基于稀疏和正交約束非負(fù)矩陣分解的高光譜解混

陳善學(xué) 儲(chǔ)成泉

摘 要：針對(duì)基于非負(fù)矩陣分解（NMF）的高光譜解混存在的容易陷入局部極小值和受初始值影響較大的問(wèn)題，提出一種稀疏和正交約束相結(jié)合的NMF的線性解混算法SONMF。首先，從傳統(tǒng)的基于NMF的高光譜線性解混方法出發(fā)，分析高光譜數(shù)據(jù)本身的理化特性;然后，結(jié)合豐度的稀疏性和端元的獨(dú)立性兩個(gè)方面，將稀疏非負(fù)矩陣分解（SNMF）和正交非負(fù)矩陣分解（ONMF）兩種方法結(jié)合應(yīng)用到高光譜解混當(dāng)中。模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)表明，相比頂點(diǎn)成分分析法（VCA）、SNMF和ONMF這三種參考解混算法，所提算法提高了線性解混的性能;其中，評(píng)價(jià)指標(biāo)光譜角距離（SAD）降低了0.012～0.145。SONMF能夠結(jié)合兩種約束條件的優(yōu)勢(shì)，彌補(bǔ)傳統(tǒng)基于NMF線性解混方法對(duì)高光譜數(shù)據(jù)表達(dá)的不足，取得較好的效果。

關(guān)鍵詞：非負(fù)矩陣分解; 高光譜解混; 稀疏; 正交;獨(dú)立性

中圖分類號(hào)：?TN79

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Hyperspectral unmixing based on sparse and orthogonal constrained non-negative matrix factorization

CHEN Shanxue， CHU Chengquan*

School of Communication and Information Engineering， Chongqing University of Posts and Telecommunications， Chongqing 400065， China

Abstract：?Aiming at the problem that hyperspectral unmixing based on Non-negative Matrix Factorization （NMF） is easy to fall into local minimum and greatly affected by initial value， a linear unmixing algorithm based on Sparse and Orthogonal constrained Non-negative Matrix Factorization （SONMF） was proposed. Firstly， based on the traditional NMF hyperspectral linear unmixing method， the physical and chemical properties of the hyperspectral data was analyzed. Then the sparsity of the abundance and the independence of the endmember were combined together， two methods of Sparse Non-negative Matrix Factorization （SNMF） and Orthogonal Non-negative Matrix Factorization （ONMF） were combined and applied into hyperspectral unmixing. The experiments on simulation data and real data show that， compared with the three reference unmixing algorithms of Vertex Component Analysis （VCA）， SNMF and ONMF， the proposed algorithm has improved the performance of linear unmixing， in which the Spectral Angle Distance （SAD） is reduced by 0.012 to 0.145. SONMF can combine the advantages of the two constraints to make up for the lack the expression of hyperspectral data by traditional NMF based linear unmixing methods， and achieve good results.

Key words：?Non-negative Matrix Factorization （NMF）; hyperspectral unmixing; sparsity; orthogonality; independence

0 引言

近年來(lái)，傳感器技術(shù)的快速發(fā)展大大加快了高光譜遙感圖像處理技術(shù)在遙感領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用，高光譜遙感技術(shù)的快速發(fā)展使得遙感領(lǐng)域的許多方向發(fā)生了翻天覆地的變化。特別是在對(duì)生活環(huán)境特別重視的現(xiàn)在，高光譜技術(shù)在探測(cè)地表環(huán)境、地質(zhì)災(zāi)害等領(lǐng)域發(fā)揮著越來(lái)越關(guān)鍵的作用[1]。但是，由于遙感傳感器的空間分辨率較低，相鄰物質(zhì)可能混合在一起形成混合像元。高光譜解混[2]就是將混合像元分解為各種地物的端元光譜以及對(duì)應(yīng)的豐度系數(shù)。由于在混合像元分解時(shí)有關(guān)端元和豐度的任何信息都是未知的，而且受到復(fù)雜的自然條件和地物環(huán)境等因素的影響，混合像元分解問(wèn)題變得更加困難，所以在解決混合像元分解問(wèn)題之前，首先要確定光譜混合模型。

