非均一方差的GNSS定位誤差模型檢驗*

賈靜怡，馬冠一，范江濤，盧偉俊，李 奇

(1. 中國科學院國家天文臺，北京 100101； 2. 中國科學院大學，北京 100049)

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)衛(wèi)星定位誤差分析中，主要使用測距誤差均一假設(shè)下的定位誤差模型，即當衛(wèi)星的測距誤差滿足相互獨立和方差均一的同分布條件時，定位誤差等于測距誤差標準差與幾何精度因子(Geometric Dilution of Precision, GDOP)的乘積[1]。幾何精度因子僅與衛(wèi)星的幾何分布有關(guān)，它與用戶接收機和可視衛(wèi)星形成的四面體或多面體的體積成反比[2]。有很多研究工作致力于參與定位選星工作，以得到盡可能小的幾何精度因子值[2-4]。測距誤差是對衛(wèi)星偽距測量值進行誤差校正后得到的偽距測量誤差量，其中包含未剔除干凈的對流層延遲、電離層延遲、多徑干擾與接收機噪聲等誤差項。實際定位解算中，由于衛(wèi)星間的相互差異、傳播路徑不同等因素，不同衛(wèi)星測距誤差的統(tǒng)計特征難以相同，無法滿足方差均一的條件[5]。尤其當某顆衛(wèi)星信號受到多徑效應(yīng)或電離層閃爍影響時，其測距誤差顯著增大[6-8]。圍繞多徑干擾、電離層閃爍與定位誤差間的關(guān)系展開了很多研究工作，有研究給出統(tǒng)計分析和試驗結(jié)果，說明了多徑干擾、電離層閃爍對定位誤差存在影響[6-8]，但尚未給出統(tǒng)一的結(jié)論描述多徑效應(yīng)、電離層閃爍與定位誤差之間的關(guān)系。有研究提議剔除測距誤差大的衛(wèi)星，但這樣做改變了衛(wèi)星的星座分布，可能會惡化幾何精度因子[9]，該措施對定位精度的維持起一定作用，但對于一般的用戶接收機并不實用。因此，在測距誤差非均一的實際定位解算中，尤其當衛(wèi)星信號受到多徑干擾或電離層閃爍影響時，如何保證衛(wèi)星導航定位精度，如何在一般用戶接收機中實施，需要考察非均一測距誤差如何影響定位精度。已有研究針對全球定位系統(tǒng)定位考察了非均一偽距誤差對定位誤差的影響，給出了定位誤差模型[10]。

本文旨在對衛(wèi)星測距誤差非均一時的定位誤差模型進行驗證。首先利用奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)方法對幾何矩陣進行分解，推導出定位誤差協(xié)方差表達式，給出定位誤差模型。接下來利用北京站與香港站的實測數(shù)據(jù)，對受到多徑效應(yīng)與電離層閃爍影響的衛(wèi)星信號進行定位解算，將定位結(jié)果與非均一測距誤差下的理論模型進行對比和分析。最后給出了結(jié)論。

1 基于奇異值分解方法的定位誤差模型

在線性代數(shù)中，奇異值分解是分解矩陣的基本方法，利用奇異值分解方法求解方程在理論上與最小二乘法是完全等效的。奇異值分解的優(yōu)勢在于它能夠給出矩陣的偽逆，從而推導出解的簡潔、自約束的表達式，從奇異值分解中得到的奇異值和正交向量可以洞察問題的幾何與理論內(nèi)涵。并且奇異值分解求解具有數(shù)值穩(wěn)定性，相比易受舍入誤差影響且方程自身奇異的最小二乘解，奇異值分解方法解決了舍入問題，它是最小二乘法意義下的最優(yōu)近似解。

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)定位中，定位誤差方程可表示為

(1)

(2)

其中，δρ和ερ分別表示衛(wèi)星偽距測量值與估測值之差和測距誤差；[δxδyδzδb]T為用戶接收機位置與鐘差的未知修正量；G為幾何矩陣。利用奇異值分解方法對幾何矩陣G進行分解，可推導出定位誤差協(xié)方差表達式，給出定位誤差模型。

用奇異值分解方法對幾何矩陣G進行分解：

G=Udiag(ωi)VT,

(3)

G矩陣的偽逆為

G+=Vdiag(λi)UT，λi=1/ωi,

(4)

其中，

(5)

(6)

U和V是正交矩陣，U的列向量和V的列向量分別是GGT與GTG的特征向量；diag(ωi)和diag(λi)是4 × 4的對角陣；ωi和λi(i=1, 2, 3, 4)分別是G和G+的奇異值，ω1≤ω2≤ω3≤ω4，λ1≥λ2≥λ3≥λ4。

用εr表示定位誤差，定位誤差協(xié)方差可表示為

Cov(εr)=G+E(ερερT)(G+)T=Vdiag(λi)UTE(ερερT)Udiag(ωi)VT.

