三角陣列超材料的聲傳播特性

唐帥 溫廷敦 韓建寧

摘 要：為了使聲波產(chǎn)生不同于傳統(tǒng)天然聲學(xué)材料的反常傳輸特性，采用COMSOL有限元方法模擬了聲波在局域共振型聲子晶體中的傳播特性，給出了二維三組元局域共振型聲子晶體的振動(dòng)機(jī)制，并以原胞為基礎(chǔ)構(gòu)建了三角形陣列的聲學(xué)超材料模型，探究聲波與該模型內(nèi)原胞間的局域共振特性。仿真結(jié)果表明，從三角陣列模型底邊入射的平面點(diǎn)狀及線狀激勵(lì)聲源在受到模型的調(diào)控后都會(huì)重新在頂角處匯聚成焦點(diǎn)；通過(guò)入射由三角陣列構(gòu)成的矩形模型能實(shí)現(xiàn)點(diǎn)源的低損耗搬移效果；將兩至三個(gè)相同的三角陣列組合成平行四邊形和梯形模型后會(huì)產(chǎn)生平面聲波的變向傳輸。模擬結(jié)果顯示，此種以原胞為基礎(chǔ)的三角形聲學(xué)超材料陣列模型，在共振頻率下會(huì)產(chǎn)生反常聲學(xué)現(xiàn)象，并且隨著模型構(gòu)造的改變，其共振特性也會(huì)隨之變化，產(chǎn)生不同的反常聲學(xué)現(xiàn)象。研究結(jié)果可為聲隱身、聲探測(cè)及聲波低損耗定向傳輸?shù)妊芯刻峁┬滤悸贰?/p>

關(guān)鍵詞：超聲學(xué)；聲子晶體；局域共振；三角陣列；變向傳輸

中圖分類號(hào)：O426.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-1542（2018）05-0409-07

人工超常材料是在電磁學(xué)的范疇內(nèi)興起和發(fā)展的。VESELAGO[1]開(kāi)創(chuàng)性地提出了負(fù)折射率的概念，認(rèn)為只要能讓物質(zhì)具有負(fù)的磁導(dǎo)率和介電常數(shù)便能夠產(chǎn)生反常折射。不同于傳統(tǒng)的光學(xué)折射性質(zhì)，負(fù)折射現(xiàn)象會(huì)使入射光波及透射光波的能流都位于法線同側(cè)。為了區(qū)分平常的右手材料，常將這些材料稱之為左手材料[2-5]，由于相速度和群速度反向，這些材料具備反常Doppler效應(yīng)、反常Cerenkov效應(yīng)和負(fù)光壓效應(yīng)等。作為一種彈性波，聲波與電磁波之間在某些特征方面存在著相似性，尤其是Maxwell方程[6]中的磁導(dǎo)率及介電常數(shù)等都能與聲波方程中的體積模量及質(zhì)量密度等相互照應(yīng)，因此，在電磁學(xué)超材料的基礎(chǔ)上，研究者開(kāi)始了聲學(xué)超常材料的探究[7-10]。聲學(xué)超常材料是指材料的質(zhì)量密度和模量同時(shí)為負(fù)，或者其中一個(gè)參數(shù)為負(fù)的人工功能材料，其設(shè)計(jì)的核心思想在于利用局域共振機(jī)制實(shí)現(xiàn)此種負(fù)參數(shù)。LIU等[11]發(fā)現(xiàn)對(duì)Bragg散射的限制可以通過(guò)設(shè)計(jì)較小的原胞尺寸來(lái)消除，然而該設(shè)計(jì)方案在實(shí)際制備及拓展中存在一些問(wèn)題。對(duì)此，YANG等[12]將具有一定質(zhì)量的物體鑲嵌在彈性薄膜中心，結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)處于共振頻率時(shí)，產(chǎn)生了負(fù)質(zhì)量效應(yīng)，降低了樣品制備的困難程度。接著，以LI等[13]為代表的研究者們又發(fā)現(xiàn)共振系統(tǒng)能夠使負(fù)彈性模量和負(fù)質(zhì)量效應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)，充分證明了對(duì)諧振單元的設(shè)計(jì)是聲子晶體設(shè)計(jì)中的核心部分。這一系列的研究成果豐富了聲學(xué)超材料的應(yīng)用范圍，拓寬了聲學(xué)超材料的研究領(lǐng)域。

