hasse矩陣(元素都為0和1)，I為單位矩陣，矩陣(R-I)2為布爾代數(shù)。

1.2 模糊矩陣一致性

在多屬性決策中，設(shè)X={x1,x2,…,xn}為方案集[19]，且N={1,2,…,n}。決策者常常很難直接給出方案集的排序，但是卻可以給出方案的兩兩優(yōu)劣比較的用實(shí)數(shù)表示的模糊偏好信息bij，所給出的矩陣B=(bij)n×n，描述如下：

定義3[20]設(shè)矩陣B=(bij)n×n，若?bij∈[0,1],則稱B是模糊矩陣。

根據(jù)定義3可知：

(1)0.5

(2)0≤bij<0.5，表示方案xj優(yōu)于方案xi；

(3)bij=0.5，表示方案xi和方案xj同樣重要。

定義4[21]若模糊矩陣B=(bij)n×n滿足：對(duì)于?i,j∈N有bij+bji=1，則稱B是模糊互補(bǔ)矩陣。

定義5[22]對(duì)模糊互補(bǔ)矩陣B=(bij)n×n,若對(duì)?i,j,k,bij≥0.5，bjk≥0.5時(shí)有bik≥0.5，則稱B有次序一致性。

從定義5能夠幫助我們判斷模糊互補(bǔ)矩陣是否具有次序一致性[21]，但是如果方案較多時(shí)，直接進(jìn)行判斷不太容易，但是我們看到，次序一致性只關(guān)注被比較方案的優(yōu)劣關(guān)系，而對(duì)優(yōu)劣程度關(guān)心較少。因此，我們?cè)谘芯磕：パa(bǔ)矩陣的次序一致性的檢驗(yàn)和調(diào)整方法時(shí)，還需考慮方案之間的優(yōu)劣程度，可以將模糊互補(bǔ)矩陣按照下列原則，轉(zhuǎn)換成截集矩陣Bλ。

定義6[23]設(shè)B=(bij)n×n對(duì)任意的λ∈[0,1]，稱Bλ=(rij)n×n為模糊矩陣B的截集矩陣，其中

(1)

定義7[5]若次序一致性判斷矩陣B,若xi優(yōu)于xj，則對(duì)?k有bik>bjk時(shí)，稱B具有完全次序一致性。

2 模糊互補(bǔ)矩陣次序一致性偏序集檢驗(yàn)與調(diào)整

定理2若對(duì)于任意的x,y∈X，若(x,y)∈R當(dāng)且僅當(dāng)y≥x，則(X,R)是偏序集。

證明(1)對(duì)于任意的x∈X,顯然有x≥x，即同一個(gè)方案本身和本身能比較優(yōu)劣，(x,x)∈R,即R滿足自反性；

(2)對(duì)于任意的x,y∈X,若(x,y)∈R且(y,x)∈R,則x≥y且y≥x，即方案x優(yōu)于方案y且方案y優(yōu)于方案x，因?yàn)榉桨敢欢ㄊ强杀鹊?，根?jù)定義3得出bij≥0.5且bji≥0.5，根據(jù)定義4得bij+bji=1，所以，bij=0.5，bji=0.5,方案x和方案y一樣好，x=y，R滿足反對(duì)稱性；

(3)對(duì)于任意x,y,z∈X,若(x,y)∈R且(y,z)∈R，則x≥y且y≥z，即方案x優(yōu)于方案y，方案y優(yōu)于方案z，我們很容易判斷出方案x優(yōu)于z，x≥z，R滿足傳遞性。

因此，R是X上的偏序關(guān)系,(X,R)是一個(gè)偏序集,證畢。

定理3給定偏序集(X,?)，若Bλ(λ=0.5)是模糊互補(bǔ)矩陣B截集矩陣，則Bλ(λ=0.5)為偏序關(guān)系矩陣?B滿足次序一致性。

證明?當(dāng)Bλ(λ=0.5)為偏序關(guān)系矩陣，若sij=1，根據(jù)定義2可知，ai≥aj，根據(jù)定義3中(1)和(3)可知，bij≥0.5，所以當(dāng)sij=1,sjk=1時(shí)，根據(jù)定義1中(3)可知，sik=1，自然得到bik≥0.5，又因?yàn)?，bjk≥0.5，根據(jù)定義5可知，B滿足次序一致性。

?必要性：若bij≥0.5，由定義6可知，Bλ(λ=0.5)中，rij=1，所以當(dāng)bjk≥0.5，rjk=1，因?yàn)锽滿足次序一致性，根據(jù)定義5，則bik≥0.5，則rik=1，滿足定義1中的(3)，又根據(jù)定理2中的(1)和(2)，即本文所研究的模糊互補(bǔ)矩陣中方案都是可比的，所以滿足定義1中的(1)和(2)，因此，截集矩陣Bλ(λ=0.5)為偏序關(guān)系矩陣，證畢。

