基于熱防護服溫度分布的數(shù)學(xué)模型建立

張燁 張曉 惠歡歡 慕濤濤

摘?要：本文針對熱防護服的溫度分布問題，建立多層平壁模型，對熱防護服的溫度分布進行求解。首先利用導(dǎo)熱微分方程得出三類邊界條件，然后建立多層平壁模型，最后結(jié)合三類邊界條件，得出求解溫度分布的微分方程并在MATLAB軟件繪制出各層溫度分布圖。測試數(shù)據(jù)表明，本文方法解決了多徑向?qū)釂栴}，準(zhǔn)確度更高，可直接服務(wù)于高溫作業(yè)中的作業(yè)人員，具有較高的現(xiàn)實意義。

關(guān)鍵詞：高溫作業(yè);溫度分布;導(dǎo)熱微分方程;多層平壁模型

高溫專用服裝的用處就是能起到阻隔熱能到達人體皮膚表面的作用，以保護皮膚不被燒傷或灼傷。當(dāng)前，對于高溫服裝的材料性能評價主要是依靠大量的性能測試，將材料的性能值作為評價材料隔熱性能好壞的標(biāo)準(zhǔn)。本文參照2018高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題，利用題目中給出的兩組數(shù)據(jù)：專用服裝材料的參數(shù)值;假人皮膚外側(cè)的測量溫度，在特定情形下進行求解，計算得到假人皮膚外側(cè)的溫度分布情況。

1 三類邊界條件

針對此問題，利用導(dǎo)熱微分方程，[1，2]求得某點處的溫度變化模型。本文根據(jù)環(huán)境溫度、時間、每一層的厚度，利用導(dǎo)熱微分方程得出假人皮膚外側(cè)溫度隨時間的變化規(guī)律。若物性參數(shù)?λ?，??c??和?ρ?均為常數(shù)，則

T?t?=?a??2?T?x?2?（1）

其中??a?=λρ?c??為熱擴散率（導(dǎo)溫系數(shù)）[3][??m?2/?s??]。

與導(dǎo)熱有關(guān)的邊界條件[4]有三種：

①第一類邊界條件：已知任一瞬態(tài)導(dǎo)熱體邊界上溫度值：

t?|?s=t?w1?（2）

②第二類邊界條件：已知物體邊界上熱流密度的分布及變化規(guī)律：

q|???s?=?q???w?=?f?（?r?，τ）?（3）

③第三類邊界條件：已知任一時刻邊界面周圍介質(zhì)的溫度變化規(guī)律以及物體邊界與周圍介質(zhì)的熱傳遞規(guī)律，根據(jù)牛頓冷卻定律和傅里葉定律，得到

- λ（?t??x?）??w?=?h?（?t???w??-t???f?）?（4）

其中，??h?（?t?）?為表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，??t???f??為流體溫度。

2 多層平壁模型的建立

現(xiàn)實生活中存在著大量多層材料的導(dǎo)熱問題，通常認為這類問題的溫度梯度僅出現(xiàn)在徑向一個方向上，因此可以根據(jù)多層平壁模型[5]來計算。假設(shè)：

a?.?各層厚度分別為?δ?1?、?δ?2?、?δ?3?，各層材料的熱導(dǎo)率分別為?λ?1?、?λ?2?、?λ?3?;

b?.?各層之間接觸緊密，相互接觸的表面具有相同的溫度;

c?.?平壁兩側(cè)外表面分別保持均勻恒定的溫度??tw?1?、??tw4??。

圖1 三層平壁的傳熱過程

由圖1得出，多層平壁導(dǎo)熱可以看做是一種串聯(lián)的導(dǎo)熱過程，其推動力為各分過程溫度差之和（即總溫度差），總熱阻為各分過程熱阻之和，[6]也就是串聯(lián)電阻疊加原則。

3 溫度分布圖的求解

基于多層平壁模型，本文結(jié)合導(dǎo)熱微分方程的三類邊界條件，最終利用matlab求出各層溫度分布圖。

假設(shè)無內(nèi)熱源，內(nèi)外表層分別保持均勻溫度。以第一層為例，已知環(huán)境溫度為??t???w??，第一層的溫度為??tw?1?即??t???w?=75℃??tw?5=37℃?，則該問題的數(shù)學(xué)描述為