線性光譜混合模型（Linear Spectral Mixed Model， LSMM）[3]假定端元之間互相獨(dú)立，是一個(gè)描述混合像元現(xiàn)象的有效模型。非負(fù)矩陣分解（Non-negative Matrix Factorization， NMF）[4]在基于LSMM的高光譜解混中得到廣泛的關(guān)注，它采用乘子算法將數(shù)據(jù)分解為兩個(gè)非負(fù)矩陣，不需要每個(gè)端元都存在純像素，非負(fù)的約束自然保證了LSMM中豐度的非負(fù)約束（Abundance Non-negativity Constraint， ANC）;然而，由于函數(shù)本身的非凸性，NMF具有大量的局部極小值，這將影響最終的解混結(jié)果。為了解決這個(gè)問(wèn)題，需要在NMF模型中引入額外的結(jié)構(gòu)性約束。例如，利用高光譜的空間特性[5-6]，將空間信息的約束引入到基于NMF的方法中，或者充分利用高光譜固有的稀疏性特性[7-8]，將稀疏性約束引入到基于NMF的解混方法中。近年來(lái)，一種新的稀疏約束NMF （L1/2-NMF）解混方法[9]在高光譜解混中得到了廣泛的應(yīng)用。L1/2-NMF已經(jīng)被證明是相對(duì)較優(yōu)的方法。然而，與其他稀疏約束NMF一樣，L1/2-NMF的解混性能仍然受到初始設(shè)置和噪聲干擾的影響[10]。

考慮到稀疏約束NMF的高光譜解混方法存在的問(wèn)題，本文采用經(jīng)典的頂點(diǎn)成分分析法（Vertex Component Analysis，VCA）[11]得到端元，通過(guò)全約束最小二乘法（Fully Constrained Least Square， FCLS）[12]得到豐度，將該算法得到的端元和豐度矩陣作為算法輸入的初始值，同時(shí)在NMF中加入了正交性約束即正交非負(fù)矩陣分解（Orthogonal Non-negative Matrix Factorization， ONMF）[13-14]。通過(guò)進(jìn)行模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)分析，稀疏和正交約束非負(fù)矩陣分解（Sparse and Orthogonal constrained Non-negative Matrix Factorization， SONMF）在對(duì)高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行解混時(shí)能夠充分利用數(shù)據(jù)本身的特殊性，在保證端元相互獨(dú)立同時(shí)減小噪聲對(duì)解混結(jié)果的影響。本文的技術(shù)路線如圖1所示。

1 線性光譜混合模型

在線性光譜混合模型（LSMM）中，每一個(gè)端元的光譜特性是其端元光譜特性和豐度比例的線性組合，用矩陣表示為：

R = EA + N? （1）

s.t.? A ≥0， 1 Tp A = 1 Tn

式中： R =[ r i，…， r n]∈ R d×n表示高光譜圖像的n個(gè)像元以及d個(gè)波段; E =[ e 1， e 2，…， e p]∈ R d×p表示混合矩陣包含p個(gè)端元; A =[ a 1， a 2，…， a n]∈ R p×n表示端元的豐度矩陣; N 表示誤差矩陣。豐度的物理意義明確了豐度矩陣中的每個(gè)元素非負(fù)，且每一列的和為1。這兩個(gè)約束條件可以用以下的公式表示：

a i≥0; i=1，2，…，n

（2）

∑ n i=1? a i=1

（3）

2 非負(fù)矩陣分解與線性解混的結(jié)合

非負(fù)矩陣分解的數(shù)學(xué)模型是將高維的原矩陣分解為兩個(gè)低維非負(fù)矩陣，分解的過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)不斷迭代優(yōu)化的過(guò)程，建立一個(gè)合理的目標(biāo)函數(shù)，再交替迭代求得分解后的非負(fù)矩陣，形如：

V ≈ WH

（4）

矩陣 V ∈ R m×n分解成兩個(gè)矩陣 W 和 H ，這里的 W ∈ R m×t， H ∈ R t×n，并且滿足t

非負(fù)矩陣分解的表達(dá)形式十分契合LSMM，所以可以將非負(fù)矩陣分解的方法應(yīng)用于高光譜解混的條件，由于非負(fù)矩陣分解是個(gè)NP-hard問(wèn)題，解決這類優(yōu)化問(wèn)題需要引入目標(biāo)函數(shù)，文獻(xiàn)[4]中提出了一種基于歐氏距離的目標(biāo)函數(shù)

J（ W ， H ）= 1 2 ‖ Y - WH ‖2F

（5）

其中，‖·‖2F表示Frobenius范數(shù)，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是非凸的，所以尋找全局的最優(yōu)解很困難的。因此，使用迭代方法如乘法更新規(guī)則被認(rèn)為是解決這類基于NMF的問(wèn)題的有效工具之一。式（5）的乘法更新法則可以表示為：

