基于Taylor二階展開的雙線性插值偏角足跡校正技術(shù)

包 清， 樊少勇， 黃曉春

(1.上海市公安局刑事偵查總隊， 上海 200083； 2.上海理工大學(xué), 上海 200093)

0 引言

傳統(tǒng)物證攝影中，為保證痕跡物證不變形，相機(jī)鏡頭一般垂直于痕跡物證，允許的偏角不超過5°。但實際工作中，偏角攝影有著不可忽視的實用價值，主要體現(xiàn)在兩種情況中：一是痕跡物證受到場景的制約，垂直拍攝存在困難甚至無法完成；二是非光滑承痕體上的漫反射痕跡，光線與痕跡和承痕體作用后均表現(xiàn)為漫反射，在垂直方向上可能無法獲得大反差圖像，根據(jù)非Lambert光照反射模型，在大偏角處可能存在痕跡與承痕體反射能量反差最大的角度。第二種情況是傳統(tǒng)的物證攝影理論中忽視的雙漫反射情況，傳統(tǒng)物證攝影理論的分析局限于光滑客體上的粗糙痕跡和粗糙客體上的光滑痕跡，對于痕跡和承痕體反射性質(zhì)相近且均為漫反射的情況下的拍攝狀況討論和解釋并不詳盡[1]。在偏角拍攝中痕跡的變形是影響檢驗的重要因素，為使物證圖像能夠被應(yīng)用于檢驗，對拍攝的變形圖像進(jìn)行修正變得至關(guān)重要[2-3]。本文找到了一種基于Taylor二階展開的雙線性插值圖像校正技術(shù)，與其他方法相比主要的優(yōu)勢：一是采用了Taylor二階展開算法，可修正透視畸變，校正效果好；二是采用的算法計算量小，僅需要計算2個參數(shù)；三是操作簡便實用性強(qiáng)，拍照時只需沿著足跡中心線放置單個長標(biāo)尺即可，適用于公安實戰(zhàn)。

1 偏角攝影校正技術(shù)的現(xiàn)狀

偏角攝影的校正可以分為兩大類，一是利用光路可逆原理對變形校正的物理校正方法；二是利用圖像處理技術(shù)對數(shù)字圖像進(jìn)行處理的計算機(jī)校正方法[4]。物理校正方法需要增加額外的設(shè)備，操作過程對人員手工操作水平要求高，校正效果受手工操作影響大[5-6]?；谏鲜鲈颍捎糜嬎銠C(jī)圖像處理技術(shù)的“軟校正”方法處理偏角攝影引起的圖像變形，是當(dāng)前常用的方法。

偏角攝影校正的關(guān)鍵主要有兩點，一是校正變形的模型算法；二是校正后的圖像插值處理[7]。

經(jīng)查閱相關(guān)的文獻(xiàn)，主要的偏角校正方法有：基于控制角點的解析式透視變換算法[8]，但該方法僅僅考慮了投影的影響而沒有考慮光學(xué)透鏡組的影響；利用棱鏡的多目視圖校正透視圖像的方法，該方法需要多目立體視圖才能達(dá)到較好的校正效果[9]；基于消失點的空間定位校正方法，該方法依據(jù)光學(xué)透鏡組對畸變的影響，利用了透視導(dǎo)致的平行線相交，通過逆變換把一組正交的消失線轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫芯€以達(dá)到校正的目的[10]，但該方法需求解6個參數(shù)并使用最小二乘法求極值，方法復(fù)雜計算量大，并且需要網(wǎng)格線進(jìn)行輔助；基于霍夫直線檢測的透視變換算法，該方法是校正有明顯文字行的文檔類圖像的常用方法，主要包括平移變換、仿射變換和剛體變換[11-12]，但該方法魯棒性差，其核心仿射變換是一個線性變換，圖像改善效果有限；基于投影法的校正方法，利用在兩個方向上不斷進(jìn)行小角度θ的旋轉(zhuǎn)，依據(jù)投影值的改變，通過找到極值，判斷兩個方向上的傾斜角并修正，該方法思路簡單，但計算量極大，尤其為了精度把θ的值控制得很小時[12]；利用通用軟件PHOTOSHOP的處理校正，需要放置包圍痕跡物證的比例尺，并且需要垂直和偏角各拍攝一次，利用降低透明度后，在PHOTOSHOP內(nèi)手工拉伸完成校正[8]，該方法拍攝操作和準(zhǔn)備工作相對復(fù)雜，處理過程完全依賴手工，主觀因素大，文中只有標(biāo)尺校正而沒有物證校正的圖片，描述與圖片不符，說服力不足；使用偏角足跡校正軟件的方法[13]，該方法需要控制的參數(shù)和條件多，且當(dāng)沿著足跡的寬度方向偏角達(dá)到60°時已明顯變形，無法應(yīng)用于檢驗。