2?t??x?2=0?（5）

對其積分求出通解為：

t?=C?1?x?+C?2?（6）

（1）平壁邊界的第一類邊界條件，即

x?=0，?t?=?t???w

x?=δ?1，?t?=?tw?1?（7）

代入（6）式，可確定通解中的兩個任意常數(shù)，得到該問題的溫度分布為

t?=?t???1??- ?t???w??-tw1?δ?x??（8）

通過平壁的熱流量[7]的最終表達形式為：

=λA?t???w??-tw?1δ=?t???w??-tw?1δλA?（9）

在上述表達式中，?δλ?為熱阻用?R?λ?表示。把通過第一層的熱流密度[8]記作??q??1?，單位為?W/m?，則有：

q??1=?t???w??-tw?1R?λ1=?t???w??-tw?1δ?1λ?1?（10）

同理，可以得出第二層、第三層、第四層及假人皮膚外側(cè)的熱流密度。

q??2=?tw1??-tw?2?R??λ?2?=?tw?1?-tw?2δ?2λ?2?（11）

q???3?=?tw2??-tw?3?R??λ?3?=?tw?2?-tw?3δ?3λ?3?（12）

q???4?=?tw3??-tw?4R?λ4=?tw?3?-tw4?δ??4?λ??4??（13）

q???5?=?t???w??-tw?5R?λ1+R?λ2+R?λ3+R?λ4?（14）

對于一維導(dǎo)熱，傅里葉定律可寫作??q?=λ?t??x??，穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱無內(nèi)熱源，q為不隨??x??變化的常量。根據(jù)能量守恒定律原理得到平壁中穩(wěn)態(tài)溫度分布的另一種形式

t?=?t???w??- qλ?x??（15）

（2）平壁邊界的第三類邊界條件，即：

-λ?t??x??x=0=h?1（t?w-t?w1）

-λtx?x=δ=h?2（?tw1??-tf2?）

計算得到第一層熱流密度，即

q?x=0=h?1（t?f1-t?w1）

q=λδ（t?w1-t?w2）

q?x=δ=h?2（t?w2-t?f2）?（16）

在穩(wěn)態(tài)情況下可得：

q?1=t?f1-t?f21h?1A+δλ+1h?2A=?k?（?tf?1?-tf?2）?（17）

其中，傳熱系數(shù)?K?滿足?1k=1?h??1+δλ+1?h??2?，又根據(jù)傅里葉定律可得

dt??dx?=?- qλ=?- 1λ·?tf?1?-tf?21?h??1+δλ+1?h??2?（18）

據(jù)上式，將相關(guān)參數(shù)帶入方程，利用?matlab?軟件求出各層的溫度分布圖，如圖2所示。

圖2 各層的溫度分布圖

結(jié)合得出的數(shù)據(jù)，從圖2可以看出溫度隨時間變化的規(guī)律：第一層織物材料，在0-886s時間段內(nèi)溫度上升較快，最后溫度穩(wěn)定在74.34??°?C?左右上下波動;第二層織物材料，在0-876s時間段內(nèi)溫度上升較快，溫度在72.80??°?C?左右上下波動;第三層織物材料的溫度，在0-810s時間段內(nèi)溫度上升較快，溫度保持在63.17??°?C?左右;第四層，即第三層與皮膚之間的間隙，在0-881s時間段內(nèi)的溫度上升較快，最后緩慢上升并在48.12??°?C?左右上下浮動。

4 結(jié)語

本文首先利用導(dǎo)熱微分方程得出三類邊界條件，然后建立多層平壁模型，最后結(jié)合三類邊界條件，得出求解溫度分布的微分方程并在MATLAB軟件繪制出各層溫度分布圖，進而分析得到溫度隨時間變化的規(guī)律。測試數(shù)據(jù)表明，本文方法便于理解，準(zhǔn)確度更高，可以解決許多徑向?qū)釂栴}，對挖掘和提高這類系統(tǒng)的熱工作性能、節(jié)約能源具有十分重要的意義。本文的研究成果，可直接服務(wù)于高溫作業(yè)中的作業(yè)人員，為其提供良好的服裝設(shè)計方案，具有較高的現(xiàn)實意義。

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