W ← W .*? VH T? WHH T? H ← H .*? W T V?? W T WH

（6）

2.1 基于稀疏約束的非負(fù)矩陣分解

在高光譜解混中，其中經(jīng)常被用到的約束條件是基于豐度稀疏性的約束，稀疏性約束指的是每個(gè)混合像元中包含的端元數(shù)量遠(yuǎn)小于總的端元數(shù)量，在傳統(tǒng)的稀疏約束的NMF（Sparse Non-negative Matrix Factorization， SNMF）解混方法中，L1 / 2正則化[9]作為稀疏約束項(xiàng)被引入NMF以追求更稀疏的豐度表示，由于L1/2-NMF能夠有效利用數(shù)據(jù)本身的稀疏性，與其他稀疏NMF方法相比，它顯示出較大的優(yōu)勢(shì)，基于L1/2-NMF的目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

J（ W ， H ）= 1 2 ‖ Y - WH ‖2F+α‖ H ‖1/2

（7）

式中：‖ H ‖1/2=∑ L，N l，n=1 （ h l×n）1/2 表示正則化，α∈ R +表示正則化參數(shù)。

L1/2-NMF算法解混的效果受到端元以及豐度初始設(shè)置值的影響較大，另外，噪聲對(duì)解混結(jié)果也有很大的影響，所以為了取得更好解混效果，需要將更優(yōu)的約束條件引入到NMF目標(biāo)函數(shù)中去。

2.2 基于稀疏和正交約束的非負(fù)矩陣分解

由于高光譜解混提取的端元是相互獨(dú)立的，鑒于這樣的特殊性，本文將正交約束[13]應(yīng)用到非負(fù)矩陣分解中，該目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

J（ W ， H ）= 1 2 ‖ Y - WH ‖2F （8）

s.t.? W ≥0， H ≥0， WW T= I

正交約束被證明等價(jià)于K-mean聚類等價(jià)，式（8）中對(duì)端元矩陣 W 加入正交約束，對(duì)提取出來(lái)的端元而言，保證了獨(dú)立性。考慮到高光譜數(shù)據(jù)集高維度的特點(diǎn)，通?；谡环秦?fù)矩陣分解算法復(fù)雜度為O（m2n），每當(dāng)m增加時(shí)，相應(yīng)的算法也會(huì)變得更加復(fù)雜，直接引入正交約束之后需要一定的先驗(yàn)知識(shí)并且需要很大計(jì)算量，迭代求解的復(fù)雜度也隨之增加，所以將正交非負(fù)矩陣分解應(yīng)用到高光譜解混中時(shí)需要降低算法復(fù)雜度。將正交約束直接表示在目標(biāo)函數(shù)中，將正交約束作為目標(biāo)函數(shù)的一部分，不需要借助額外的約束條件，這種方法可以一定程度上減少計(jì)算量，改進(jìn)后的基于正交約束的NMF的目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

J（ W ， H ）= 1 2 ‖ Y - WH ‖2F+β‖ W T W - I ‖22 （9）

s.t.? W ≥0， H ≥0

式中：β表示正交回歸參數(shù)，‖ W T W - I ‖22表示2范數(shù)約束。

通過(guò)對(duì)式（5）引入端元正交性約束，可將豐度稀疏性和端元正交性約束非負(fù)矩陣分解（SONMF）的目標(biāo)函數(shù)表示為：

J（ W ， H ）=? 1 2 ‖ Y - WH ‖2F+α‖ H ‖1/2+

β‖ W T W - I ‖22

（10）

s.t.? W ≥0， H ≥0， 1 Tp H = 1 Tn

對(duì)于式（10）的求解，這里使用乘法更新法則對(duì)矩陣 W 和 H 進(jìn)行更新。首先對(duì)目標(biāo)函數(shù)分別求關(guān)于 W 和 H 的偏導(dǎo)數(shù)，因?yàn)榫仃?W 和 H 是非負(fù)的，記

ξ W =? W?? WHH T+β WW T W

ξ H =? H?? W T WH + α 2? H - 1 2

（11）

將ξ W ，ξ H 代入：

W = W -ξ W?J?W

H = H -ξ H?J?H

（12）

使用最小二乘迭代規(guī)則，得到 W 和 H 的更新規(guī)則：

W ← W .*? VH T+2β W?? WHH T+2β WW T W

H ← H .*? W T V?? W T WH + α 2? H - 1 2

（13）

2.3 預(yù)處理環(huán)節(jié)

