葉輪轉(zhuǎn)子碰摩響應的分岔與穩(wěn)定性

張華彪 李欣業(yè) 梁艷書

摘要： 針對葉輪轉(zhuǎn)子碰摩響應以及周期解的分岔和穩(wěn)定性開展研究。基于線性接觸力和庫倫摩擦力組成的葉尖碰摩力模型，建立了葉輪轉(zhuǎn)子碰摩的動力學方程，通過數(shù)值計算給出了系統(tǒng)響應隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖，發(fā)現(xiàn)在碰摩時系統(tǒng)出現(xiàn)了多種周期運動和混沌等響應形式，并有倍周期分岔、跳躍以及混沌吸引子的轉(zhuǎn)換等現(xiàn)象發(fā)生。將同倫延拓理論和打靶法相結(jié)合，在龐加萊截面上通過切向預估和法向校正，形成了一種新的延續(xù)打靶法，將其應用于葉輪轉(zhuǎn)子碰摩周期解計算和穩(wěn)定性分析中，給出了碰摩周期響應的分岔圖，發(fā)現(xiàn)隨轉(zhuǎn)速的變化，系統(tǒng)出現(xiàn)了大量局部穩(wěn)定的周期解。基于周期解分岔圖研究了系統(tǒng)進入和退出混沌的路徑，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)進入混沌的路徑主要是鞍結(jié)分岔和倍周期分岔，退出混沌的路徑有倍周期分岔、Hopf分岔以及邊界激變。

關鍵詞： 分岔; 穩(wěn)定性; 葉輪轉(zhuǎn)子; 碰摩; 延續(xù)打靶法

中圖分類號： O322; TH113.1 ?文獻標志碼： A ?文章編號： 1004-4523（2019）04-0635-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.010

引 言

碰摩是葉輪機械常見的故障之一，嚴重的碰摩可能造成葉片折斷、轉(zhuǎn)子失穩(wěn)，最終導致重大運行事故。轉(zhuǎn)子和密封的碰摩通常在研究中被簡化為兩個圓柱面之間的碰摩問題，進而確定轉(zhuǎn)子和密封之間的接觸力和摩擦力表達式，基于該模型國內(nèi)外學者對轉(zhuǎn)子碰摩的動力學特性進行了深入的研究[1-3]。葉輪轉(zhuǎn)子振動過大時，在葉尖密封處也會發(fā)生碰摩，由于每一時刻葉片接觸的數(shù)量和每個葉片處的變形量都不同，更容易導致復雜動力學響應的出現(xiàn)?？紤]到葉尖碰摩和傳統(tǒng)圓柱面模型的碰摩在接觸形式上存在較大的差異，基于傳統(tǒng)碰摩模型的研究成果不能很好地適用于葉尖碰摩。

