一種激光導(dǎo)引星自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中激光上行到達(dá)角起伏測(cè)量方法的研究*

黃 凱，曹 進(jìn)，肖 嘯，李語(yǔ)強(qiáng)

(1. 樂(lè)山師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000；2. 中國(guó)科學(xué)院云南天文臺(tái)， 云南 昆明 650011)

自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)需要足夠亮度的導(dǎo)引星作為波前探測(cè)的信標(biāo)，可以利用目標(biāo)本身作為信標(biāo)，也可以在目標(biāo)的等暈區(qū)范圍內(nèi)尋找一顆合適亮度的自然導(dǎo)引星作為信標(biāo),這樣的系統(tǒng)稱為自然導(dǎo)引星自適應(yīng)光學(xué)(NGS-AO)系統(tǒng)。1985年，文[1]提出將人造激光導(dǎo)引星應(yīng)用于天文自適應(yīng)觀測(cè)。激光導(dǎo)引星發(fā)射在目標(biāo)的等暈區(qū)范圍內(nèi)，用于自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的波前探測(cè)，這樣的系統(tǒng)稱為激光導(dǎo)引星自適應(yīng)光學(xué)(LGS-AO)系統(tǒng)。理想的人造信標(biāo)需要具有足夠亮度，并且與目標(biāo)的相對(duì)位置穩(wěn)定。目前激光導(dǎo)引星雖然能夠達(dá)到滿足天文觀測(cè)的亮度(Keck II望遠(yuǎn)鏡配備的下一代激光系統(tǒng)能夠在天頂角小于15°范圍內(nèi)制造相當(dāng)于R波段7.5等亮度的鈉導(dǎo)星[2])，但是并不穩(wěn)定，還需要在傾斜等暈區(qū)范圍內(nèi)尋找一顆恒星為其校正波前傾斜。如圖1，激光上行光路受大氣湍流的影響，瞬時(shí)的激光信標(biāo)與激光發(fā)射光軸有一定的偏移，這導(dǎo)致自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)波前傳感器探測(cè)到的激光導(dǎo)引星波前傾斜量失真。

對(duì)激光導(dǎo)引星波前傾斜測(cè)量方法的研究最早由FOY等人在20世紀(jì)90年代展開(kāi)[3]。1995年，文[4]提出利用輔助望遠(yuǎn)鏡發(fā)射激光，主望遠(yuǎn)鏡從側(cè)面探測(cè)激光導(dǎo)引星的方法，并于2000年報(bào)道了實(shí)驗(yàn)結(jié)果：在西班牙Calar Alto天文臺(tái)利用3.6 m望遠(yuǎn)鏡發(fā)射激光，2.2 m望遠(yuǎn)鏡從側(cè)面探測(cè)激光束，并借助一顆自然導(dǎo)引星成功探測(cè)到了目標(biāo)的一維波前傾斜[5]。2000年，文[6]提出利用主望遠(yuǎn)鏡發(fā)射激光，輔助望遠(yuǎn)鏡探測(cè)激光投影的方法，對(duì)輔助望遠(yuǎn)鏡中成像的激光帶使用統(tǒng)計(jì)平均算法得到激光上行的波前傾斜。1997年，文[7]對(duì)激光導(dǎo)引星自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的波前傾斜測(cè)量進(jìn)行理論上的分析，并對(duì)多種輔助望遠(yuǎn)鏡方案進(jìn)行了對(duì)比和分析。2000年開(kāi)始，中國(guó)科學(xué)院云南天文臺(tái)和中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所合作展開(kāi)激光瑞利導(dǎo)引星項(xiàng)目的實(shí)驗(yàn)研究[8]，同時(shí)開(kāi)始關(guān)注激光導(dǎo)引星用于大氣波前傾斜測(cè)量的問(wèn)題[9-10]，并于2014年利用云南天文臺(tái)1.2 m望遠(yuǎn)鏡為主望遠(yuǎn)鏡，25 cm望遠(yuǎn)鏡為輔助望遠(yuǎn)鏡實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了統(tǒng)計(jì)平均算法對(duì)于激光導(dǎo)引星波前傾斜測(cè)量的有效性[11-12]。2016年，文[13-14]詳細(xì)分析了傾斜 “互補(bǔ)” 假設(shè)的應(yīng)用條件，并提出一種非傾斜 “互補(bǔ)” 條件下基于多層層析技術(shù)的激光導(dǎo)引星波前傾斜探測(cè)方法。2016年，文[15]提出一種基于渦旋光束的激光導(dǎo)引星，可以在空中形成一個(gè)相比高斯光束更穩(wěn)定的人造信標(biāo)以解決激光導(dǎo)引星波前傾斜難以探測(cè)的問(wèn)題，研究結(jié)果表明，當(dāng)旋渦光束拓?fù)潆姾蓴?shù)等于10時(shí)，激光上行抖動(dòng)方差相比高斯光束減小31%。

