基于粒子群算法和增廣拉格朗日乘子法的混合可靠性分析

王林軍 廖 瑋 王 錟 杜義賢

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院,湖北 宜昌 443002)

可靠性是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)達(dá)到設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn),能夠保證結(jié)構(gòu)有效穩(wěn)定的工作,而不發(fā)生破壞的重要指標(biāo)[1].目前,由于受到制造精度、拼接誤差、材料性能以及內(nèi)外部等不同環(huán)境影響,在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中,會(huì)存在各種不確定性.因此,研究混合可靠度的計(jì)算就成了關(guān)鍵所在.多年來,大量的研究者們對(duì)混合可靠度的分析進(jìn)行了廣泛的探索和研究.賀謙[2]以一階可靠性分析為基礎(chǔ),使用了基于Kriging近似模型的并行子空間的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法進(jìn)行了多學(xué)科的綜合探究;游令非[3]等基于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)誤差分析,同時(shí)考慮了變量的模糊性和失效判據(jù),提出了一種基于改進(jìn)包絡(luò)函數(shù)的模糊時(shí)變機(jī)構(gòu)可靠性建模以及計(jì)算方法;姜潮[4]等對(duì)于分布概型不同以及含區(qū)間參數(shù)不確定性的可靠度計(jì)算問題提出了一種時(shí)變分析方法,有效解決了類似問題;唐忠[5]用一種偏彈性理論的全局敏感度的可靠性分析方法解決了對(duì)于機(jī)器零部件可靠性分析中存在的區(qū)間不確定性的問題;鄧啟程[6]等基于驗(yàn)算點(diǎn)法引入了參數(shù)不確定性和區(qū)間變量,并進(jìn)行了可靠度分析研究,對(duì)可靠度指標(biāo)和區(qū)間參數(shù)的不確定度關(guān)系進(jìn)行了探討;魏娟[7]等研究了基于Chebyshev包含多項(xiàng)式的機(jī)械手區(qū)間運(yùn)動(dòng)精度可靠性,并基于機(jī)構(gòu)可靠性分析方法和區(qū)間不確定性模型,對(duì)空間機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)精度可靠性進(jìn)行了計(jì)算和評(píng)估;姜潮[8]等對(duì)于實(shí)際工程問題中的變量相關(guān)性問題,提出了一種概率區(qū)間模型,并有效解決了該問題;劉海波[9]將結(jié)構(gòu)體系一部分樣本信息充足的不確定變量用隨機(jī)變量進(jìn)行描述而另一部分樣本缺乏的用區(qū)間表示,提出了一種新的含概率與區(qū)間混合的不確定性可靠性分析方法.通過學(xué)習(xí),發(fā)現(xiàn)粒子群算法和增廣拉格朗日乘子法的混合算法具有良好的穩(wěn)定性和收斂性.

基于此,本文提出一種基于粒子群算法和增廣拉格朗日乘子法的混合可靠性分析方法,該方法通過引入?yún)?shù)的不確定性和區(qū)間變量構(gòu)造不確定模型來研究實(shí)際結(jié)構(gòu)中的混合結(jié)構(gòu)可靠性分析問題.該方法在一定程度的參數(shù)不確定性影響下解決具有一定非線性程度結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的可靠度指標(biāo)求解和極限狀態(tài)函數(shù)的收斂性問題,并通過數(shù)值算例和工程實(shí)例驗(yàn)證了所提方法在結(jié)構(gòu)混合可靠性分析中的穩(wěn)定性和有效性.

1 本文算法介紹及可靠度指標(biāo)的建立

1.1 粒子群算法

粒子群算法是一種通過不斷迭代找到最優(yōu)解的智能算法.該算法中粒子在每一次迭代過程中通過跟蹤個(gè)體極值和全局極值來更新自己.個(gè)體極值是粒子本身所找到的最優(yōu)值;全局極值是整個(gè)種群目前找到的最優(yōu)值.每一個(gè)粒子有自己的飛行經(jīng)驗(yàn),然后通過群體的飛行經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)優(yōu)化自己的飛行路線,最后在最優(yōu)點(diǎn)靠攏.每一個(gè)粒子通過以下的算法更新自身的位置和速度.