經(jīng)查閱相關(guān)的文獻(xiàn)，主要的插值方法有鄰近插值法、雙線性插值法、三次插值法、等角插補(bǔ)法[12,14]。其中鄰近插值法采用復(fù)制鄰近點RGB值的方式進(jìn)行插值，方法簡單、速度快，但效果最差；雙線性插值法把插值點對應(yīng)到真實圖像的最近相鄰點，在3×3的小窗口內(nèi)利用加權(quán)系數(shù)定比分點的方法計算出插值點的RGB值，該方法效果較好，過渡緩和且曲線不變形；三次插值法保證了插值點鄰域的二階導(dǎo)的一致性，該方法效果可達(dá)肉眼無法分辨程度，但該方法需要一個4×4的窗口，并且需要計算二階導(dǎo)，計算量大；等角插補(bǔ)法算法最符合透視模型，插值效果好，但該方法需要計算出原圖兩個相鄰像素點之間的光照向量，過程繁瑣計算量大。

2 實驗原理和步驟

2.1 實驗原理

2.1.1 透視校正原理

直觀觀察可以發(fā)現(xiàn)，偏角攝影與垂直攝影最明顯的區(qū)別是偏角攝影結(jié)果近大遠(yuǎn)小，平行線變成了相交直線。這種透視畸變產(chǎn)生于成像過程中對于焦平面的偏離，下面結(jié)合示意圖1利用高斯近軸成像進(jìn)行分析。

圖1 光路成像示意圖

當(dāng)相機(jī)準(zhǔn)確對焦時，透過光心的光線、平行于透鏡的光線、通過焦點的光線匯聚于一點，同心光束匯聚性好，當(dāng)透鏡的焦距和成像的像距不變時，如示意圖所示向遠(yuǎn)離透鏡的方向移動物體，以透鏡光心為坐標(biāo)原點向右和向上為正方向建立坐標(biāo)系，記兩個焦點分別為(f,0),(-f,0)，物體的高度為h，移動前距透鏡L1，移動后距透鏡L2(L2>L1)，解析法可得通過光心的光線以及在像平面的直線l1，l2并求出交點。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

那么物體在像平面上的長度滿足下式：

(6)

物體的放大率隨著向透鏡方向偏移而變大，向無窮遠(yuǎn)方向偏移而變小，這也是透視呈現(xiàn)出近大遠(yuǎn)小的原因。

若直接依據(jù)公式(6)通過逆變換校正變形圖像，需要測得參數(shù)像距f像和待修正處的物距L2，操作可行性差，故對該式在L2處進(jìn)行二階Taylor展開

(7)

依據(jù)上式把偏移量x的一階系數(shù)和二階系數(shù)分別記為C、D，將公式(7)簡化為公式(8)

(8)

依據(jù)公式(8)在焦平面附近的透視變形，可通過偏移量x的一階和二階增量的和近似代替，通過確定焦平面與被攝物體平面的交線，在水平和豎直方向上分別對圖像進(jìn)行非線性拉伸和壓縮可達(dá)到消除偏離焦平面產(chǎn)生的畸變。