(7)

1.1 基于奇異值分解方法的均一方差定位誤差模型

衛(wèi)星的測距誤差服從獨立、零均值并具有相同方差的正態(tài)分布時，測距誤差模型特性如下：

E(ερ)=0,Cov(ερ)=σ02IN×N,E(ερ(i)ερ(j))=0,i≠j,

(8)

其中，σ02為衛(wèi)星的測距誤差的方差。由(7)式可得定位誤差的協(xié)方差矩陣：

Cov(εr)=Vdiag(λi2)VTσ02.

(9)

該矩陣為一實對稱矩陣，可表示為Hσ02，H=(GTG)-1為幾何精度因子矩陣。因此，

H=Vdiag(λi2)VT,

(10)

V的4個列向量(V1V2V3V4)是矩陣H的特征向量，λ12≥λ22≥λ32≥λ42是H的4個特征值。定位誤差的分布是一個四維橢球，(V1V2V3V4)定義了誤差橢球4個主軸的方向，V1是主軸，σ0λ1,σ0λ2,σ0λ3,σ0λ4是橢球的半軸長[10]。

1.2 基于奇異值分解方法的非均一方差定位誤差模型

當衛(wèi)星的測距誤差無法滿足具有相同方差的正態(tài)分布條件時，用σn2表示第n顆衛(wèi)星的測距誤差方差，測距誤差模型特性如下：

E(ερ)=0 ,

Cov(ερ)=diag(σn2),n=1,2,…,N,

E(ερ(i)ερ(j))=0,i≠j.

(11)

由(7)式可得定位誤差的協(xié)方差矩陣：

Cov(εr)=Vdiag(λi)UTdiag(σn2)Udiag(ωi)VT,i=1,2,3,4;n=1,2,…,N.

(12)

可以看出，在衛(wèi)星測距誤差非均一的情況下，定位誤差模型更加復雜。

假設(shè)n顆衛(wèi)星中測距誤差方差最小為σ02，σn2≥σ02，將(12)式中的定位誤差協(xié)方差矩陣展開，可得總的定位誤差協(xié)方差矩陣Cov(εr)T[10]：

(13)

Cov(εr)T由同方差性定位誤差與測距誤差方差增量帶來的定位誤差增量總和兩部分組成。Cov(εr)T不僅與V，λi2，σ02有關(guān)，還與測距誤差方差增量σn2-σ02和U矩陣中第n行向量有關(guān)。

從(13)式可以看出，Cov(εr)T是一個實對稱矩陣。用VT的4個列向量表示Cov(εr)T的特征向量，ξT12,ξT22,ξT32,ξT42表示Cov(εr)T的特征值。根據(jù)矩陣特征值交織定理，ξTi2與λi2σ02關(guān)系如下：

(14)

其中，

(15)

定位誤差協(xié)方差矩陣可用特征值與特征向量表示為

Cov(εr)T=VTdiag(ξTi2)VTT.

(16)

由此可知，當衛(wèi)星測距誤差非均一時，定位誤差的分布是一個四維橢球，VT1,VT2,VT3,VT4定義橢球的4個主軸，VT1是主軸，ξT1,ξT2,ξT3,ξT4是橢球的半軸長。該橢球相比測距誤差均一假設(shè)下的定位誤差橢球，主軸朝一特定方向趨近，該方向與星座分布、測距誤差方差增大的衛(wèi)星的位置均有關(guān)[10]。誤差橢球軸長因測距誤差方差增量而增加，主軸增加的最多。當σn2遠大于σ02時，ξT12將遠大于λ12σ02，誤差橢球主要沿主軸方向被拉長。所有衛(wèi)星的測距誤差方差增量將大大拉長定位誤差橢球[10]。

