立足核心知識(shí) 增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)

文康葉紅

第一章 一元二次方程

領(lǐng) 銜 人：諸士金

組稿團(tuán)隊(duì)：南京市秦淮區(qū)初中數(shù)學(xué)骨干教師孵化第六組

一元二次方程作為整式方程家族里重要的一員，是繼一元一次方程、二（三）元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程后，又一個(gè)常見的方程模型。二（三）元一次方程組可以看作是對(duì)一元一次方程在“元”上的推廣，那么一元二次方程可以看作是對(duì)一元一次方程在“次”上的推廣。

在現(xiàn)實(shí)生活中，許多問題中的數(shù)量關(guān)系都可以抽象為一元二次方程，方程模型豐富多彩。一元二次方程是以前學(xué)習(xí)的方程知識(shí)的延續(xù)和深化，它在現(xiàn)實(shí)生活以及數(shù)學(xué)中同樣有著廣泛的應(yīng)用。我們知道方程模型的研究路徑一般是“概念——解法——應(yīng)用”，一元二次方程也不例外，下面對(duì)本章的知識(shí)進(jìn)行梳理，具體如下：

由這個(gè)知識(shí)框架我們可以知道，從實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系、列出一元二次方程、求出方程的解，解決實(shí)際問題是學(xué)習(xí)一元二次方程這一章的主線。因此，我們需要明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，具體如下：

1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

2.會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等；

3.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；

4.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理；

5.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。

了解學(xué)習(xí)目標(biāo)后，我們結(jié)合中考真題，一起來看一下一元二次方程這一章中的核心知識(shí)。

核心知識(shí)1：解系數(shù)是數(shù)字的一元二次方程

例1（2018·徐州）解方程：2x2-x-1=0。

【解析】想要求方程的解，需要觀察這個(gè)方程的結(jié)構(gòu)。經(jīng)判斷這是一個(gè)一元二次方程，二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是-1，常數(shù)項(xiàng)是-1，我們可以選擇配

例2 （2019·揚(yáng)州）一元二次方程x（x-2）=x-2的根是 。

【解析】觀察這個(gè)方程的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)等號(hào)兩邊都有x-2，可以移項(xiàng)為：x（x-2）-（x-2）=0，選擇因式分解法（提取公因式）來求解，或者將這個(gè)方程化成一般式x2-3x+2=0，選擇公式法或配方法來解這個(gè)一元二次方程。

【答案】x1=2，x2=1。

【總結(jié)】這兩題考查了一元二次方程的解法。一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是一元二次方程這一章的重點(diǎn)內(nèi)容之一。解一元二次方程的基本策略是降次，即通過配方、因式分解等，將一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解。具體地，根據(jù)平方根的意義，可得出x2=p和（x+n）2=p的解法。通過配方，我們可以將一元二次方程轉(zhuǎn)化為（x+n）2=p的形式再求解；一元二次方程的求根公式x=方法或者公式法來解這個(gè)一元二次方程。，就是對(duì)方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方后得出的。

核心知識(shí)2：判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等

例3 （2016·宿遷）若一元二次方程x2-2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 。

【解析】由題目中信息“方程x2-2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”可聯(lián)想到，當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。因此 b2-4ac=（-2）2-4×1×k=4-4k＞0，即k＜1。

【答案】k＜1。

【總結(jié)】本題考查的是一元二次方程的根的情況，利用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等。我們只要掌握如下知識(shí)，這一類問題便可迎刃而解。

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況如下：

當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根。

核心知識(shí)3：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

例4 （2019·鹽城）設(shè)x1、x2是方程x2-3x+2=0的兩個(gè)根，則x1+x2-x1x2=___。

【解析】已知一元二次方程x2-3x+2=0的二次項(xiàng)系數(shù)a=1，一次項(xiàng)系數(shù)b=-3，常數(shù)項(xiàng)c=2，由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2-x1x2=3-2=1。

【答案】1。

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，此為選學(xué)內(nèi)容。一元二次方程的根與系數(shù)有如下關(guān)系：

