考慮載荷不確定性的多材料結(jié)構(gòu)穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化

趙清海, 張洪信, 蔣榮超, 華青松, 袁 林

(1.青島大學(xué) 電動(dòng)汽車智能化動(dòng)力集成技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程研究中心，山東 青島 266071;2.青島大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266071)

以拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)為代表的先進(jìn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域起到關(guān)鍵的引領(lǐng)作用。相較于尺寸優(yōu)化與形狀優(yōu)化，拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用于概念設(shè)計(jì)階段，層次更高且更為復(fù)雜，其優(yōu)化結(jié)果為后續(xù)詳細(xì)設(shè)計(jì)提供參考，對(duì)結(jié)構(gòu)的性能以及成本等均起著決定性的影響[1]。

傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化是在確定性條件下進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，然而由于工藝差異、材料非均質(zhì)等因素導(dǎo)致材料屬性具有不確定性；同時(shí)由于制造誤差、裝配偏差等致使幾何尺寸具有不確定性；且由于行駛工況時(shí)變性、運(yùn)行環(huán)境多變性等引起載荷工況具有不確定性。在這些不確定性因素影響下，結(jié)構(gòu)性能勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)較大波動(dòng)，甚至發(fā)生破壞與失效[2-4]。因此考慮不確定性條件的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法具有重要的研究?jī)r(jià)值。

不確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)通常分為兩種：可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[5-6]與穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[7-8]?？煽啃酝?fù)鋬?yōu)化側(cè)重安全性，獲得滿足約束條件失效概率下的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案；穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化側(cè)重穩(wěn)定性，降低性能對(duì)不確定性因素的敏感度。目前，穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)已成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)之一。依據(jù)不確定性變量的數(shù)學(xué)描述，穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)又可分為兩大類：非概率型與概率型[9-10]。Thore等[11]采用最不利工況法，研究非概率型載荷不確定性對(duì)應(yīng)力約束下結(jié)構(gòu)柔度最小化問(wèn)題的影響。Zhao等[12]分別利用蒙特卡洛法與矩分解法，進(jìn)行集中載荷與分布載荷不確定性的穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。Martinez-Frutos等[13]結(jié)合GPU并行計(jì)算方法與稀疏網(wǎng)格技術(shù)進(jìn)行滿足載荷隨機(jī)場(chǎng)分布特征的穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化研究。付志方等[14]提出了載荷不確定性條件下周期性結(jié)構(gòu)穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型。Holmberg等[15]等提出廣義納什均衡博弈理論進(jìn)行橢圓概率分布載荷不確定性的穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

上述文獻(xiàn)研究大都基于單材料進(jìn)行穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，多材料結(jié)構(gòu)較少涉及。然而，隨著3D增材打印技術(shù)的出現(xiàn)，多材料結(jié)構(gòu)加工制造成為可能[16-18]。目前多材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法分為以下幾類：均勻化/變密度法；相場(chǎng)法；水平集法以及組合優(yōu)化法等。Sigmund等[19]探討基于變密度法的三材料拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，但構(gòu)建材料插值模型較為復(fù)雜。Wang等[20]建立彩色水平集數(shù)學(xué)模型，將多材料拓?fù)鋬?yōu)化轉(zhuǎn)為求解Hamilton-Jacobi偏微分方程組，但優(yōu)化結(jié)果往往取決于初始設(shè)置。在此基礎(chǔ)上，Wang等[21]提出一種多材料水平集拓?fù)鋬?yōu)化模型，能夠有效避免“冗余相”的產(chǎn)生，通過(guò)提高解的收斂性有效降低初值依賴性。Zhou等[22]提出相場(chǎng)模型，建立基于廣義Cahn-Hilliard型偏微分方程的多材料拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，計(jì)算效率同樣受到考驗(yàn)。Tavakoli等[23]結(jié)合變密度法與交替相激活算法，將多材料拓?fù)鋬?yōu)化分解為內(nèi)層兩相拓?fù)鋬?yōu)化子問(wèn)題模型，外層進(jìn)行各材料設(shè)計(jì)變量耦合，導(dǎo)致模型計(jì)算量較大。

