指數(shù)函數(shù)應(yīng)用性的進(jìn)一步探討

趙金榮

摘 要：形如的指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用范圍非常廣泛，除了可以用來對人口的增長、銀行計息、放射性元素的衰變等進(jìn)行建模外，還可用于自然科學(xué)和社會科學(xué)的更廣的領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞：指數(shù)函數(shù);溫室效應(yīng);衰變估算

1958年，C.D.Keeling of the Scripps Institution of Oceanography開始了一系列辛勤地測量工作，他持續(xù)測量了當(dāng)時一個遙遠(yuǎn)的地方，也就是現(xiàn)在的夏威夷的Mauna Loa Observatory大氣中二氧化碳的濃度. 他的觀測活動一直持續(xù)到現(xiàn)在，觀察數(shù)據(jù)說明，此處大氣中二氧化碳的濃度呈現(xiàn)指數(shù)增長。Keeling的觀測活動在世界各地不同地區(qū)，且在越來越短的時間段內(nèi)進(jìn)行著。而在所有的觀測數(shù)據(jù)中均顯示出各地大氣中二氧化碳的濃度都呈現(xiàn)很明顯的指數(shù)增長趨。這些文字摘自Gordon Macdonald在《溫室效應(yīng)的科學(xué)依據(jù)》一文，這是來自全球變暖的挑戰(zhàn)，Dean Edwin Abrahamson， ed.（Washington， D.C.：Island Press， 1989）

引用紐約時報，2001年6月7號首頁一篇主題是“專家告訴布什全球變暖變得越來越嚴(yán)重”的文章--美國的頂端科學(xué)家們組成的專家組今天聲稱全球變暖是一個實際問題，而且這個問題正在惡化。來自于國家科學(xué)學(xué)術(shù)協(xié)會—由11名領(lǐng)軍大氣研究的科學(xué)家組成—一個更具有預(yù)見性的報告，包括一些原來的質(zhì)疑派，重申了這個科學(xué)界的主流觀點，即地球大氣正在變暖，人類活動付大部分的責(zé)任.報告中提到“溫室氣體由于人類的活動的結(jié)果在大氣中積累，使得表面空氣溫度和大洋下層面的溫度上升.”--紐約時報文章，Katharine Q.Seelye 和Andrew C.Revkin，2001，6，7.

二氧化碳，單個最重要的溫室氣體，對地球變暖付一半的責(zé)任，是人類過度釋放的結(jié)果，而且對將來預(yù)測的變暖中付一半的責(zé)任.目前（1988）的濃度大約是每百萬中350份（ppm），而且以0.4%每年的速率上升。我們在這里先不討論溫室效應(yīng)對人類生存的重要性，而來說一下如何用數(shù)學(xué)知識來具體說明大氣中二氧化碳的濃度呈現(xiàn)指數(shù)增長是什么意思，以及這類知識在現(xiàn)實中還有哪些應(yīng)用。

一、指數(shù)函數(shù)預(yù)測二氧化碳濃度

在報紙上和日常的演講中，“指數(shù)增長”常很輕易地用于描述涉及快速增長的任何情景.但是，從科學(xué)上講，指數(shù)增長指的是某些特定地能夠用形如y=aebx （b是正數(shù)，是常數(shù)）形式的增長.在社會學(xué)中，社會學(xué)家們會使用函數(shù)N（t）=NOekt 描述人口的增長模式.同樣，使用這個函數(shù)也可以為大氣中的二氧化碳的濃度增長建模。據(jù)統(tǒng)計，工業(yè)化以前全球年均大氣二氧化碳濃度為278ppm（1ppm為百萬分之一），而2012年是全球年均大氣二氧化碳濃度為393.1ppm，到2014年4月，北半球大氣中月均二氧化碳濃度首次超過400ppm。如果設(shè)大氣中的二氧化碳的濃度在持續(xù)以指數(shù)形式以0.4%每年的速度上升，如何預(yù)測何時二氧化碳的濃度可能達(dá)到600ppm？（這個預(yù)測值將會是工業(yè)革命前估測的濃度的大約兩倍.） 據(jù)科學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，大氣中二氧化碳的濃度隨時間的變化規(guī)律可以近似用函數(shù)N（t）=NOekt表示，按照這個函數(shù)關(guān)系，要確定當(dāng)大氣中二氧化碳的濃度為N=600多對應(yīng)的時間，需要使用前提條件：當(dāng)t=0時，對應(yīng)著1988年，此時二氧化碳的濃度是NO=350 ，取常數(shù)k=0.004 ，經(jīng)過計算可以得到與N=600 對應(yīng)的時間大約是1988年后135年后是2123年.利用這種方式可以得出結(jié)論：如果二氧化碳的水平持續(xù)以每年0.4%的速度增長，那么大約2125年，大氣中二氧化碳的濃度將會達(dá)到600ppm.