將SONMF算法應(yīng)用于高光譜解混時(shí)，需要考慮一些預(yù)處理的環(huán)節(jié)。首先是端元數(shù)目的確定，本文采用最小誤差信號(hào)子空間識(shí)別（Hyperspectral Signal Identification by Minimum Error，HySime）[15]方法確定端元的數(shù)目;接著是端元和豐度初始化的問(wèn)題，考慮到基于范數(shù)約束NMF受初始值影響較大，

用頂點(diǎn)成分分析法得到端元矩陣，通過(guò)全約束最小二乘法得到豐度矩陣，將得到的端元和豐度矩陣作為算法輸入的初始值，這樣不僅可以降低初始值對(duì)解混的影響，還可以加快算法的執(zhí)行速度，減少算法的執(zhí)行時(shí)間。關(guān)于參數(shù)設(shè)置的問(wèn)題，稀疏正則化參數(shù)α主要根據(jù)矩陣豐度稀疏度來(lái)設(shè)置，具體的表達(dá)式如下：

λ= 1? L? ∑ l?? N -‖ x l‖1/‖ x l‖2? N -1

（14）

其中 x l表示高光譜數(shù)據(jù)第l維的光譜。正交化參數(shù)的設(shè)置根據(jù)文獻(xiàn)[14]設(shè)為0.05。

最后是停止條件設(shè)置的問(wèn)題，本文停止算法的條件是迭代次數(shù)達(dá)到500時(shí)停止。

SONMF算法概括如下：

1）輸入圖像矩陣 Y ，用HySime算法估計(jì)端元的個(gè)數(shù)，采用VCA初始化端元矩陣 W ，利用FCLS初始化豐度矩陣 H ，設(shè)定參數(shù)α，β。

2）將初始化的矩陣 W 和 H 代入乘法更新式（13）進(jìn)行更新。

3）如果目標(biāo)函數(shù)式達(dá)到最大的迭代次數(shù)Tmax，算法停止運(yùn)行，否則返回2）。

2.4 收斂性的證明

正交約束目標(biāo)函數(shù)式（9）收斂性的證明參照了文獻(xiàn)[4]的思路，證明目標(biāo)函數(shù)不遞增，考慮矩陣 W 中的某個(gè)元素wij，對(duì)式（9）求 J 對(duì)wij的一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)可得：

J′ij（w）= WHH T+2β WW T W - YH T-2β W

（15）

J″ij（w）=（ HH T）ij+2β（（ W T W ）jj+w2ii-1）

（16）

構(gòu)造關(guān)于 J 的輔助函數(shù)，記

F（w，wtij）=Jij（wtij）+J′ij（wtij）（w-wtij）+

（ WHH T）ij+2β（ WW T W ）ij wtij ?（w-wtij）2

（17）

證明收斂性只要證明F（w，wtij）≥Jij（w）即可。

F（w，wtij）=Jij（wtij）+J′ij（wtij）（w-wtij）+

（ WHH T）ij+2β（ WW T W ）ij wtij ?（w-wtij）2

（18）

根據(jù)條件（ W T W ）jj=1， Jij（w） 可以表示為：

Jij（w）= Jij（wtij）+J′ij（w-wtij）+

[（ HH T）ij+2βw2ii]（w-wtij）2

（19）

同時(shí)可以得到：

（ WHH T）ij=∑ k p=1 wtip（ HH T）pj≥wtij（ HH T）jj

（20）

（ WW TW）ij=∑ k p=1 wip（ W T W ）pj≥wii（ W T W ）≥???? wii （ ∑ k p=1 wpiwpj ） ≥wiiwiiwij=w2iiwij

（21）

通過(guò)比較式（17）和（19）得到F（w，wtij）≥Jij（w），所以原目標(biāo)函數(shù)式是收斂的。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 精度評(píng)價(jià)指標(biāo)

衡量高光譜解混的精度通常通過(guò)兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)：光譜角距離（Spectral Angle Distance，SAD）和均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）。

SAD的計(jì)算公式如下：

RSAD（ a ， b ）=arccos ??a T b? ‖ a ‖2·‖ b ‖2

（22）

其中： a 表示提取的端元光譜矢量， b 表示參考光譜矢量即光譜庫(kù)中的已知光譜矢量。

RMSE的計(jì)算公式如下：

RRMSE= 1 n ∑ n i=1?? 1 L ‖ r i-?? i‖22

（23）

其中：{ ??i}ni=1表示重構(gòu)的圖像。RMSE的值越小表示原始圖像與重構(gòu)圖像間的誤差越小，解混的精度越高。

3.2 合成數(shù)據(jù)分析

本實(shí)驗(yàn)在處理器i5，CPU頻率3.5GHz，內(nèi)存8GB的計(jì)算機(jī)上使用Matlab2014a操作平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，合成數(shù)據(jù)是從美國(guó)地質(zhì)勘探局USGS光譜中選取五個(gè)端元Alunite、Buddingtonit、Calcite、Kaolinite和Muscovite，它們的光譜包含224個(gè)波段，波長(zhǎng)范圍為0.38～2.5μm，光譜圖見(jiàn)圖2。