2 基于奇異值分解方法的定位結(jié)果分析

本文利用北京站與香港站的實測數(shù)據(jù)對基于奇異值分解的定位誤差模型進行驗證。選取衛(wèi)星信號受到多徑干擾和電離層閃爍影響時的數(shù)據(jù)進行定位解算,此時衛(wèi)星測距誤差顯著增大，根據(jù)定位誤差模型，定位誤差橢球主軸將明顯偏轉(zhuǎn)拉長。

首先對衛(wèi)星偽距進行擬合去趨勢處理得到衛(wèi)星測距誤差。接下來利用奇異值分解方法對受到多徑干擾與電離層閃爍影響的衛(wèi)星進行定位解算，得到實際定位結(jié)果。利用(9)式得到測距誤差均一假設(shè)下定位誤差橢球主軸的特征向量與特征值，利用(12)式和(16)式得到測距誤差非均一情況下實際定位誤差橢球主軸的特征向量與特征值，通過對比定位誤差橢球的特征向量特征值與實際定位結(jié)果，驗證定位誤差橢球模型的正確性。

2.1 定位解算參數(shù)

(1)地點坐標

選擇國際GPS服務(wù)(International GNSS Service, IGS)站中北京站BJFS與香港站HKSL兩個地點，分別考察多徑效應(yīng)和電離層閃爍對定位誤差的影響。北京站的坐標為39°54′50″ N，116°23′30″ E，香港站的坐標為22°22′19″ N，113°55′40″ E。香港站處于低緯地區(qū)，電離層閃爍事件發(fā)生頻繁。

(2)衛(wèi)星位置與偽距測量值

利用2014年4月25～27日、2014年3月20～22日、2014年6月20～22日、2014年9月22～24日、2014年12月21～23日、2014年2月27日、2014年3月10日的全球定位系統(tǒng)衛(wèi)星實測數(shù)據(jù)進行定位解算。偽距測量值與衛(wèi)星位置由IGS網(wǎng)站提供的采樣率為30 s觀測文件與導航電文獲得。

2.2 測距誤差提取方法

偽距測量值包含各種誤差，按照來源不同大致可分為3方面:與衛(wèi)星有關(guān)的誤差、與信號傳播有關(guān)的誤差及與接收機有關(guān)的誤差。測量誤差的兩個重要特征是其大小和變化快慢，根據(jù)變化快慢這個特征，上述各種誤差可以分為偏差和噪聲兩類。偏差是指在一段時間內(nèi)變化較慢的誤差。偏差量的大小具有一定穩(wěn)定性，可直接測量或者用數(shù)學模型預測。與偏差相反，噪聲是變化很快的一類誤差，具有統(tǒng)計特征，具體值很難預測。

觀測文件中記錄了衛(wèi)星的偽距觀測值，可知衛(wèi)星偽距變化存在一定趨勢，趨勢中包含衛(wèi)星到接收機的幾何距離和偽距測量偏差。對衛(wèi)星偽距隨時間變化曲線進行去趨勢處理，得到的殘差項即是測距誤差εp。

利用多項式擬合對衛(wèi)星偽距隨時間變化曲線進行擬合去趨勢處理，用均方根和系數(shù)R確定多項式系數(shù)，實現(xiàn)去趨勢后測距誤差最準確。

2.2.1 多徑效應(yīng)對測距誤差的影響

多徑效應(yīng)是指接收機天線接收到全球定位系統(tǒng)信號經(jīng)周圍地物反射后的信號，而每個反射信號又可能經(jīng)過一次或多次反射后到達天線。多徑效應(yīng)會降低載波相位以及偽距的測量精度，嚴重時還可以導致碼相位失鎖和衛(wèi)星信號失蹤。一般來說，低仰角衛(wèi)星信號更容易發(fā)生多徑現(xiàn)象。即衛(wèi)星仰角越小，多徑效應(yīng)發(fā)生的概率越大，偽距測量精度越低，測距誤差越大，σn越大。