二、指數(shù)函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上應(yīng)用

使用同樣形式的函數(shù)也可以用于描述一筆金額在連續(xù)復(fù)合計息的情況下增長的模式.如果 元的本金存入銀行的儲蓄賬戶，年利率是6%，連續(xù)復(fù)合計息.與此同時，另一筆 的本金存入另一賬戶，年利率也是6%，但是復(fù)息一年一次.使用繪圖軟件確定賬戶1中的余額超過賬戶2中余額至少10元所需要的時間.在描述這個過程中，繪圖軟件繪制的是函數(shù)y=100e006t 的圖像。同樣，這類函數(shù)還會用在經(jīng)濟(jì)學(xué)的其他領(lǐng)域，在這里我們不再詳細(xì)描述，令人驚奇的是S=Pert ，這個式子的簡潔美是由于無理數(shù)e的出現(xiàn)而形成的。更令人驚奇的是誰會想到e這個數(shù)，會出現(xiàn)在商業(yè)理論中？無理數(shù)e是瑞士數(shù)學(xué)家Leonhard Euler（1707-1783）引入的，為宇宙中屈指可數(shù)的幾個常數(shù)之一。他為什么要選擇使用字母e呢？關(guān)于這點沒有一個統(tǒng)一地說法。一個觀點認(rèn)為，Euler選擇這個字母是因為e是指數(shù)函數(shù)這個單詞的第一個字母。更普遍的原因，可能是 這個字母是字母表中首個“沒有過的”字母，因為a，b，c，和d經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)表達(dá)中。看上去Euler會選擇字母e不太可能是因為這個字母是他名字的第一個字母。因為在很多的情況下，在形容Euler時，常常會說：他是一個非常平和的人。這些話摘自Eli Maor， e：一個數(shù)的故事。

三、指數(shù)函數(shù)描述放射性元素的衰變

更令人驚奇的是，用樣的基本函數(shù)也能用于描述放射性衰變的規(guī)律，不過這里的 .科學(xué)家們是如何確定描述放射性衰變的規(guī)律，用這個函數(shù)適當(dāng)呢？關(guān)于這一點可能有兩個原因：一個經(jīng)驗性的解釋，一個是理論性解釋.早在1900-1903年期間，物理學(xué)家Ernest Rutherford （1908年諾貝爾物理獎獲得者）和化學(xué)家Frederick Soddy（1921年諾貝爾獎獲得者）開展試驗測量放射型衰變.他們發(fā)現(xiàn)了形如N（t）=NOekt ，k<0 的公式確實適合描述他們的測量數(shù)據(jù).而從理論的角度，可以解釋為衰變速率在 時必須正比于目前放射性物質(zhì)的量N（t） .在這個情況下，可以用微積分證明指數(shù)衰變適用.

科學(xué)美國人1976年1月刊，有一篇有關(guān)核能的文章.文章的作者是Hans Bethe（1906-1992），諾貝爾物理學(xué)獎獲得者.文章中的觀點之一是，Bethe教授討論了核能發(fā)電設(shè)備產(chǎn)生的放射性廢物的處理方式（通過填埋）.討論中特別的一種產(chǎn)物之一就是钚—239。

钚—239的半衰期接近25，000年，需要經(jīng)過10個半衰期的時間才能使得這類物質(zhì)的放射性是原來的千分之一.由此，填埋的廢物在生物圈中的存留時間是25萬年.這個時間就是根據(jù)形如N（t）=NOekt 的函數(shù)進(jìn)行預(yù)測的。如果用NO 表示钚-239在t=0 時的初始量，用N表示時間為t時的量表示為N（t）=NOekt ，要確定當(dāng) 的時間t。通過使用指數(shù)函數(shù)

以及對數(shù)計算，可以得到的時間是249，114.6年，但在給定的時間規(guī)模內(nèi)，以這種形式來表示無疑是滑稽可笑的.由此，把答案四舍五入至最接近千年的數(shù)，得到的就是249，000年后，钚的放射性才能降低到原來的千分之一.這個結(jié)果與Bethe教授的專業(yè)估算值，10個半衰期，或250，000年是一致的。

形如N（t）=NOekt 的指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此。

參考文獻(xiàn)：

[1]Dean Edwin Abrahamson， ed.，《這是來自全球變暖的挑戰(zhàn)》，Washington， D.C.：Island Press， 1989

[2] Phillip Gillett，《微積分和分析幾何學(xué)》，第3版，Lexington，Mass.：D.C.Heath，1988

[3] [1] 微積分初步-問題引導(dǎo)法，第6版，David Cohen， Ted Lee， David Sklar，2005 Thomson Brooks/Cole， a part of The ThomsonCorporation.