1 模型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

三角陣列超材料模型主要由二維三組元局域共振型聲子晶體組成。圖1 a）所示為一種典型的二維晶格原胞模型，該原胞的結(jié)構(gòu)是：在環(huán)氧樹(shù)脂內(nèi)嵌入鉛芯，并且該鉛芯外側(cè)由橡膠層包裹，其中鉛芯直徑尺寸為0.5 mm，橡膠層寬度為0.2 mm。圖1 b）是由這些晶格陣列形成的模型的二維軸向剖面圖，其晶格點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)為倒三角晶格形式，即任意3個(gè)上下相鄰的原胞都可構(gòu)成一個(gè)倒三角結(jié)構(gòu)，此外，由底角到頂邊的變化過(guò)程中，每遞增一行，原胞的個(gè)數(shù)便會(huì)增多一個(gè)，此種具有規(guī)律性的陣列方式，使得模型結(jié)構(gòu)具有高度連續(xù)性，為聲傳播特性的定量分析提供了基礎(chǔ)。

為了直觀地觀察模型內(nèi)部聲波傳輸情況，筆者采用COMSOL有限元仿真軟件對(duì)模型二維軸向剖面的聲場(chǎng)特性進(jìn)行模擬分析。仿真過(guò)程中所用材料的參數(shù)如下。

2 模型理論分析

在傳輸模型一側(cè)施加激勵(lì)源，產(chǎn)生入射超聲波時(shí)，原胞的最外層部分受到聲波的擠壓會(huì)開(kāi)始振動(dòng)，隨著聲波能量傳到中間層及最內(nèi)層，導(dǎo)致整個(gè)原胞結(jié)構(gòu)都會(huì)振動(dòng)。所以，整個(gè)模型對(duì)聲波的調(diào)控方式能夠視為晶胞的振動(dòng)結(jié)果。

原胞由環(huán)氧樹(shù)脂、橡膠和鉛芯3部分組成，筆者采用雙彈簧振子模型進(jìn)行原胞振動(dòng)特性的類比分析。彈簧振子模型的色散方程[14]為

圖2所示為原胞振動(dòng)模態(tài)的運(yùn)行結(jié)果，通過(guò)該圖可以明顯發(fā)現(xiàn)模型的內(nèi)部會(huì)發(fā)生局域共振，這是由于聲波與原胞內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生耦合作用從而導(dǎo)致諧振的出現(xiàn)，模型的共振帶隙也取決于這種耦合作用的發(fā)生。若這種局域共振是原胞最內(nèi)層質(zhì)量塊的平移振動(dòng)。伴隨著此種振動(dòng)，原胞的中間層會(huì)受到拉伸和壓縮，從而使構(gòu)成模型的相鄰2個(gè)原胞內(nèi)層之間的振動(dòng)相位不同。聲學(xué)結(jié)構(gòu)的這種局域共振來(lái)源于原胞最外層與相鄰2個(gè)內(nèi)層圓環(huán)之間的反相振動(dòng)，使得聲學(xué)結(jié)構(gòu)宏觀上的振動(dòng)實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)平衡。

3 仿真結(jié)果

3.1 聲聚焦效應(yīng)

[WT]將原胞陣列而成的三角結(jié)構(gòu)聲學(xué)模型植入水中，對(duì)入射點(diǎn)聲源所產(chǎn)生的聲波傳輸情況進(jìn)行分析。如圖3 a）所示，當(dāng)入射點(diǎn)聲源在自由平面內(nèi)傳播時(shí)，會(huì)產(chǎn)生擴(kuò)散和衰減現(xiàn)象，其衰減幅度與傳輸距離呈正相關(guān)，因此遠(yuǎn)距離的聲波強(qiáng)度相對(duì)較低。當(dāng)陣列模型存在時(shí)，如圖3 b）所示，將聲源置于三角模型底邊后，大部分聲波被模型所吸收并在其頂角處重新匯聚成了一個(gè)焦點(diǎn)。基于此，筆者將點(diǎn)聲源改為線狀聲源研究其對(duì)平面聲波的吸收和聚焦特性，如圖3 c）所示，聲波受到了陣列模型的有效調(diào)控，在經(jīng)過(guò)2個(gè)波陣面后，成功地在對(duì)角處聚焦，實(shí)現(xiàn)了平面線聲源向球狀點(diǎn)聲源的轉(zhuǎn)換，在提高能量利用率、聲波局域聚焦等方面具有良好的應(yīng)用前景。