圖1為2014年4月26日北京站測得的PRN14、15、18、21、22、24共6顆衛(wèi)星24小時內(nèi)測距誤差標準差σn隨仰角變化圖。設(shè)置衛(wèi)星仰角截止角為10°。從圖1可以看出，隨著仰角變小，衛(wèi)星信號受多徑效應(yīng)影響，σn由0.25 m變大到2 m?？赏ㄟ^仰角大小判斷衛(wèi)星信號測距誤差是否受到多徑效應(yīng)的影響。

2.2.2 電離層閃爍對測距誤差的影響

電離層閃爍導致電離層中傳播的無線電信號快速起伏，嚴重時引起信號的中斷，是影響空間無線電系統(tǒng)性能的重要因素。低緯的赤道異常區(qū)是全球范圍內(nèi)電離層閃爍出現(xiàn)最頻繁、影響最嚴重的地區(qū)之一[8]。電離層閃爍可以引起用戶接收機測量誤差增大[8]。

電離層電子密度總量(Total Electron Content, TEC)變化率指數(shù)(Rate of TEC Index, ROTI)越大，閃爍現(xiàn)象越嚴重[11]。圖2給出了2014年3月香港站受電離層閃爍影響衛(wèi)星的測距誤差標準差σn隨ROTI的變化情況。由圖2可見，σn在0.2 m至3 m之間變化，且隨著ROTI值的增大，σn呈增大趨勢。可通過ROTI值判斷衛(wèi)星信號測距誤差是否受到電離層閃爍的影響。

圖1 測距誤差標準差隨仰角變化
Fig.1σnelevation-varying graph

圖2 測距誤差標準差隨ROTI變化
Fig.2σnROTI-varying graph

2.3 實際定位結(jié)果分析

2.3.1 多徑效應(yīng)影響下的定位誤差分析

在實測數(shù)據(jù)中，衛(wèi)星星座分布隨時間變化，選擇在一定時間段內(nèi)星座分布變化較小的數(shù)據(jù)對定位誤差模型進行驗證。2014年4月25～27日，每日0:20～0:35(歷元40～70)，北京站可視衛(wèi)星的方位角與仰角變化范圍小于5°，星座分布基本一致。設(shè)置衛(wèi)星仰角截止角為10°，衛(wèi)星仰角在10°到30°之間時，衛(wèi)星受多徑效應(yīng)影響。0:20～0:35視野中有PRN14、15、18、21、22、24共6顆衛(wèi)星，有且僅有PRN14一顆衛(wèi)星受到多徑效應(yīng)影響。圖3給出了2014年4月26日視野內(nèi)每顆衛(wèi)星全天的σn隨時間變化曲線?？梢?，在實際定位中，衛(wèi)星測距誤差是非均一的，當衛(wèi)星受到多徑干擾時，σn顯著增大。

圖3 2014年4月26日衛(wèi)星測距誤差標準差隨時間變化

Fig.3σntime-varying curve on April 26, 2014

在站心坐標系下進行定位解算，坐標系中E-N方向為水平方向。坐標原點(0, 0)代表接收機位置，x軸正向代表接收機東向，y軸正向代表接收機北向。定位點與實際接收機位置的偏差，即定位誤差(Positioning Error)。圖4為2014年4月25～27日北京站定位結(jié)果在水平方向上投影的分布圖。

圖4 2014年4月25日、26日、27日北京站定位結(jié)果分布
Fig.4 Positioning of BJFS on April 25, 2014, April 26, 2014, April 27, 2014

將0:20～0:35的30個水平方向定位結(jié)果用紅點標出，全天24小時內(nèi)2 880個定位結(jié)果用藍點標出。圖中衛(wèi)星仰角60°，30°，0°分別對應(yīng)半徑為2 m，4 m，6 m的圓，衛(wèi)星方位角與定位誤差方位對應(yīng)。將受到多徑干擾的PRN14號衛(wèi)星15分鐘內(nèi)的方位角與仰角均值用紅色星形標出，其他星均由黃色星形表示。

圖5給出了2014年春分、夏至、秋分、冬至及其前后兩天北京站水平方向的定位分布。圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)、圖5(d)分別由2014年3月20日～22日每日04:10～04:25、2014年6月20日～22日每日02:30～02:45、2014年9月22日～24日每日01:35～01:50、2014年12月21日～23日每日04:45～05:00的定位結(jié)果構(gòu)成。圖中衛(wèi)星仰角60°，30°，0°分別對應(yīng)半徑為8/3 m，16/3 m，8 m的圓，衛(wèi)星方位角與定位誤差方位對應(yīng)。