若截集矩陣Bλ(λ=0.5)為偏序關(guān)系矩陣，由定理1可知，按照公式(1)能轉(zhuǎn)為hasse矩陣HR，因此，定理4給了我們一個(gè)的判斷模糊互補(bǔ)矩陣B具有次序一致性的簡(jiǎn)單、便捷的方法，即按照定理1中的公式，Bλ(λ=0.5)偏序關(guān)系矩陣能轉(zhuǎn)換為hasse矩陣HR，則該矩陣B具有次序一致性。那么，如果Bλ(λ=0.5)偏序關(guān)系矩陣不能轉(zhuǎn)換為hasse矩陣HR，則矩陣B不具有次序一致性。

定理4給定偏序集(X,?)，模糊互補(bǔ)矩陣B滿足完全次序一致性的充要條件是任意截集矩陣Bλ(0.5≤λ≤1)滿足傳遞性。

證明?對(duì)于B的任意截集矩陣，當(dāng)x1>xj，bij>0.5，假設(shè)xj>xk，bjk>0.5時(shí)，因?yàn)槟：パa(bǔ)矩陣B滿足完全一致性，根據(jù)定義7，xi優(yōu)于xj時(shí)，bik>bjk，所以bik>bjk>0.5，因此根據(jù)定義1中(1)可知，xi>xk，滿足定義1中(3)的傳遞性。

?任意截集矩陣Bλ(0.5≤λ≤1)滿足傳遞性，根據(jù)定義1中(3)可知，當(dāng)xi>xj，如果xj>xk時(shí)，xi>xk，又根據(jù)定義3，xj>xk和xi>xk兩兩方案的優(yōu)劣程度用實(shí)數(shù)表示為bik和bjk，所以，確保這種傳遞關(guān)系在截集矩陣Bλ(0.5≤λ≤1)中成立，當(dāng)xj>xk優(yōu)劣關(guān)系出現(xiàn)在Bλ(0.5≤λ≤1)截集矩陣時(shí)，即bjk≥λ,xi>xk優(yōu)劣關(guān)系在Bλ(0.5≤λ<λ1≤1)截集矩陣已經(jīng)出現(xiàn)便可，即bik≥λ1，又因?yàn)棣?>bjk≥λ，所以bik>bjk，證畢。

定理5給定偏序集(X,?)，設(shè)Bλ(λ>0.5)為截集矩陣，若Bλ滿足傳遞性,則Bλ+I為偏序關(guān)系矩陣。

證明?因?yàn)锽λ(λ>0.5)滿足傳遞性，Bλ∈Bλ+I，因此在Bλ+I中，這種傳遞關(guān)系依然存在，即根據(jù)定理2中(3)可知，若xi>xj,xj>xk,則xi>xk所以Bλ+I滿足傳遞性，又根據(jù)定義6可知Bλ中方案滿足xi>xj(i≠j)，則rij=1，I中方案滿足xi=xj(i=j)，rij=1所以Bλ+I中方案滿足xi≥xj，則rij=1，xi

?若Bλ+I為偏序關(guān)系矩陣，在Bλ+I中，根據(jù)定義1中(3)，若xi>xj,xj>xk則x1>xk又根據(jù)定義6可知，bij>λ，bjk>λ,bik>λ，截集矩陣Bλ按照定義6亦滿足bij>λ，bjk>λ，bik>λ，又因?yàn)棣?0.5，則根據(jù)定義3中(1)可知，方案xi優(yōu)于方案xj，方案xj優(yōu)于方案xk，則方案xi優(yōu)于方案xk，所以根據(jù)定義1中(3)Bλ滿足傳遞性，證畢。

因此，模糊互補(bǔ)矩陣次序一致性檢驗(yàn)和調(diào)整步驟：

第一步：首先求出模糊互補(bǔ)矩陣B的截集矩陣Bλ(λ=0.5)，如果其可以轉(zhuǎn)換為hasse矩陣，則Bλ具有次序一致性，如果不能轉(zhuǎn)換為hasse矩陣則轉(zhuǎn)為第二步；

第二步：把模糊互補(bǔ)矩陣B中大于等于0.5的元素按降冪排列，然后逐個(gè)檢查截集矩陣Bλ(0.5≤λ≤1)遞性，若某個(gè)截集矩陣Bλ(0.5≤λ≤1)不能轉(zhuǎn)換為hasse時(shí)，則進(jìn)入調(diào)整1，若所有截集矩陣Bλ(0.5≤λ<1)都能轉(zhuǎn)換為hasse時(shí)，完畢；