2.1.2 圖像插值原理

雙線性插值是一種運算比較簡單效果比較良好的插值方法，在本文中插值過程如圖2所示，為橫向插值。

圖2 橫向插值示意圖

記處理后圖像中線的橫坐標(biāo)為X中，原始圖像中線的橫坐標(biāo)為x中，所需要變換點的坐標(biāo)為(i,j)，原始圖像變換對應(yīng)點的橫坐標(biāo)為i原，變換的函數(shù)為f(y)，是一個取決于點到交線距離y的函數(shù)，本文中是泰勒二階展開的結(jié)果。圖像上變換點到原始圖像對應(yīng)點的橫坐標(biāo)變換如公式(9)所示。

(9)

利用該虛擬點計算插值的方法如公式(10)、(11)、(12)所示，記floor(x)為向下取整函數(shù)，ceil(x)為向上取整函數(shù)，Pij為處理后該點的RGB值，pij為原始圖像上一點的RGB值。

xs1=i原-floor(i原)

(10)

xs2=ceil(i原)-i原

(11)

Pij=xs1×pceil(i原)j+xs2×pfloor(i原)j

(12)

2.2 實驗步驟

2.2.1 實驗樣本的制作與拍攝

對A4紙上的灰塵足跡，在足跡內(nèi)側(cè)平行足跡中心線方向加貼長度為30 cm寬度為2 cm的比例尺，采取垂直拍攝制作原樣大小的樣本，選取5個特征點分別標(biāo)注為a、b、c、d、e，測得足跡全長和足跡寬度分別為，如圖3所示。

使用佳能相機(jī)對該A4紙上的灰塵足跡進(jìn)行偏角拍攝，采用自動對焦方式對畫面中點進(jìn)行對焦，拍攝角度分別為30°、45°、60°，如圖4、圖5、圖6所示。

圖3 垂直拍攝

圖4 30°偏角拍攝

圖5 45°偏角拍攝

圖6 60°偏角拍攝

2.2.2 校正步驟

校正步驟可以分為3個主要步驟，分別是橫向縮放、縱向縮放和比例因子調(diào)整。校正的前置環(huán)節(jié)是確定圖像中焦平面與被攝物體平面的交線，在自動對焦拍攝條件下，原始圖像豎直方向中點的水平線即為該交線，通過該交線確定標(biāo)尺刻度，便可在之后的裁切圖片中確定該交線。

橫向縮放依據(jù)第2部分所述的二階泰勒展開進(jìn)行處理，在圖像垂直于交線的方向測量到交線的偏移距離以及在該水平位置處標(biāo)尺的增量計算公式(8)中的未知參數(shù)C、D，由于標(biāo)尺的標(biāo)準(zhǔn)寬度為2 cm，得到距離交線距離為x的水平線的縮放比例系數(shù)k如公式(13)所示。

(13)

依據(jù)雙線性插值的方法對調(diào)整后的水平線進(jìn)行插值，橫向縮放后的結(jié)果如下圖7、圖8、圖9所示。

圖7 30°偏角橫向縮放

圖8 45°偏角橫向縮放

縱向縮放環(huán)節(jié)與橫向縮放環(huán)節(jié)類似，重復(fù)部分不再贅述，縱向縮放與橫向縮放的處理步驟區(qū)別主要在于縮放系數(shù)是一個與到交線距離有關(guān)的函數(shù)，在進(jìn)行縱向縮放時理論上任意一點的縮放系數(shù)均不相同，在計算縱向縮放時將圖像沿著縱向進(jìn)行分割，保持在分割的一段小區(qū)間內(nèi)縮放比例系數(shù)一致。不同偏角情況下經(jīng)計算得到縱向縮放后的結(jié)果，如圖10、圖11、圖12所示。

圖9 60°偏角橫向縮放

圖10 30°偏角縱向縮放

圖11 45°偏角縱向縮放

圖12 60°偏角縱向縮放

在完成橫向縮放和縱向縮放后，圖像上不同區(qū)域沿著縱向和橫向的單位長度是一致的，消除了偏離焦平面產(chǎn)生的近大遠(yuǎn)小現(xiàn)象。此時還存在投影偏差需要校正，通過比例因子將兩個正交方向的單位長度調(diào)整一致即可完成對圖像的校正，校正結(jié)果如下圖13、圖14、圖15所示。