圖5 春分、夏至、秋分、冬至北京站定位結(jié)果
Fig.5 Positioning of BJFS on 2014-03-20～22, 2014-06-20～22, 2014-09-22～24, 2014-12-21～23

表1 北京站定位結(jié)果分析Table 1 Analysis of Positioning of BJFS

2.3.2 電離層閃爍影響下的定位誤差分析

通過ROTI值可以判斷衛(wèi)星信號是否受電離層閃爍的影響。根據(jù)計算結(jié)果得知，2014年2月27日16:00～17:00 PRN7號、9號衛(wèi)星與2014年3月10日18:00～19:00 PRN7號衛(wèi)星均受到較強的電離層閃爍的影響。其中，2014年2月27日16:25～16:40衛(wèi)星星座變化較小，此時視野內(nèi)有PRN1、7、9、11、19、28、32共7顆衛(wèi)星，其中PRN19、32號衛(wèi)星受到多徑干擾，PRN7號、9號衛(wèi)星受到電離層閃爍影響。

圖6給出了2014年2月27日這7顆衛(wèi)星的測距誤差標準差隨時間變化的曲線。由圖6可見，當衛(wèi)星信號受到多徑干擾或電離層閃爍影響時，σn明顯增大。

圖7為2014年2月27日香港站水平方向的定位結(jié)果分布圖，藍點標記全天的定位結(jié)果，紅點標記16:25～16:40的定位結(jié)果。用紅色星形標記受到多徑干擾的PRN19號衛(wèi)星與PRN32號衛(wèi)星，用綠色星形標記受到電離層閃爍影響的PRN7號衛(wèi)星與PRN9號衛(wèi)星，其他星均由黃色星形標記。

圖6 2014年2月27日香港站衛(wèi)星測距誤差標準差隨時間的變化

Fig.6σntime-varying curve on Feb 27, 20

結(jié)合定位分布圖與計算結(jié)果可知，實際定位結(jié)果在軸向、軸長兩方面均與非均一方差定位誤差模型相吻合，且多顆衛(wèi)星測距誤差標準差均顯著增大時，誤差橢球主軸拉長更為明顯。

圖7 2014年2月27日香港站定位結(jié)果
Fig.7 Positioning of HKSL on Feb 27, 2014

圖8 2014年3月10日香港站定位結(jié)果
Fig.8 Positioning of HKSL on Mar 10, 2014

3 結(jié) 論

本文對全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)測距誤差非均一時的定位誤差特性進行研究，利用奇異值分解方法給出了非均一方差定位誤差模型。模型指出，當測距誤差非均一時，定位誤差在空間呈四維橢球分布，橢球的軸向和軸長可由對定位誤差協(xié)方差矩陣進行奇異值分解獲得。與測距誤差均一假設(shè)下的定位誤差橢球相比，測距誤差非均一時，定位誤差橢球因測距誤差方差增量偏轉(zhuǎn)拉長。當有衛(wèi)星測距誤差方差顯著增大時，主軸偏轉(zhuǎn)明顯，橢球主要沿主軸被拉長。本文利用北京站與香港站的實測數(shù)據(jù)對模型進行檢驗。首先對衛(wèi)星偽距進行擬合去趨勢處理，提取衛(wèi)星的測距誤差，接著對受多徑干擾和電離層閃爍影響的衛(wèi)星進行定位解算分析。結(jié)果表明：衛(wèi)星信號受到多徑干擾或電離層閃爍影響時，測距誤差標準差顯著增大。此時實際定位誤差橢球相較測距誤差均一假設(shè)下的定位誤差橢球，主軸方向明顯旋轉(zhuǎn)，主軸明顯拉長。實際定位結(jié)果與非均一定位誤差橢球主軸方向一致，分布范圍與橢球主軸半軸長吻合。可見，非均一方差定位誤差模型可以準確描述幾何精度因子、測距誤差與定位誤差之間的關(guān)系，為進一步研究定位精度提供依據(jù)。

致謝：感謝IGS網(wǎng)站提供GNSS實測數(shù)據(jù)；感謝中國科學院國家天文臺李婧華老師在數(shù)據(jù)處理方面的支持與幫助。