圖1 激光導(dǎo)引星受激光上行大氣湍流的影響

Fig.1 Laser guide star is affected by laser upward atmospheric turbulence

本文提出一種基于望遠(yuǎn)鏡子孔徑探測(cè)的波前傾斜測(cè)量方法，利用優(yōu)選算法從子孔徑探測(cè)數(shù)據(jù)中分離出激光上行光路的到達(dá)角起伏。該方案有別于文[13]提出的多層層析方法，且只需要一顆激光導(dǎo)引星即可獲得穩(wěn)定的人造信標(biāo)。同時(shí)，可以有效地避免輔助望遠(yuǎn)鏡方案中由輔助望遠(yuǎn)鏡跟蹤、指向等問(wèn)題引入的探測(cè)困難。

1 激光導(dǎo)引星波前傾斜測(cè)量方法的系統(tǒng)布局

基于望遠(yuǎn)鏡子孔徑探測(cè)的激光導(dǎo)引星波前傾斜測(cè)量方法系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2。激光由發(fā)射望遠(yuǎn)鏡發(fā)射并在高空形成人造信標(biāo)，信標(biāo)光經(jīng)大氣湍流傳輸進(jìn)入主望遠(yuǎn)鏡。波前畸變的信標(biāo)光首先通過(guò)波前校正系統(tǒng)(由傾斜反射鏡MT和可變形反射鏡MD組成)，再利用分光反射分別進(jìn)入成像系統(tǒng)和波前探測(cè)系統(tǒng)。假設(shè)忽略激光導(dǎo)引星和觀測(cè)目標(biāo)之間的大氣湍流的影響，如果信標(biāo)足夠穩(wěn)定，可以通過(guò)對(duì)信標(biāo)波前的探測(cè)實(shí)時(shí)校正目標(biāo)的波前畸變，以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的高分辨率成像。因?yàn)榧す馍闲惺艽髿馔牧鞯挠绊?，所以瞬時(shí)的激光信標(biāo)與激光發(fā)射光軸有一定的偏移，這導(dǎo)致望遠(yuǎn)鏡接收的波前畸變中有一個(gè)附加的傾斜量。波前信號(hào)由3部分組成：激光信標(biāo)下行整體傾斜、波前高階畸變信號(hào)、激光上行附加傾斜。如果不校正激光上行附加傾斜，目標(biāo)在相機(jī)中的像不穩(wěn)定，難以實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間曝光。本文提出一種算法，可以從波前傳感器中分離信標(biāo)上行抖動(dòng)信息，由控制器生成信號(hào)控制激光發(fā)射望遠(yuǎn)鏡的快速傾斜鏡以穩(wěn)定激光信標(biāo)。系統(tǒng)中波前探測(cè)器將輸出3路信號(hào)分別控制可變形反射鏡MD、接收望遠(yuǎn)鏡端傾斜反射鏡MT和發(fā)射望遠(yuǎn)鏡端快速傾斜鏡。