為了研究該種陣列聲學(xué)結(jié)構(gòu)的聚焦效應(yīng)與頻率間的關(guān)系，筆者截取了其中的一個(gè)周期振動(dòng)過(guò)程，繪制了如圖4所示的頻率由47 000 Hz向51 000 Hz遞增時(shí)的波形變化曲線。可以明顯發(fā)現(xiàn)焦點(diǎn)在不同頻率下的聚焦特性各不相同，在49 000 Hz前后，匯聚而成的焦點(diǎn)處聲波反相振動(dòng)，隨著頻率的遞增，聲波振幅越來(lái)越大，直至下一個(gè)共振頻率的出現(xiàn)，聲波便會(huì)產(chǎn)生下一個(gè)反相周期振動(dòng)。值得注意的是，盡管模型具有多個(gè)共振聚焦頻率，但隨著頻率的升高，波長(zhǎng)會(huì)相應(yīng)減小，最終會(huì)導(dǎo)致聚焦點(diǎn)的尺寸越來(lái)越小，因此在實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)情況選擇適當(dāng)?shù)木劢诡l率，以此提高聚焦聲波能量的利用率。

3.2 點(diǎn)源搬移效應(yīng)

基于上述聲波聚焦效果，筆者在此基礎(chǔ)上對(duì)稱地放置一個(gè)與之方向相反、形狀相同的三角陣列并組成矩形結(jié)構(gòu)。如圖5 a）所示，經(jīng)過(guò)一段距離的傳輸，點(diǎn)聲源從矩形的其中一個(gè)頂點(diǎn)成功“搬移”到了另一個(gè)頂點(diǎn)，通過(guò)對(duì)比其前后焦點(diǎn)處的高度表達(dá)式，如圖5 b）所示，發(fā)現(xiàn)聲壓幅值衰減程度較低，匯聚而成的焦點(diǎn)與點(diǎn)源處的聲壓高度基本持平，提高了聚焦效率，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)聲源的低損耗傳輸。

為了研究模型對(duì)聲波的調(diào)控效果，筆者作出了聲波在不同頻率下的傳輸波形圖，如圖6所示，每一條波形曲線都存在中間高，兩側(cè)低的傳輸特性，其中高的區(qū)域?qū)?yīng)著聲波在模型內(nèi)部的傳輸過(guò)程，而低的區(qū)域則對(duì)應(yīng)著聲波在模型外部的部分傳輸過(guò)程。顯然，未受到模型調(diào)控的聲波衰減相對(duì)較快，相反，在模型內(nèi)部傳輸?shù)穆暡ú粌H衰減幅度較小，并且還產(chǎn)生了明顯的聚焦現(xiàn)象，在某種程度上，該焦點(diǎn)可視為一個(gè)次級(jí)聲源，在其基礎(chǔ)上繼續(xù)添加模型，可以使其傳播更遠(yuǎn)的距離，因此，使用多個(gè)相同模型，即可組成一個(gè)聲源定向傳輸系統(tǒng)。此外，通過(guò)研究其頻率特性，能夠發(fā)現(xiàn)該模型的聚焦效果具有較大的帶寬，在較寬泛的頻域范圍內(nèi)都能實(shí)現(xiàn)對(duì)點(diǎn)源的搬移效果，這是因?yàn)殡S著頻率的增加所改變的僅是波陣面的數(shù)量，其聚焦特性并未發(fā)生實(shí)質(zhì)性變化的原因。

3.3 變向傳輸效應(yīng)