圖13 30°偏角比例因子調(diào)整

圖14 45°偏角比例因子調(diào)整

2.2.3 比對校正

使用通用圖像處理軟件PHOTOSHOP中的透視、切邊、拉伸功能對分別對30°、45°、60°偏角拍攝圖片進(jìn)行校正如圖16～18所示。

圖15 60°偏角比例因子調(diào)整

圖16 30°偏角ps校正

圖17 45°偏角ps校正

圖18 60°偏角ps校正

3 實驗結(jié)果和討論

3.1 實驗結(jié)果

經(jīng)過泰勒二階展開校正后的足跡圖像與垂直拍攝的圖像進(jìn)行重合，足跡大小吻合，花紋類型反映一致，種屬條件一致。將足跡照片制作成原大，測量鞋長、鞋寬，選取a、b、c、d、e5個特征點進(jìn)行測距(標(biāo)注于圖13、圖14、圖15)，所得結(jié)果如表1所示。采用相同的方法對ps比對結(jié)果進(jìn)行測距(標(biāo)注于圖16、圖17、圖18)，所得結(jié)果如表2所示。

表1 泰勒展開法特征點測距表

表2 ps法特征點測距表

3.2 實驗討論

經(jīng)過對垂直拍攝結(jié)果和偏角拍攝校正結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩者所反映的種類特征一致，細(xì)節(jié)特征吻合度高，在偏角小于45°時偏差一般不超過3%，具備同一認(rèn)定的條件。與使用通用軟件ps校正結(jié)果比較，本文所提的方法在校正效果上有明顯的優(yōu)勢，當(dāng)偏角達(dá)到45°時，ps校正圖像的偏差率可能達(dá)到10%，無法應(yīng)用于法庭科學(xué)的檢驗。結(jié)合實驗對偏角攝影圖像校正還有兩個細(xì)節(jié)需要展開討論。

一是偏角的極限。在偏角攝影的過程中由于偏角導(dǎo)致原有圖像在豎直方向上被顯著壓縮，該信息丟失是一種不可逆過程，使用泰勒二階展開和插值方法只是根據(jù)殘留信息對原始信息的一種估計和推測。理論上圖像邊緣對比度和清晰程度必然下降，當(dāng)偏角達(dá)到60°時，部分特征點的邊緣出現(xiàn)了比較明顯的模糊現(xiàn)象，從實驗結(jié)果看60°可以認(rèn)為是偏角拍攝的極限。需要指出偏角拍攝極限還受制于花紋曲線，某些復(fù)雜的花紋可能在更小的偏角時已無法復(fù)原，因在觀察時逐步增大偏角，在確保特征都能得到反映的情況下找到最佳的偏角拍攝角度。

二是精度和復(fù)雜性的關(guān)系。本次實驗采用的是基于透視關(guān)系的Taylor二階展開的方法，算法中采用了多次近似，如使用Taylor二階展開近似地表示偏離焦平面導(dǎo)致的長度上的變化，近似地利用圖像上一點到交線的距離表征偏離焦平面的程度。本文采用了最簡單的形式校正了偏角拍攝造成的非線性畸變。近似算法已經(jīng)能夠在一定的偏角范圍內(nèi)校正圖像并達(dá)到同一認(rèn)定的要求，滿足了公安工作的需要，改進(jìn)和優(yōu)化模型提高的精度，但會顯著的增加計算量和算法復(fù)雜度。

4 結(jié)論

基于Taylor二階展開的雙線性插值偏角足跡校正技術(shù)可以在60°偏角拍攝的范圍內(nèi)校正變形圖像，所得到的圖像與垂直拍攝的圖像相比種類特征反映一致，個體細(xì)節(jié)特征反映良好偏差程度小，可用于足跡的同一認(rèn)定。該技術(shù)效果好，操作簡便，計算量小，使得拍攝角度可以不再不局限于垂直于痕跡面，有力地豐富了傳統(tǒng)的物證攝影技術(shù)。