方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根是x1、x2，則它們之間有如下關(guān)系：

核心知識(shí)4：用一元二次方程解決實(shí)際問題

例5 （2016·泰州）隨著互聯(lián)網(wǎng)的迅速發(fā)展，某購物網(wǎng)站的年銷售額從2013年的200萬元增長(zhǎng)到2015年的392萬元。求該購物網(wǎng)站平均每年銷售額增長(zhǎng)的百分率。

【解析】平均變化率問題（以增長(zhǎng)為例）中常用的數(shù)量關(guān)系是：“變化前的量+增長(zhǎng)的量=增長(zhǎng)后的量”“增長(zhǎng)的量=變化前的量×增長(zhǎng)率”。將這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系合起來可表示為：變化前的量×（1+增長(zhǎng)率）=增長(zhǎng)后的量。如果設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，2013年的年銷售額為200萬元，2014年的年銷售額為200×（1+x）萬元，2015年的年銷售額為200×（1+x）×（1+x）萬元，即200（1+x）2萬元，根據(jù)“從2013年的200萬元增長(zhǎng)到2015年的392萬元”，即可列出方程。

解：設(shè)該購物網(wǎng)站平均每年銷售額增長(zhǎng)的百分率是x。

根據(jù)題意，得200（1+x）2=392。

解這個(gè)方程，得x1=0.4，x2=-2.4（不合題意，舍去）。

答：該購物網(wǎng)站平均每年銷售額增長(zhǎng)的百分率是40%。

【總結(jié)】平均變化率問題的關(guān)鍵是理解變化率和變化量的區(qū)別，進(jìn)而正確理解經(jīng)過1次、2次變化，數(shù)量的變化量和變化率的表示?？稍O(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過2次變化后的數(shù)量關(guān)系可表示為a（1±x）2=b。

例6 （2018·鹽城）一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件。

（1）若降價(jià)3元，則平均每天銷售數(shù)量為_______件；

（2）當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元？

【解析】問題中涉及的數(shù)量關(guān)系較多，如：“降價(jià)前每件商品的利潤(rùn)×降價(jià)前每天的銷售量=降價(jià)前總利潤(rùn)”“降價(jià)后每件商品的利潤(rùn)×降價(jià)后每天的銷售量=降價(jià)后總利潤(rùn)”“降價(jià)前每件商品的利潤(rùn)-每件商品的降價(jià)數(shù)=降價(jià)后每件商品的利潤(rùn)”“降價(jià)前每天的銷售量+2×降價(jià)數(shù)=降價(jià)后每天的銷售量”等。

我們可以借助列表的形式分析其中的數(shù)量關(guān)系，其中設(shè)每件商品降價(jià)x元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元，則可表示如下表：

800 1200每天的銷售量（件）總利潤(rùn)（元）降價(jià)前降價(jià)后每件商品的利潤(rùn)（元/件）40 40-x 20 20+2x

解：（1）26；

（2）設(shè)每件商品降價(jià)x元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元，則平均每天銷售數(shù)量為（20+2x）件，每件盈利為（40-x）元，且40-x≥25，即x≤15。

根據(jù)題意可得（40-x）（20+2x）=1200，

整理得，x2-30x+200=0，

解得x1=10，x2=20（不合題意，舍去）。

答：每件商品降價(jià)10元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元。

【總結(jié)】一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中某些數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型。在運(yùn)用一元二次方程分析、表達(dá)和解決實(shí)際問題的過程中，利用表格可以幫助我們分析其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。

此外，我們還要根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理。

總之，對(duì)于一元二次方程的學(xué)習(xí)，我們?cè)诮庖辉畏匠虝r(shí)，抓住“降次”這一基本策略，在解決實(shí)際問題時(shí)，利用表格或者線段示意圖分析題意，尋求數(shù)量關(guān)系，嘗試建立方程模型解決問題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，努力做到化繁為簡(jiǎn)、化難為易、有的放矢。