2 波前傾斜提取方法

圖3為激光導(dǎo)引星子孔徑測(cè)量方法示意圖。接收望遠(yuǎn)鏡分割為排列整齊的子孔徑，黃色部分為子孔徑接收的信標(biāo)光的下行光路，圖中只畫(huà)出了部分子孔徑的光路作為參考，綠色部分為激光上行光路。可以看出，激光束由發(fā)射上行到接收下行共經(jīng)歷了兩次大氣湍流。每個(gè)子孔徑范圍內(nèi)的波前傾斜使微透鏡的聚焦光斑產(chǎn)生橫向漂移，測(cè)量光斑中心在兩個(gè)方向上相對(duì)于用平行光標(biāo)定的基準(zhǔn)位置的漂移量，可以求出各子孔徑范圍內(nèi)的波前在兩個(gè)方向上的平均斜率θ。

圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
Fig.2 Schematic diagram of system structure

任意子孔徑i探測(cè)到的波前傾斜量θi都是由激光上行抖動(dòng)量θup和下行子孔徑傾斜量θdown,i之和構(gòu)成，即

θi=θup+θdown,i.

(1)

若隨機(jī)選取N個(gè)子孔徑(圖3中紅色標(biāo)記子孔徑)，對(duì)這N個(gè)子孔徑探測(cè)到的波前傾斜量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均：

(2)

對(duì)于每一個(gè)子孔徑，雖然下行光路經(jīng)歷的湍流不同，即θdown,i不同，但是由于激光上行引起的抖動(dòng)θup是相同的，所以(2)式可以改寫(xiě)為

(3)

或：

(4)

圖3 激光導(dǎo)引星子孔徑測(cè)量方法

Fig.3 Laser guide star tip-tilt measurement method based sub-aperture

(5)

(6)

(7)

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析

利用(5)式對(duì)隨機(jī)選取的子孔徑計(jì)算其算法誤差的大小。如圖4，在望遠(yuǎn)鏡口徑范圍內(nèi)選定任意N個(gè)子孔徑，對(duì)于任意兩個(gè)子孔徑之間的歸一化傾斜相關(guān)系數(shù)由(6)式計(jì)算得出，其中子孔徑之間的距離由子孔徑之間的坐標(biāo)關(guān)系給出，大氣相干長(zhǎng)度由下式計(jì)算：

(8)

這里采用Hufnagel湍流結(jié)構(gòu)常數(shù)剖面模型：

(9)

以上兩式中，β為天頂角；v為風(fēng)速，是與海拔有關(guān)的變量。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，天頂角設(shè)為0°，風(fēng)速設(shè)為常數(shù)。(6)式～(9)式將歸一化傾斜相關(guān)系數(shù)與大氣相干長(zhǎng)度r0聯(lián)系起來(lái)。

將歸一化傾斜相關(guān)系數(shù)代入(5)式可計(jì)算出算法誤差。多次隨機(jī)選擇獲得仿真結(jié)果見(jiàn)圖5，圖中描述了基于子孔徑優(yōu)選算法的誤差隨子孔徑數(shù)量的關(guān)系。其中，圖中給出的兩條參考線分別是子孔徑傾斜誤差和望遠(yuǎn)鏡全口徑傾斜誤差，由下式[17-18]計(jì)算得到：

(10)