式中,i表示第i個(gè)粒子;k表示粒子所在空間點(diǎn)的第k個(gè)坐標(biāo)分量;上標(biāo)t表示第t次迭代;ω表示慣性權(quán)重;c1,c2表示加速常量;rand表示隨機(jī)函數(shù),取值為0～1;ω取值范圍為0.1～0.9;c1,c2取值范圍為1～2.

粒子群算法具有自起步的特點(diǎn),因此在進(jìn)行Matlab編程時(shí)可以先按設(shè)定的粒子群數(shù)量和坐標(biāo)維數(shù)隨機(jī)賦值初始化,也可以在變量預(yù)定的取值范圍內(nèi)隨機(jī)取值.粒子群算法的流程圖如圖1所示.

圖1 粒子群算法流程圖

1.2 增廣拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法與罰函數(shù)法相結(jié)合,將有約束目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為無約束目標(biāo)函數(shù)的方法,即為增廣乘子法.其對(duì)約束條件既引入乘子項(xiàng)又引入懲罰項(xiàng).根據(jù)約束條件的性質(zhì),又分為3種增廣乘子法,分別為等式約束、不等式約束及混合約束的增廣乘子法.

對(duì)于等式約束建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型：

將式中的等式約束同時(shí)用罰函數(shù)法及拉格朗日乘子法構(gòu)造無約束函數(shù),則得到的拉格朗日增廣函數(shù)為：

對(duì)于不等式約束建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型：

引入松弛變量y=[y1y2…y L]T,將上述不等式約束問題轉(zhuǎn)化為如下的等式約束問題：根據(jù)等式約束增廣乘子函數(shù)式的構(gòu)造形式,構(gòu)造上式增廣乘子函數(shù),形式為：

1.3 建立可靠度指標(biāo)數(shù)學(xué)模型

設(shè)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為Z=g(X1,X2,…,X n)=0,其中X1,X2,…,X n為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的n個(gè)任意分布的獨(dú)立隨機(jī)變量.采用R-F(拉科維茨-菲斯萊法)將非正態(tài)變量當(dāng)量正態(tài)化,獲取均值σ'xi,標(biāo)準(zhǔn)差μ'

xi,可靠度指標(biāo)β等正態(tài)分布的變量.

最初設(shè)計(jì)點(diǎn)未知,將β看做極限狀態(tài)曲面上點(diǎn)P(X1,X2,…,X n)的函數(shù),經(jīng)過計(jì)算,找到β的最小值,即為可靠度指標(biāo)值和設(shè)計(jì)點(diǎn).可以建立下列約束優(yōu)化模型計(jì)算可靠度指標(biāo)：

如果可以用其他變量來表示極限狀態(tài)方程中的某個(gè)變量,則X j=g'(X1,X2,…,X j-1,X j+1,…,X n),則上式可轉(zhuǎn)為無約束優(yōu)化模型：

2 可靠度算例

2.1 數(shù)值算例

極限狀態(tài)方程：

x1與x2相互獨(dú)立,且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.根據(jù)上述的極限狀態(tài)方程,使用本文算法得到的詳細(xì)迭代數(shù)據(jù)見表1,使用一次二階矩法得到的詳細(xì)迭代數(shù)據(jù)見表2.

表1 本文算法計(jì)算結(jié)果

表2 一次二階矩法迭代計(jì)算結(jié)果

可以看到,本文方法所得數(shù)值與一次二階矩法的計(jì)算結(jié)果大致相同,證明了本文方法的可行性.同時(shí)本文算法迭代10步就可得到可靠性指標(biāo),而一次二階矩法則需要12步才能得到結(jié)果,因此本文方法的效率更高,縮短了計(jì)算時(shí)間和工作量,所以本文算法更優(yōu).

一次二階矩法所得可靠度指標(biāo)結(jié)果見表3,迭代過程如圖2所示.本文方法所得到可靠度指標(biāo)結(jié)果見表4,迭代過程如圖3所示.