針對葉輪轉(zhuǎn)子葉片和機匣之間的碰摩，Padovan等[4]將葉片假設為懸臂梁，推導了法向接觸力和葉片徑向變形之間的關系，分析了在單葉片和多葉片與剛性機匣碰摩情況下，不平衡量、葉片/轉(zhuǎn)子剛度、系統(tǒng)阻尼和摩擦對系統(tǒng)非線性動力學特性的影響。Lesaffre等[5]將葉片簡化成具有兩自由度的集中質(zhì)量塊模型，機匣簡化成柔性環(huán)，兩者碰摩同樣采用附加剛度矩陣和阻尼矩陣來實現(xiàn)，研究了葉片-機匣碰摩穩(wěn)定性。Padova等[6]對發(fā)動機工作轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)靜子碰摩問題進行了實驗研究，針對不同的碰摩侵入量情況進行了測試，對比分析了轉(zhuǎn)靜子的相互影響作用。Ahrens等[7]、Young[8]和Ferguson[9]通過測量機匣的變形，間接獲得了碰摩載荷的實際大小和變化規(guī)律。實驗研究的結(jié)論表明葉輪轉(zhuǎn)子葉尖和機匣的碰摩響應近似于系統(tǒng)受到周期性脈沖力作用的響應。Jiang等[10]結(jié)合實驗研究的結(jié)論，提出了周期性脈沖力形式的碰摩接觸力模型，并通過理論計算推導了最大接觸力的表達式?；谥芷谛悦}沖力模型，Turner[11]研究了碰摩時葉片的剛度效應;Legrand等[12]研究了葉輪轉(zhuǎn)子的碰摩響應;Kim等[13]研究了非對稱轉(zhuǎn)子與各向異性機匣的碰摩;劉書國等[14]對葉片-機匣碰摩的瞬態(tài)過程進行數(shù)值模擬，分析碰摩激起的部件的動力學響應;Sinha[15]分析了葉片丟失情況下發(fā)生轉(zhuǎn)靜子碰摩時轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性及非線性動力學行為。王國麗等[16]采用葉片-機匣實體接觸有限元計算得到碰摩力，建立了航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)實體模型，利用Ansys計算了高壓渦輪-機匣碰摩時軸承支反力的變化。近年來，葉尖碰摩逐漸引起了人們的關注。陳果等[17-18]對葉尖碰摩轉(zhuǎn)子動力學進行了數(shù)值仿真和實驗研究，其中葉片和機匣的碰摩力采用線性碰摩模型。馬輝等[19-20]對葉片與機匣碰摩進行了深入的研究，并出版了專著《旋轉(zhuǎn)葉片-機匣系統(tǒng)碰摩動力學》，其中對于轉(zhuǎn)子-葉片耦合系統(tǒng)動力學建模、碰摩對葉片振動響應的影響進行了詳細的介紹。劉昕等[21]采用懸臂梁模型，考慮離心剛化作用，選取高次形函數(shù)來描述葉片的變形，重點從頻域上研究了葉尖碰摩時轉(zhuǎn)子的響應特性，發(fā)現(xiàn)響應頻率和轉(zhuǎn)子的工頻以及葉片的個數(shù)線性相關。上述文獻對葉輪轉(zhuǎn)子葉尖碰摩進行了比較深入的研究，然而其研究方法主要是實驗或者是簡單的數(shù)值模擬，研究葉輪轉(zhuǎn)子碰摩周期解及其穩(wěn)定性和分岔顯然更具價值，目前這方面的研究文獻尚未見報道。

此外轉(zhuǎn)子碰摩是典型的非光滑動力學問題，采用傳統(tǒng)的非線性動力學解析方法求解困難。打靶法在龐加萊截面上利用牛頓迭代，實現(xiàn)周期解的求解，不需要進行復雜的解析計算，并且在求解過程中可順帶進行穩(wěn)定性的分析，非常適合于轉(zhuǎn)子碰摩周期解的求解。但是傳統(tǒng)的局部延拓的打靶法只適用于參數(shù)小范圍變化的情況，對于非線性系統(tǒng)中常見的轉(zhuǎn)折點問題無能為力，無法實現(xiàn)周期解在參數(shù)大范圍變化時的追蹤。因此發(fā)展一種能夠適用于參數(shù)大范圍變化的周期解求解方法具有很高的實用意義。

基于上述問題，本文對葉輪轉(zhuǎn)子碰摩周期解的穩(wěn)定性和分岔行為開展研究，文中第1部分建立了葉輪轉(zhuǎn)子葉尖碰摩的動力學模型，并進行了初步的數(shù)值模擬;第2部分將同倫延拓方法與打靶法結(jié)合，形成了延續(xù)打靶法，將其應用于碰摩周期解的求解與分岔和穩(wěn)定性分析中，對葉輪轉(zhuǎn)子響應形式隨轉(zhuǎn)速的變化，特別是進入和退出混沌的路徑進行了討論。

1 葉輪轉(zhuǎn)子碰摩動力學方程與仿真

基于上面的數(shù)據(jù)，可求得葉輪轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速約為3050 r/min。本文主要針對葉輪轉(zhuǎn)子升降速過程中通過1階臨界轉(zhuǎn)速時葉尖和機匣密封發(fā)生碰摩的動力學行為開展研究。圖3給出了葉輪轉(zhuǎn)子升速和降速過程的分岔圖，可以看到系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化在多處發(fā)生了跳躍和分岔，出現(xiàn)了復雜的周期運動和混沌等響應形式。圖4給出了幾種典型的周期運動的軸心軌跡和龐加萊映射，當沒有碰摩發(fā)生時，系統(tǒng)為線性，響應為周期1運動，軸心軌跡是圓。發(fā)生接觸后系統(tǒng)先是周期1運動，然后隨轉(zhuǎn)速的變化出現(xiàn)了周期2、周期3、周期4運動和混沌。圖4（e）和（f）雖然都是周期2運動，但前者的接觸以碰撞為主，后者的接觸相對平滑，作用以摩擦為主。圖5給出了葉輪轉(zhuǎn)子碰摩過程中典型混沌響應的龐加萊映射，可以看到對應著不同的轉(zhuǎn)速和升降速狀態(tài)，混沌響應吸引子的形態(tài)也不同，在升降速過程中不僅有周期運動與混沌之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)換，也有不同形態(tài)的混沌響應之間的切換?？傮w來看系統(tǒng)的響應以周期1、周期2和混沌響應為主，因此更關注這3種運動之間相互轉(zhuǎn)化的規(guī)律和分岔行為。本文的下一部分將針對周期解的穩(wěn)定性和分岔進行研究。