基于此，本文針對(duì)多材料結(jié)構(gòu)穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行研究，構(gòu)建多材料插值模型，并考慮載荷工況的不確定性。采用有序各向同性微結(jié)構(gòu)材料懲罰模型法(Ordered-Solid Isotropic Microstructures with Penalization, Ordered-SIMP)表征多材料插值模型?？紤]載荷不確定性分別為隨機(jī)變量與隨機(jī)場(chǎng)分布，針對(duì)載荷滿足隨機(jī)場(chǎng)分布時(shí)，通過(guò)K-L展開(kāi)將載荷隨機(jī)場(chǎng)離散化為有限個(gè)隨機(jī)變量加權(quán)和，進(jìn)而采用稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分方法進(jìn)行穩(wěn)健設(shè)計(jì)矩估計(jì)，將多材料穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化轉(zhuǎn)化為求解多工況加權(quán)多目標(biāo)確定性多材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。

1 多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題描述

在給定位移、載荷邊界條件和體積或質(zhì)量約束條件下，以獲得結(jié)構(gòu)最佳性能(如：結(jié)構(gòu)剛度最大化、特征值最大化或散熱弱度最小化)為目標(biāo)函數(shù)，尋求多種材料的用量、空洞構(gòu)型以及在設(shè)計(jì)空間的最佳材料分布方案，即為多材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[24]。通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，多材料拓?fù)鋬?yōu)化轉(zhuǎn)化為獲取網(wǎng)格單元填充何種材料或空洞設(shè)計(jì)問(wèn)題，多材料設(shè)計(jì)區(qū)域示意圖如圖1所示。

圖1 表征3種材料及空洞的設(shè)計(jì)區(qū)域

2 基于Ordered-SIMP方法的多材料結(jié)構(gòu)插值模型

常用的變密度法材料插值模型有SIMP法與RAMP法[25-26]。SIMP方法引入0-1區(qū)間連續(xù)變化的單元設(shè)計(jì)變量，建立材料屬性(如：彈性模量、導(dǎo)熱系數(shù))與設(shè)計(jì)變量之間的非線性函數(shù)關(guān)系，通過(guò)控制設(shè)計(jì)變量取值決定單元取舍，實(shí)現(xiàn)材料最佳布局。SIMP法具有形式簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)敏度推導(dǎo)等優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于單材料設(shè)計(jì)問(wèn)題，表達(dá)式為

E(xe)=(xe)pE0xe∈[0,1]

(1)

式中:xe為單元相對(duì)密度，即設(shè)計(jì)變量；p為懲罰因子；E為插值后材料彈性模量；E0為實(shí)體材料的彈性模量。

對(duì)于多材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，首先將各材料的彈性模量、密度進(jìn)行歸一化處理，使材料屬性轉(zhuǎn)化為無(wú)量綱的相對(duì)值，描述為

(2)

引入比例系數(shù)AE與平移系數(shù)BE，建立基于Ordered-SIMP的多材料插值模型為

(3)

圖2 基于Ordered-SIMP的多材料插值模型

Fig.2 Multi-material interpolation model based on Ordered-SIMP

3 多材料結(jié)構(gòu)穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化模型

對(duì)于穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，所涉及變量一般分為確定性變量與不確定性變量。其中，確定性變量x，即為多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量；不確定性變量ξ為載荷工況，考慮服從一定的概率分布。基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，典型的度量結(jié)構(gòu)性能穩(wěn)健性的指標(biāo)有：均值與標(biāo)準(zhǔn)差。因此，建立多材料結(jié)構(gòu)穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型如下

(4)

式中:w為權(quán)重因子，w∈[0,1]；K、U與F分別為結(jié)構(gòu)剛度矩陣、位移矢量與結(jié)構(gòu)載荷；ve為單元體積；V0與f分別為設(shè)計(jì)區(qū)域總體積與體積比；Ne為單元總數(shù)；xmax與xmin分別為設(shè)計(jì)變量的上下限；μc(x,ξ)與σc(x,ξ)分別為結(jié)構(gòu)柔度c(x,ξ)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，分別表示如下

(5)

(6)

式中，p(ξ)為ξ聯(lián)合概率密度函數(shù)。結(jié)構(gòu)柔度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)于設(shè)計(jì)變量xe的敏度分別表示為