將這五個(gè)端元以Dirichlet分布的形式進(jìn)行混合，同時(shí)對(duì)端元豐度的和進(jìn)行歸一化操作，為了模擬數(shù)據(jù)采集過(guò)程，按照指定的信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）在模擬圖像中加入不同的噪聲等級(jí)，其中SNR可表示為：

SNR=10 lg E[ x T x ] E[ n T n ]

（24）

式中： x 和 n 表示原始信號(hào)和相應(yīng)的噪聲，E[·]表示期望值。

實(shí)驗(yàn)比較了VCA[11]、ONMF[13]、SNMF[9]以及本文采用的SONMF算法的性能。

實(shí)驗(yàn)1

不同噪聲條件下算法魯棒性分析。本實(shí)驗(yàn)研究高斯噪聲對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，所以保持圖像大小為100×100，端元數(shù)目為5，SNR從15 dB到35dB，間隔為5dB。

實(shí)驗(yàn)2

不同像元數(shù)目條件下對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。本實(shí)驗(yàn)研究像元數(shù)目對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，所以保持端元數(shù)目為5，SNR為20dB的條件不變，圖像大小分別為40×40，60×60，80×80，100×100。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3、4所示，可以看出，SONMF解混效果整體要優(yōu)于SNMF和ONMF的解混效果。

本文采用的數(shù)據(jù)集是1997年機(jī)載可見(jiàn)光及紅外光譜成像儀采集到的Urban地區(qū)高光譜圖像（307×307像素），總共有210個(gè)波段。除去低信噪比和水汽吸收的波段（1-4，76，87，101-111，136-153，198-210），只有162個(gè)有效波段，該地區(qū)包含了屋頂、樹(shù)木、草地、道路等多種地物的混合，圖5顯示了四種地物光譜的真實(shí)豐度圖。

首先通過(guò)HySime估計(jì)端元數(shù)目為4，再使用VCA算法提取的端元及FCLS估計(jì)的豐度作為初始值，分別使用SNMF、ONMF和SONMF算法對(duì)該地區(qū)的高光譜圖像進(jìn)行處理，表1給出了不同算法最終的SAD的標(biāo)準(zhǔn)值和均值，加粗的字體是提取較好的結(jié)果，本文提出的SONMF算法的解混結(jié)果是比較理想的，均值SAD降低0.012～0.145。

圖6給出了這四種算法對(duì)Urban地區(qū)高光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行解混得到的端元對(duì)應(yīng)的豐度圖。

將圖6中提取的光譜豐度圖與圖5中地物光譜的真實(shí)端元豐度圖進(jìn)行對(duì)照可以看出，除了VCA算法分解出的端元豐度圖效果較差之外，其他三種算法分解出的端元豐度圖分布在道路和草地部分與真實(shí)端元豐度圖分布比較接近;然而在屋頂和樹(shù)木部分，SONMF算法分解出端元豐度圖明顯要優(yōu)于其他的算法。

4 結(jié)語(yǔ)

混合像元處理是高光譜遙感領(lǐng)域的一個(gè)熱門(mén)研究，本文采用線性光譜混合模型來(lái)解決光譜分解的問(wèn)題，重點(diǎn)討論了非負(fù)矩陣分解的方法，非負(fù)矩陣分解沒(méi)有獨(dú)立的解決方案，需要在目標(biāo)函數(shù)中結(jié)合其他的約束條件求解，本文將稀疏性與端元正交性約束結(jié)合作為非負(fù)矩陣分解的約束條件，同時(shí)在迭代初始值方面作了一些改進(jìn)。本文算法在保證提取端元的獨(dú)立性和稀疏端元本身豐度的同時(shí)，減小了噪聲和局部極小值對(duì)解混解混結(jié)果的影響，取得了良好的解混效果。但本文算法相對(duì)比較復(fù)雜，如何進(jìn)一步通過(guò)預(yù)處理的手段降低算法復(fù)雜度是下一步的研究工作。

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