2 葉輪轉(zhuǎn)子碰摩的穩(wěn)定性和分岔

2.1 參數(shù)延續(xù)的打靶法 ?為了使打靶法能夠通過轉(zhuǎn)折點，實現(xiàn)全參數(shù)范圍的周期解曲線的追蹤，本節(jié)將同倫延拓法和打靶法相結(jié)合，形成了一種新的延續(xù)打靶法，并將其應用于葉輪轉(zhuǎn)子碰摩周期解的求解和穩(wěn)定性分析中。延續(xù)打靶法的基本原理如圖6所示。將微分方程組寫成代數(shù)方程形式，利用同倫延拓的思想，在龐加萊截面上從一個正則點出發(fā)，沿解曲線的切線方向進行預估，然后在和切線方向正交的超平面上進行校正，從而得到解曲線上的下一個正則點。

2.2 葉輪轉(zhuǎn)子碰摩的穩(wěn)定性和分岔

利用參數(shù)延續(xù)的打靶法對葉輪轉(zhuǎn)子碰摩的周期運動進行求解和穩(wěn)定性計算。圖7給出了葉輪轉(zhuǎn)子碰摩周期解的分岔圖，由于葉輪轉(zhuǎn)子碰摩的周期解太過復雜，此處只給出了周期1解和更為關注的升降速過程中出現(xiàn)的周期2解。此外考慮到圖7（a）圖例占用面積很大，本文中如無特殊說明，下面所有周期解分岔圖的圖例均參照此圖例。從圖中可以看到利用參數(shù)延續(xù)的打靶法進行求解，成功了繞過了轉(zhuǎn)折點，求得了系統(tǒng)周期解在整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的變化。圖7（b），（c）和（d）為圖7（a）的局部放大，可以看到系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速的變化出現(xiàn)了大量的穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期解和分岔點，除升降速過程中出現(xiàn)的周期解外，系統(tǒng)出現(xiàn)了多處局部穩(wěn)定的周期解，在轉(zhuǎn)折點附近不穩(wěn)定周期解通過倍周期分岔轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定解，然后通過轉(zhuǎn)折點處的鞍結(jié)分岔失穩(wěn)，如圖7（c）和（d）所示。這些穩(wěn)定周期解在正常升降速過程中不會出現(xiàn)，但在系統(tǒng)受到擾動時有可能發(fā)生。

隨著轉(zhuǎn)速進一步增大，系統(tǒng)在h點（如圖9（b）所示）附近通過倍周期分岔脫離混沌，變?yōu)橹芷?運動，進而在i點處發(fā)生鞍結(jié)分岔，響應出現(xiàn)跳躍。j點處通過倍周期分岔變?yōu)橹芷?運動，在k點又重新回到周期2運動，周期2運動在l點再次發(fā)生跳躍，在m點通過倍周期分岔進入混沌。轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，在n點處系統(tǒng)的響應通過倍周期分岔脫離混沌，o點處變?yōu)橹芷?運動，p點為鞍結(jié)分岔點，系統(tǒng)響應在該處通過切分岔陣發(fā)性進入混沌。