(7)

(8)

4 載荷工況隨機(jī)場(chǎng)離散化

載荷工況的不確定性可采用隨機(jī)變量或隨機(jī)場(chǎng)來(lái)表征。對(duì)于存在空間關(guān)聯(lián)性的分布載荷滿足高斯隨機(jī)場(chǎng)模型時(shí)，可通過(guò)K-L變換將隨機(jī)場(chǎng)轉(zhuǎn)化為有限個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量在相應(yīng)權(quán)重下的累加和[27]。

定義連續(xù)空間域Ω的二維載荷隨機(jī)場(chǎng)為ξ(θ,χ)，其中，θ為空間坐標(biāo)，定義為θ=(θ1,θ2)；χ標(biāo)記為隨機(jī)坐標(biāo)；則隨機(jī)場(chǎng)的K-L展開(kāi)可描述為

(9)

式中，e(θ)為均值；λi與fi(θ)分別為第i階特征值和正交特征向量，滿足Fredholm積分方程

(10)

式中，C(θ1,θ2)為隨機(jī)場(chǎng)的協(xié)方差。ui(χ)為互不相關(guān)的隨機(jī)變量，滿足如下條件

(11)

式中，δij為Kronecker-delta函數(shù)，滿足i=j時(shí)δij=1，其它為0。獨(dú)立正交隨機(jī)變量ui(χ)定義為

(12)

當(dāng)K-L展開(kāi)應(yīng)用于隨機(jī)場(chǎng)ξ(θ,χ)離散時(shí)，定義d維隨機(jī)向量ξ(θ)，其元素映射于ξ(θ,χ)中d個(gè)觀測(cè)值。則載荷隨機(jī)場(chǎng)的K-L展開(kāi)定義為

(13)

式中，e為d個(gè)觀測(cè)點(diǎn)處隨機(jī)場(chǎng)均值；λi與fi分別為相關(guān)矩陣C的第i階特征值和正交特征函數(shù)，可由下式求解[28]

Cfi=λifi

(14)

式中，相關(guān)矩陣C定義為

C=

(15)

在實(shí)際問(wèn)題中，通常用從最大特征值依次降低的前幾階特征值相對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量來(lái)近似反映隨機(jī)過(guò)程的主要概率特征，取前M項(xiàng)，設(shè)置M<

(16)

式中，當(dāng)s足夠接近于1時(shí)，隨機(jī)場(chǎng)可有效的通過(guò)降維K-L展開(kāi)來(lái)表征[29-30]。

5 稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分方法

以Smolyak準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的稀疏網(wǎng)格方法，其基本思想是利用一維配置點(diǎn)的特殊張量積操作進(jìn)行線性組合來(lái)構(gòu)建多維求積公式[31-34]。其優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在：配置點(diǎn)數(shù)目被限制在一定的范圍之內(nèi)，自動(dòng)去除對(duì)計(jì)算精度貢獻(xiàn)較小的節(jié)點(diǎn)。將稀疏網(wǎng)格應(yīng)用于穩(wěn)健設(shè)計(jì)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)，基于嵌套分層原理，定義一維層間差分格式為

(17)

對(duì)含有d維載荷隨機(jī)變量的性能函數(shù)c，構(gòu)建具有l(wèi)-水平(l≥1)精度的稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分格式為

(18)

式中:?代表張量積運(yùn)算符；|k|為多維指標(biāo)之和(|k|=k1+,…,+kd)。對(duì)應(yīng)的稀疏網(wǎng)格配置點(diǎn)集合定義為

(19)

wi=

(20)

稀疏網(wǎng)格中配置點(diǎn)的數(shù)目為

(21)

通過(guò)調(diào)整水平精度l值，可有效提高稀疏網(wǎng)格積分精度?；贜ewton-Cotes積分法則，構(gòu)建Clenshaw-Curtis型稀疏網(wǎng)格HT∈[-1,1]，定義一維配置點(diǎn)為

(22)

配置點(diǎn)序列為

(23)

相應(yīng)的權(quán)值計(jì)算為

(24)

采用稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分方法進(jìn)行多材料結(jié)構(gòu)穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差求解，計(jì)算表達(dá)式如下