調(diào)整1畫出偏序關(guān)系矩陣,Bλ的關(guān)系圖，檢驗(yàn)Bλ的關(guān)系圖新增的箭頭線是否有回路rki，如果有，則把回路rki去掉，Bλ矩陣rki元素變成0，B中bki=1-bik，返回到第二步，如果不存在回路rki，則進(jìn)入調(diào)整2；

調(diào)整2在Bλ中把rik從0改成1，rki變?yōu)?，B矩陣中相應(yīng)的元素變成1>bik≥λ1>1的任何數(shù)，返回到第二步。

3 算例分析

算例1某公司準(zhǔn)備給某個(gè)項(xiàng)目投資一筆錢以獲得效益最大化，公司聘請(qǐng)一名專家對(duì)方案集X={x1,x2,x3,x4}進(jìn)行決策[18]，這四個(gè)項(xiàng)目分別是:x1企業(yè)行業(yè)，x2是房地產(chǎn)行業(yè)，x3是電子行業(yè)，x4是奶制品行業(yè)。專家給出的模糊互補(bǔ)矩陣為：

HR=(B0.5-I)(B0.5-I)2

能轉(zhuǎn)換為hasse矩陣，所以該模糊判斷矩陣具有次序一致性，和文獻(xiàn)[1]中的結(jié)論一樣。

算例2假設(shè)專家針對(duì)算例1給出的模糊判斷矩陣為：

HR=(B0.5-I)-(B0.5-I)2

第二步：把矩陣B中的≥0.5元素從大到小排列為0.9>0.8>0.7>0.6<0.5。根據(jù)定理5：

B0.9關(guān)系圖如圖1所示:

圖1 B0.9關(guān)系圖

B0.8關(guān)系圖如圖2所示:

圖2 B0.8關(guān)系圖

新增加的關(guān)系是方案2到方案3的關(guān)系r23，并不存在回路，進(jìn)入調(diào)整2，將B0.8中的r24調(diào)整為1，將B中的b24元素變?yōu)?.9

B0.7關(guān)系圖如圖3所示：

圖3 B0.7關(guān)系圖

Y=B0.6關(guān)系圖如圖4所示：

圖4 B0.6關(guān)系圖

Y=B0.6不能轉(zhuǎn)換成hasse矩陣，進(jìn)入調(diào)整1，圖3和圖4相比較，新增加r42回路，所以去掉r42回路，B中的b42修改為1-r42=0.05，B0.6中的r42調(diào)整為0，新增方案1到方案3的關(guān)系r13，根據(jù)調(diào)整2，把r34修改為0.6，保證r14>r34，把r23修改為0.92，保證r23>r21，返回到第二步，根據(jù)定理4：

HR=(B0.5-I)-(B0.5-I)2

4 結(jié)論

在實(shí)際決策中，決策者給出的模糊判斷矩陣很難滿足完全一致性，卻能給出具有次序一致性的矩陣，由次序一致性矩陣給出排序向量具有很好的可信度[5]，本文在討論模糊矩陣次序一致性分析必要性和現(xiàn)有判斷矩陣次序一致性研究成果存在缺陷的基礎(chǔ)上，首先，給出了模糊互補(bǔ)矩陣B0.5能轉(zhuǎn)換為hasse矩陣，則其滿足次序一致性的檢驗(yàn)定理，其次，給出了模糊互補(bǔ)矩陣滿足完全次序一致性和任意截集滿足傳遞性(截集矩陣Bλ+I能轉(zhuǎn)換為hasse矩陣)的等價(jià)性的檢驗(yàn)定理，即通過調(diào)整模糊互補(bǔ)矩陣的所有λ≥0.5截集矩陣滿足傳遞性，使其滿足完全次序一致性，之后，給出了檢驗(yàn)和調(diào)整模糊判斷矩陣次序一致性的步驟，最后通過兩個(gè)算例進(jìn)行了驗(yàn)證。通過算例，我們發(fā)現(xiàn)該檢驗(yàn)和調(diào)整方法簡(jiǎn)單、不丟失信息、直觀、易操作、魯棒性好。與文獻(xiàn)[15]的方法相比，首先，本文方法在增加了加上條件“若xi優(yōu)于xj，則對(duì)?k都有bik≥bjk”時(shí)，兩種方法等價(jià)；其次，本文也解決了一致性的悖論，不僅利用偏序關(guān)系矩陣來判斷互補(bǔ)的次序一致性，檢驗(yàn)直觀，而且還利用偏序關(guān)系矩陣把互補(bǔ)判斷矩陣調(diào)整到完全次序一致性。徐澤水給出了模糊互補(bǔ)矩陣和互反判斷矩陣的轉(zhuǎn)換公式[24]，因此，本文的方法還可以推廣到互反判斷矩陣。