系統(tǒng)響應在q點（如圖10（b）所示）附近通過倍周期分岔退出混沌，然后在r點處通過鞍結(jié)分岔進入混沌。隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)發(fā)生邊界激變，混沌吸引子消失，響應回到周期2運動，然后在t點處經(jīng)過倍周期分岔變?yōu)橹芷?運動。圖11中周期1運動在u點處發(fā)生倍周期分岔，由于該分岔點為亞臨界分岔點，系統(tǒng)的響應在該處發(fā)生跳躍，變?yōu)橹芷?運動，進而在v點通過倍周期分岔變?yōu)橹芷?運動，然后在w點退出，回到周期2運動，在x點通過鞍結(jié)分岔陣發(fā)性進入混沌。在y點附近系統(tǒng)響應通過倍周期分岔退出混沌，然后在z點處變?yōu)橹芷?運動。系統(tǒng)響應在a1處通過鞍結(jié)分岔發(fā)生跳躍，變?yōu)檎穹^小的周期1運動，b1為又一個亞臨界倍周期分岔點，系統(tǒng)響應發(fā)生跳躍變?yōu)橹芷?運動，進而在c1點通過倍周期分岔回到周期1運動，d1點處發(fā)生鞍結(jié)分岔，響應出現(xiàn)跳躍，轉(zhuǎn)子脫離碰摩。

圖12是葉輪轉(zhuǎn)子降速的情況分析，可以看到轉(zhuǎn)子在e1點處通過切分岔陣發(fā)性進入混沌，碰摩開始，在f1點處通過Hopf分岔脫離混沌，隨著轉(zhuǎn)速的下降，系統(tǒng)在g1點和h1點發(fā)生鞍結(jié)分岔，出現(xiàn)跳躍，在周期1和周期2運動之間相互轉(zhuǎn)換，進而在i1點處通過鞍結(jié)分岔再次進入混沌。圖8-12的數(shù)值分岔圖很好地驗證了周期解求解和穩(wěn)定性計算的結(jié)果。

3 結(jié) 論

葉輪轉(zhuǎn)子碰摩時，不同時刻發(fā)生接觸的葉片數(shù)量以及每個葉片的侵入深度都不同，使得系統(tǒng)的響應異常復雜。本文針對葉輪轉(zhuǎn)子葉尖碰摩的動力學響應以及周期解的分岔和穩(wěn)定性開展研究，取得了如下成果：

建立了葉輪轉(zhuǎn)子碰摩的動力學方程，利用數(shù)值計算研究了系統(tǒng)響應隨轉(zhuǎn)速的變化，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)了多種復雜周期運動和混沌等響應形式，并有倍周期分岔和跳躍等現(xiàn)象發(fā)生。將同倫延拓法和打靶法相結(jié)合，在龐加萊截面上通過切向預估和法向校正，形成了一種新的延續(xù)的打靶法，將其應用于葉輪轉(zhuǎn)子碰摩周期解和穩(wěn)定性計算中，給出了周期1和周期2運動的分岔圖，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速的變化，出現(xiàn)了大量穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期解，系統(tǒng)在受擾動后可能發(fā)生復雜的周期響應。研究了系統(tǒng)進入和退出混沌的道路，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)進入混沌的路徑主要是鞍結(jié)分岔和倍周期分岔，退出混沌的路徑包括倍周期分岔、Hopf分岔以及邊界激變。

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Abstract： The rubbing response of the blade rotor and the bifurcation and stability of the periodic solutions are studied. Based on the model of tip impact force composed of linear contact force and Coulomb friction force， the dynamic equation of the blade rotor rubbing system is established. The bifurcation diagram of the system response with the rotation velocity as the bifurcation parameter is given by numerical calculation. It is found that during the rubbing， the system exhibits various response forms such as periodic motion and chaos， and the phenomena of period-doubling bifurcation， jump and conversion between chaotic attractors occur. The homotopy continuation method and the shooting method are combined to form a new continuous shooting method by tangential prediction and normal correction on Poincare section. Applying it to the periodic solutions′ calculation and stability analysis of blade rotor rubbing， the bifurcation diagram of periodic rubbing response is given. It is found that a large number of locally stable periodic solutions appear in the system as the rotation velocity changes. Based on the bifurcation diagram of periodic solutions， the path of the system entering and exiting chaos is studied. The path that the system enters into chaos is mainly saddle-node bifurcation and double-cycle bifurcation， while the response exits chaos through period-doubling bifurcation， Hopf bifurcation and boundary crises.

Key words： bifurcation; stability; blade rotor; rubbing; continuous shooting method

作者簡介： 張華彪（1984-），男，講師。電話：13821927750;E-mail：hbzhang5220@qq.com