(25)

(26)

目標(biāo)函數(shù)均值與標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度計(jì)算為

(27)

(28)

6 多材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量更新

目前結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)值求解算法分為：優(yōu)化準(zhǔn)則法(Optimality Criteria, OC)、數(shù)學(xué)規(guī)劃算法(Mathematical Programming, MP)與智能優(yōu)化算法。其中，OC算法具有收斂速度快，計(jì)算規(guī)模與設(shè)計(jì)變量的數(shù)目無(wú)關(guān)等優(yōu)點(diǎn)[38-39]。本文選取OC算法進(jìn)行多材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量求解。

OC算法依據(jù)庫(kù)恩-塔克(Kuhn-Tucker，K-T)條件作為優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則[40]，引入拉格朗日乘積因子，建立多材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量迭代格式

(29)

式中:k為迭代次數(shù)；η為阻尼系數(shù)，取值為0.5；move(k)為正的移動(dòng)限值，定義為

move(k)=max(α(k)move0,mmin)

(30)

(31)

式中，λ1為拉格朗日乘子，通過(guò)半分法計(jì)算得到。

在優(yōu)化迭代過(guò)程中，收斂準(zhǔn)則根據(jù)設(shè)計(jì)變量相對(duì)變化率來(lái)判定，定義為

(32)

7 多材料穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)算法

綜上所述，采用Ordered-SIMP方法進(jìn)行多材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量表征，同時(shí)借助K-L變換將載荷隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行離散化，通過(guò)稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分方法進(jìn)行穩(wěn)健設(shè)計(jì)矩估計(jì)，進(jìn)而將多材料穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化轉(zhuǎn)化為求解一組多材料多工況加權(quán)多目標(biāo)確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。在計(jì)算過(guò)程中，采用OC算法進(jìn)行設(shè)計(jì)變量更新，為了獲得良好的優(yōu)化結(jié)果，采用傳統(tǒng)的靈敏度過(guò)濾方法，抑制數(shù)值不穩(wěn)定性問(wèn)題。多材料結(jié)構(gòu)穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，具體步驟描述如下：

步驟1 多材料設(shè)計(jì)變量x與相關(guān)設(shè)置初始化。

步驟2 采用K-L變換將載荷隨機(jī)場(chǎng)ξ(θ)離散化為有限個(gè)隨機(jī)變量ui(θ)(i=1,2,…,d)。

步驟4 優(yōu)化循環(huán)開(kāi)始(loop=1)

步驟5 輸出多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型。

8 數(shù)值算例

借助二維數(shù)值算例驗(yàn)證所提方法的有效性，算例1與2分別考慮載荷為隨機(jī)變量與隨機(jī)場(chǎng)分布時(shí)，對(duì)多材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響。

算例1如圖3所示L型平板結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)區(qū)域幾何尺寸為L(zhǎng)=60，頂端固定，右上端點(diǎn)位置處受垂直向下的集中載荷F作用，分析情況如下：①確定性載荷工況，幅值為1；②不確定性載荷工況，其中幅值與相位為兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量。相位θ滿足連續(xù)均勻分布，分布區(qū)間為[-3π/4,-π/4]；幅值滿足正態(tài)分布，均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為1和0.30。結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)約束為20%。材料參數(shù)設(shè)置如表1所示。

圖3 L型平板設(shè)計(jì)區(qū)域

表1 三種材料參數(shù)設(shè)置

設(shè)計(jì)區(qū)域離散為6 400(80×80)個(gè)平面四邊形單元，對(duì)于穩(wěn)健設(shè)計(jì)目標(biāo)柔度的均值與標(biāo)準(zhǔn)差權(quán)系數(shù)分別設(shè)置為0.5。將載荷幅值與相位以及相應(yīng)的權(quán)值通過(guò)Clenshaw-Curtis型稀疏網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算，配置點(diǎn)與權(quán)值信息如圖4所示。設(shè)置不同材料組合方案，(1)方案I：材料A、材料B、材料C與孔洞；(2)方案II：材料A、材料C與孔洞；(3)方案III：材料B、材料C與孔洞；(4)方案IV：材料C與孔洞。確定性設(shè)計(jì)與穩(wěn)健設(shè)計(jì)最優(yōu)拓?fù)洳牧戏植挤桨溉鐖D5所示。