其中，D為孔徑的直徑。仿真結(jié)果顯示，當(dāng)僅選擇1個(gè)子孔徑時(shí)，缺乏統(tǒng)計(jì)效應(yīng)，算法誤差等于子孔徑傾斜誤差。隨著子孔徑數(shù)量增多，統(tǒng)計(jì)效應(yīng)顯現(xiàn)，算法誤差下降。對(duì)于1 m口徑的望遠(yuǎn)鏡，選擇的子孔徑數(shù)量在10～20個(gè)時(shí)算法誤差最小，對(duì)于3 m口徑的望遠(yuǎn)鏡，選擇的子孔徑數(shù)量在20～50個(gè)時(shí)統(tǒng)計(jì)誤差最小。當(dāng)選擇的子孔徑數(shù)量繼續(xù)增多時(shí)，誤差將接近望遠(yuǎn)鏡全口徑時(shí)的傾斜誤差，這是因?yàn)檫x擇的子孔徑數(shù)量越多，對(duì)望遠(yuǎn)鏡全口徑波前的采樣越密，這也就越接近望遠(yuǎn)鏡全口徑的波前傾斜。

圖4 子孔徑選擇示意圖，圖中大圓表示望遠(yuǎn)鏡口徑，實(shí)心小圓表示子孔徑

Fig.4 Schematic diagram of subaperture selection. The large circle represents the telescope aperture, while the small circle represents the selected subaperture

望遠(yuǎn)鏡口徑為1 m時(shí)，最小算法誤差下降為望遠(yuǎn)鏡全口徑傾斜誤差的70%，當(dāng)望遠(yuǎn)鏡口徑為3 m時(shí)，最小算法誤差下降為望遠(yuǎn)鏡全口徑傾斜誤差的50%。從圖5可以看出，最小算法誤差相對(duì)于望遠(yuǎn)鏡全口徑傾斜誤差的下降程度并不隨大氣湍流(由r0表征)的變化而變化，而只與望遠(yuǎn)鏡口徑有關(guān)，望遠(yuǎn)鏡口徑越大，算法誤差相對(duì)于全口徑傾斜誤差的下降越多。仿真結(jié)果顯示，當(dāng)望遠(yuǎn)鏡口徑為10 m時(shí)，最小算法誤差下降為望遠(yuǎn)鏡全口徑傾斜誤差的33%。這種情況下，如果激光擴(kuò)束到1 m發(fā)射，激光上行抖動(dòng)誤差相比于未校正時(shí)減小78%。

4 結(jié) 論

本文提出的子孔徑優(yōu)選算法，當(dāng)從望遠(yuǎn)鏡子孔徑中隨機(jī)選取部分子孔徑時(shí)，各子孔徑之間受大氣湍流的影響相對(duì)獨(dú)立，每個(gè)子孔徑范圍內(nèi)的波前傾斜使微透鏡的聚焦光斑產(chǎn)生的漂移量也是相對(duì)隨機(jī)的。用平行光標(biāo)定的基準(zhǔn)位置為0點(diǎn)，多個(gè)隨機(jī)漂移量的平均值將接近0值，而且隨著子孔徑的數(shù)量增加越接近0值。但是隨著選擇的子孔徑數(shù)量繼續(xù)增加，各子孔徑之間受大氣湍流影響的獨(dú)立性下降，導(dǎo)致各子孔徑的平均值更接近全口徑的波前傾斜量。仿真結(jié)果表明，選擇適當(dāng)?shù)淖涌讖綌?shù)量做統(tǒng)計(jì)平均，可以有效地降低信標(biāo)下行受大氣湍流波前傾斜的影響，再由(4)式可以獲得激光上行光路的到達(dá)角起伏信息，這將用于對(duì)激光導(dǎo)引星發(fā)射系統(tǒng)的校正，從而獲得更加穩(wěn)定的激光導(dǎo)引星。隨著望遠(yuǎn)鏡口徑的增大，統(tǒng)計(jì)平均算法引入的相對(duì)誤差越小，當(dāng)望遠(yuǎn)鏡口徑為10 m時(shí)，算法誤差僅為望遠(yuǎn)鏡全口徑傾斜誤差的33%。

圖5 傾斜測(cè)量的算法誤差隨選擇的子孔徑數(shù)量的變化關(guān)系
Fig.5 Algorithm error of tilt measurement varies with the number of selected subapertures