淺談最優(yōu)同倫漸近法(OHAM)在求解偏微分方程中的應(yīng)用

胥康 任金蓮

摘? ?要：本文介紹一種使用簡(jiǎn)單計(jì)算并擁有足夠好的近似解的求解偏微分方程的方法，最優(yōu)同倫漸進(jìn)法（OHAM），也稱(chēng)為半解析法。先后將該方法應(yīng)用于傳熱方程和KDV-Burgers方程的求解中。OHAM方法對(duì)這兩類(lèi)方程都提供了靈活可靠的解決方案，體現(xiàn)出其在求解偏微分方程中的優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：OHAM方法? 傳熱方程? KDV-Burgers方程

中圖分類(lèi)號(hào)：O175? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1674-098X（2019）05（b）-0186-02

1? 最優(yōu)同倫漸近法（OHAM）的提出

近年來(lái)，Marinca和Herisanu[1]在同倫分析法（HAM）的基礎(chǔ)上提出了一種求解偏微分方程的更加靈活的方法：最優(yōu)同倫漸進(jìn)法（OHAM）[2]。在一系列的文章中，作者[3]成功地證明了該方法的可靠性、有效性和優(yōu)越性，且運(yùn)用該方法得到了許多工程和科學(xué)中重要應(yīng)用的解決方案，可見(jiàn)該方法在科學(xué)和工程應(yīng)用中的潛力。

2? 最優(yōu)同倫漸近法（OHAM）基本算法

考慮微分方程，其中Ω為求解區(qū)間，分別為未知方程和已知方程，L，N分別為線(xiàn)性算子和非線(xiàn)性算子。首先構(gòu)造方程

是未知函數(shù)，（H（0）=0）為輔助函數(shù)[4]。函數(shù)關(guān)于p泰勒展開(kāi)，得。若方程（3）收斂，則，將（4）式帶入（2）中，得到剩余誤差。用最小二乘法得到的Cj值，并將Cj代入（5）（6）中，得到方程近似解[4]。

3? 最優(yōu)同構(gòu)方法求解傳熱方程

考慮傳熱方程[5]，邊界條件，初值為，精確解為[5]。運(yùn)用上述所提OHAM方法，方程（7）得到如下情況：①0階情況：，初值為，其對(duì)應(yīng)的解為;②1階情況：，初值，其對(duì)應(yīng)的解為;③2階情況為，初值，解為

。由解得，再根據(jù)最小二乘法得到當(dāng)時(shí)，，代入（11）得到方程（7）的近似解。

4? 最優(yōu)同構(gòu)方法求解KDV-Burgers方程

考慮KDV-Burgers方程[6-7]，初值，精確解為。運(yùn)用OHAM方法，可以得到0階、1階和2階解：，，，則C1，C2可由最小二乘法確定：，從而得到近似解。

5? 結(jié)語(yǔ)

本文介紹了一種可靠的求解偏微分方程的方法：最優(yōu)同倫漸進(jìn)法（OHAM），先后將其應(yīng)用于傳熱方程和KDV-Burgers方程的求解中，文中給出了具體的求解過(guò)程，從中可以看出OHAM方法使用簡(jiǎn)單計(jì)算便可擁有足夠好的近似解，體現(xiàn)出其在科學(xué)和工程應(yīng)用中的潛力。

參考文獻(xiàn)

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