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    兩個競賽試題的推廣

    2019-10-23 06:49:08魏國祥
    關(guān)鍵詞:特例實根正數(shù)

    魏國祥

    (四川職業(yè)技術(shù)學院 應(yīng)用數(shù)學與經(jīng)濟系,四川 遂寧 629000)

    試題1(第二屆陳省身杯全國高中數(shù)學奧林匹克試題)對任意不全為零的實數(shù)x,y,z,求證:

    試題2(2016 年福建省高中數(shù)學競賽試題)當x,y,z 為正數(shù)時的最大值為______.

    文[1]運用球面形式的三角代換求解了上面兩個題目,但過程較為繁雜.

    其實,試題1 的一般情形為:設(shè)p,q 是兩個正常數(shù),對任意不全為零的實數(shù)x,y,z,求的最大值.

    由均值不等式可知,對任意正數(shù)k,恒有

    僅當y = z 且kx2=( y + z)2時等號成立.即知

    試題2 的一般情形為:設(shè)p,q 是兩個正常數(shù),對任意不全為零的實數(shù)x,y,z,求的最大值.

    由均值不等式可知

    我們將上面兩種情形的問題一般化成下面問題.

    問題設(shè)p,q,r 是不全為零的三個非負數(shù),對任意不全為零的實數(shù)x,y,z,求的最大值.

    我們發(fā)現(xiàn)這個問題很難運用文[1]的球面形式的三角代換方法來求解,也很難用均值不等式來解決.但從這個問題的結(jié)構(gòu)這讓我們想起了被稱為母不等式的嵌入不等式.

    嵌入不等式對三角形ABC 與實數(shù)x,y,z,恒有

    (1)式等價于顯然成立的不等式( ycosC + zcosB - x)2+ ( ysinC - zsinB)2≥0,

    當且僅當x:y:z = sinA:sinB:sinC 時(1)式等號成立.

    由(1)式可知

    由于sinA = sin( B + C ) = sinBcosC + cosBsinC,

    即sinA - sinBcosC - sinCcosB = 0,依此理我們可得

    這是一個關(guān)于sinA,sinB,sinC 的三元一次齊次方程組,它有非零解的充要條件為

    這是一個關(guān)于k 的一元三次方程,它存在唯一的正根,理由為:設(shè)三個根為k1,k2,k3,若pqr = 0,則;若pqr ≠0,由根與系數(shù)的關(guān)系可知,k1+ k2+ k3=0,k1k2k3= 2pqr >0,若三個根全為實根,則必須一正兩負,若三個根為兩共軛虛根k1,k2與一個實根k3,則k1k2>0,故k3>0.那么這個正數(shù)k 是存在的.故時取最大值k.

    綜合以上情形,我們得出下面結(jié)論.

    定理1設(shè)p,q,r 是不全為零的三個非負數(shù),k 是一元三次方程k3- ( p2+ q2+ r2)k - 2pqr = 0 的正根,則對任意不全為零的實數(shù)x,y,z,恒有x2+ y2+ z2≥(2pyz + 2qxz + 2rxy),僅 當x:y:z =時等號成立.

    特例1當p >0,q = r = 0 時,可知k = p,僅當x:y:z = 0:1:1 時取最大值p.

    特例2當p,q >0,r = 0 時,可知k =,僅當x:y:z = q:p:時取最大值為

    特例3當p >0,q = r >0 時,方程k3- ( p2+ q2+ r2)k - 2pqr = 0 變?yōu)閗3-( p2+ 2q2)k -2pq2=0,即(k + p)(k2- pk - 2q2) = 0,其唯一正根為,故僅當x:y:z =:1:1 時取最大值

    特例4當p = 7,q = 19,r = 25 時,方程k3- ( p2+ q2+ r2)k - 2pqr = 0 為k3- 1035k - 6650=0,解得k = 35,即知當?shù)淖畲笾禐?5.

    對三角形ABC,我們在(4)式中令a = cotA,b = cotB,c = cotC,由于cotAcotB + cotBcotC +cotCcotA = 1,即可得一個三角不等式.

    定理2 若p,q,r 均大于零,k 是一元三次方程k3- ( p2+ q2+ r2)k - 2pqr = 0 的正根.則對任意三角形ABC,恒成立

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