由于三角陣列聲學(xué)結(jié)構(gòu)具有多樣性的組合方式，筆者繼續(xù)將其翻轉(zhuǎn)平移并與之形成平行四邊形和梯形結(jié)構(gòu)，得到了聲波的負(fù)折射現(xiàn)象，由圖7可見(jiàn)，當(dāng)平面入射聲波由其中一條邊入射平行四邊形和梯形結(jié)構(gòu)時(shí)，在模型內(nèi)部匯聚成了多個(gè)正反相位交替分布的焦點(diǎn)并在其對(duì)邊重建了一系列的類平面聲波繼續(xù)進(jìn)行傳輸。宏觀上，將由原胞陣列而成的平行四邊形和梯形結(jié)構(gòu)視為一種聲波傳輸介質(zhì)，這便形成了聲波的變向傳輸。

顯然，通過(guò)觀察圖7所示的變向傳輸現(xiàn)象，能夠明顯發(fā)現(xiàn)聲波傳輸方向的改變很大程度上取決于三角陣列所組成的模型結(jié)構(gòu)，即不同形狀的模型對(duì)聲波的折射方向是不同的，例如圖7中平行四邊形結(jié)構(gòu)和梯形結(jié)構(gòu)分別將來(lái)自同一方向的平面波折射成方向?yàn)橐簧弦幌陆厝幌喾吹膬墒矫娌?。由于受到模型的調(diào)控，聲波在傳輸過(guò)程中的衰減程度相對(duì)較低，因此在圖7所示現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用背景，可以按需對(duì)模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行改變，不論是對(duì)不同方向的折射還是對(duì)不同距離的折射，都可以通過(guò)對(duì)平行四邊形或梯形結(jié)構(gòu)角度和長(zhǎng)度的改變進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，深刻體現(xiàn)了人工聲學(xué)超構(gòu)材料的針對(duì)性及靈活性的優(yōu)勢(shì)。

4 討 論

對(duì)于聲聚焦效應(yīng)、點(diǎn)源搬移效應(yīng)以及變向傳輸效應(yīng)，其實(shí)都是基于聲子晶體的負(fù)折射效應(yīng)而產(chǎn)生的[21-23]，研究人員可以采用平面波展開(kāi)法[24-25]中的帶隙特性對(duì)其分析。為了簡(jiǎn)便計(jì)算，可以在波動(dòng)方程中將平面波形式展開(kāi)然后疊加，如此一來(lái)，波動(dòng)方程便成為了本征振動(dòng)方程，運(yùn)算方程后就能計(jì)算出本征振動(dòng)頻率與波矢量之間的色散關(guān)系，即能帶結(jié)構(gòu)[26-29]。

5 結(jié) 論

筆者利用COMSOL有限元法研究了聲波在基于二維三組元局域共振型聲子晶體中的聲傳播特性，在以三角陣列模型為基礎(chǔ)的多種組合體中實(shí)現(xiàn)了聲波聚焦，點(diǎn)源搬移及變向傳輸?shù)确闯Ｂ晫W(xué)現(xiàn)象。結(jié)論如下。

1） 不論是平面點(diǎn)狀還是線狀激勵(lì)源所產(chǎn)生的聲波在由三角模型底邊入射后，都能夠在模型頂點(diǎn)處重新匯聚成一個(gè)焦點(diǎn)，為實(shí)際的點(diǎn)源探測(cè)等方面的應(yīng)用提供了新方向。

2） 在三角陣列的基礎(chǔ)上構(gòu)建了矩形陣列模型，經(jīng)過(guò)一段距離的傳輸，點(diǎn)聲源從矩形的其中一個(gè)頂點(diǎn)成功“搬移”到了另一個(gè)頂點(diǎn)，并可將該點(diǎn)繼續(xù)視為一個(gè)次級(jí)聲源，構(gòu)建聲源定向傳輸系統(tǒng)。

3） 聲波透過(guò)兩至三個(gè)相同三角陣列組合而成的平行四邊形或梯形模型后會(huì)在模型內(nèi)部匯聚成多個(gè)焦點(diǎn)，并使平面聲波產(chǎn)生變向傳輸。

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