由計(jì)算結(jié)果可知，針對(duì)不同材料組合方案，所提方法能有效獲得多材料結(jié)構(gòu)確定性設(shè)計(jì)與穩(wěn)健設(shè)計(jì)材料分布構(gòu)型，表明所提方法的有效性。與確定性設(shè)計(jì)相比較，穩(wěn)健設(shè)計(jì)獲得不同拓?fù)錁?gòu)型，特別是在結(jié)構(gòu)左上區(qū)域，出現(xiàn)材料填充增添載荷傳遞路徑，這是由于穩(wěn)健設(shè)計(jì)所考慮載荷工況的相位發(fā)生變化，結(jié)構(gòu)需承受水平方向的載荷分力作用。因此，針對(duì)載荷工況不確定性問(wèn)題，穩(wěn)健設(shè)計(jì)所得結(jié)果具有更加良好的穩(wěn)定性。

(a) 配置點(diǎn)分布

(b) 權(quán)值分布

圖4 稀疏網(wǎng)格配置點(diǎn)與權(quán)值信息(d=2；l=4；No=65)

Fig.4 Sparse grid points and weights information (d=2;l=4; No=65)

(a) 確定性設(shè)計(jì)

(b) 穩(wěn)健設(shè)計(jì)

(1) 方案I:材料A、材料B、材料C與孔洞

(a) 確定性設(shè)計(jì)

(b) 穩(wěn)健設(shè)計(jì)

(2) 方案II：材料A、材料C與孔洞

(a) 確定性設(shè)計(jì)

(b) 穩(wěn)健設(shè)計(jì)

(3) 方案III：材料B、材料C與孔洞

(a) 確定性設(shè)計(jì)

(b) 穩(wěn)健設(shè)計(jì)

(4) 方案IV：材料C與孔洞

圖5 多材料穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

Fig.5 Results of robust topology optimization for multi-materials

對(duì)于多材料結(jié)構(gòu)，不同材料組合條件下各材料分布方案具有差異性，這是由于各材料的EN與ρN值不同導(dǎo)致。以Case I為例，在多材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中，在彈性變形由大到小設(shè)計(jì)區(qū)域，分別由材料A、B、C與Void依次進(jìn)行填充，同時(shí)結(jié)構(gòu)受到材料體積約束的限制。

多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)均值與標(biāo)準(zhǔn)差迭代曲線如圖6所示(以Case I為例)。結(jié)果表明，所提確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)與穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法具有良好的收斂性，且收斂速度與材料的組合數(shù)目無(wú)關(guān)，這是由于算法的收斂設(shè)置。同時(shí)，確定性設(shè)計(jì)得到的結(jié)構(gòu)目標(biāo)柔度的均值與標(biāo)準(zhǔn)差均高于穩(wěn)健設(shè)計(jì)所獲得結(jié)構(gòu)柔度的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，所提多材料結(jié)構(gòu)穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法具有良好的魯棒性。充分證明了所提方法的有效性。

圖6 柔度均值與標(biāo)準(zhǔn)差隨迭代次數(shù)的變化曲線(Case I)

Fig.6 The iterative history of the mean and standard deviation of compliance(Case I)

算例2如圖7所示簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)空間為120×40的平面四邊形區(qū)域，底部?jī)啥诉M(jìn)行位移約束，頂端施加均布載荷，針對(duì)以下兩種載荷工況進(jìn)行探討：①載荷工況滿足確定性條件，幅值為1；②載荷工況滿足不確定性條件，服從隨機(jī)場(chǎng)分布，均值為1，標(biāo)準(zhǔn)差為0.3。隨機(jī)場(chǎng)的協(xié)方差滿足關(guān)系式

(32)

圖7 簡(jiǎn)支梁設(shè)計(jì)空間

將設(shè)計(jì)空間離散為4 800(120×40)個(gè)平面四邊形單元，材料的體積約束設(shè)定為0.3。設(shè)置三種不同的三材料組合方式，密度與彈性模量的歸一化關(guān)系曲線如圖8所示。

對(duì)于穩(wěn)健設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)均值與標(biāo)準(zhǔn)差的權(quán)重系數(shù)分別設(shè)置為0.5，對(duì)于載荷工況隨機(jī)場(chǎng)，采用K-L展開(kāi)離散化為三個(gè)隨機(jī)變量，表示為

(33)

式中，μF為載荷均值。借助稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分方法，獲得三個(gè)隨機(jī)變量離散配置點(diǎn)空間分布，如圖9所示。確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)與穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果如圖10所示。

由于結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)區(qū)域、垂向位移約束以及載荷工況均具有左右對(duì)稱特征，因此確定性設(shè)計(jì)與穩(wěn)健設(shè)計(jì)拓?fù)錁?gòu)型具有對(duì)稱性。但隨機(jī)場(chǎng)載荷條件下的材料分布較確定性載荷條件發(fā)生明顯的變化，主要集中在結(jié)構(gòu)中間下部填充桿狀材料，這是由于穩(wěn)健設(shè)計(jì)時(shí)不同幅值情況下多載荷工況影響相互疊加造成的。當(dāng)載荷發(fā)生變動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)整體承載更加穩(wěn)健，表明穩(wěn)健設(shè)計(jì)的必要性。同時(shí)可得到所提出的多材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法能有效獲得多材料分布構(gòu)型。針對(duì)不同的材料組合方案，該模型均具有良好的適用性。

圖8 三種多材料組合方案

圖9 配置點(diǎn)空間(d=3；l=4；No=177)

(a) 確定性設(shè)計(jì)

(b) 穩(wěn)健設(shè)計(jì)

(1) 方案I

(a) 確定性設(shè)計(jì)

(b) 穩(wěn)健設(shè)計(jì)

(2) 方案 II

(a) 確定性設(shè)計(jì)

(b) 穩(wěn)健設(shè)計(jì)

(3) 方案 III

圖10 多材料穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

Fig.10 Results of robust topology optimization for multi-materials

多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程均值與標(biāo)準(zhǔn)差迭代曲線如圖11所示。針對(duì)載荷工況確定性與不確定性條件，所提方法均能快速收斂到穩(wěn)定解，表明多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法的有效性。同時(shí)可以看出，當(dāng)考慮目標(biāo)函數(shù)穩(wěn)健性時(shí)，結(jié)構(gòu)柔度的均值與標(biāo)準(zhǔn)差一般低于確定性載荷條件下計(jì)算獲得的結(jié)構(gòu)柔度均值與標(biāo)準(zhǔn)差，充分證明所提方法的穩(wěn)健性。

(a) 均值

(b) 標(biāo)準(zhǔn)差

Fig.11 The iterative history of the mean and standard deviation of compliance

9 結(jié) 論

針對(duì)多材料結(jié)構(gòu)、載荷不確定性條件下的穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行研究。主要結(jié)論描述如下：

(1) 基于變密度理論的有序各向同性微結(jié)構(gòu)材料懲罰模型法Ordered-SIMP，給出多材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量模型描述?；诖?，搭建考慮目標(biāo)函數(shù)均值與標(biāo)準(zhǔn)差的多材料穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型。

(2) 針對(duì)載荷工況滿足隨機(jī)場(chǎng)分布，采用K-L變換將載荷隨機(jī)場(chǎng)離散化為有限個(gè)獨(dú)立正交隨機(jī)變量的加權(quán)和，進(jìn)而借助稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分方法，將穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為求解一組多工況加權(quán)確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。

(3) 應(yīng)用兩個(gè)典型算例，驗(yàn)證算法的有效性和穩(wěn)定性，結(jié)果表明：算法設(shè)置簡(jiǎn)便，且拓?fù)錁?gòu)型邊界清晰，易于實(shí)現(xiàn)多材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，且能夠快速收斂到穩(wěn)定解。

(4) 相較于確定性設(shè)計(jì)，穩(wěn)健設(shè)計(jì)多材料結(jié)構(gòu)構(gòu)型發(fā)生明顯的變化，材料分布合理，結(jié)構(gòu)具有良好的穩(wěn)健性。所提方法為實(shí)現(xiàn)多材料結(jié)構(gòu)穩(wěn)健拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)提供一種新的思路，具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值。