表3 一次二階矩法可靠性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

表4 本文方法可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

圖2 一次二階矩法迭代圖

圖3 本文算法迭代圖

由上表數(shù)據(jù)可以看到,本文方法所得可靠性指標(biāo)為2.524 0,一次二階矩法得到的可靠性指標(biāo)為2.552 9,二者結(jié)果大致相同.從迭代圖上可以看到,本文算法可以快速獲得穩(wěn)定的結(jié)果,驗(yàn)證了該算法的可行性.

2.2 工程算例

1)懸臂梁算例

如圖4所示,懸臂梁[10]長度為L,橫截面寬度為b,高度為h,懸臂梁頂端承受作用力為p x和p y,材料的許用應(yīng)力S=235 MP.懸臂梁幾何尺寸和外力處理為隨機(jī)變量,其不確定參數(shù)取值情況見表5,其極限方程如下：

圖4 懸臂梁

表5 不確定變量分布類型和參數(shù)取值情況

使用本文算法得出可靠度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果見表6.可知可靠性指標(biāo)為β=8.077 4,失效概率Pf=2.711 9×10-15.可以看到,該懸臂梁工程算例失效概率趨近于零,表明了該算例在本文條件下具有較高的可靠性.

表6 可靠度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

2)汽車碰撞分析

考慮如圖5所示的一個(gè)車輛低速耐碰撞問題,并進(jìn)行整車體系可靠性[11]分析.假設(shè)汽車發(fā)生低速偏碰撞時(shí)的速度為15 km/h,此時(shí)車輛速度較小,車輛受到碰撞的影響以車輛形變?yōu)橹?車內(nèi)人員受到的影響可以忽略,所以以研究車輛形變?yōu)橹黧w,在發(fā)生低速偏碰撞時(shí)前縱梁內(nèi)、外板所吸收的總能量E應(yīng)小于額定值E0=500 J.變量X1～X3分別表示前保險(xiǎn)杠厚度、吸能盒內(nèi)板的厚度、吸能盒外板的厚度;變量Y1,Y2分別表示前縱梁內(nèi)外板厚度.車輛有限元[12]模型如圖6所示,車輛不確定參數(shù)和分布類型見表7.其極限狀態(tài)方程如下：

圖5 低速偏置碰撞

圖6 低速偏置碰撞有限元模型

表7 不確定變量分布類型和參數(shù)取值情況

應(yīng)用本文方法,通過計(jì)算可得到可靠度指標(biāo),詳細(xì)計(jì)算結(jié)果見表8.同樣可以看到,該汽車碰撞算例的失效概率趨近于零,表明了該算例在本文條件下具有較高的可靠性.

表8 可靠度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

①若考慮變量的均值不確定性10%,詳細(xì)參數(shù)取值情況見表9.

表9 各隨機(jī)變量分布參數(shù)取值情況

應(yīng)用本文方法,通過計(jì)算得到可靠性指標(biāo),可以看到,隨著參數(shù)均值不確定度的變化,可靠度和失效概率計(jì)算結(jié)果也同樣發(fā)生了變化,并且呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系,詳細(xì)計(jì)算結(jié)果見表10.

表10 可靠度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

②若考慮變量的標(biāo)準(zhǔn)差不確定性水平40%.此時(shí)詳細(xì)參數(shù)取值情況見表11.

表11 各隨機(jī)變量分布參數(shù)取值情況

應(yīng)用本文方法,可得到可靠性指標(biāo),同樣可以看到,隨著參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差不確定度的變化,可靠度和失效概率計(jì)算結(jié)果也同樣發(fā)生了變化,該變化與均值不確定度變化造成的波動(dòng)相似,呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系.詳細(xì)計(jì)算結(jié)果見表12.

表12 可靠度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

③若考慮變量X1～X3的均值不確定性10%,同時(shí)考慮變量Y1,Y2的標(biāo)準(zhǔn)差不確定性40%.此時(shí)詳細(xì)參數(shù)取值情況見表13.

表13 各隨機(jī)變量分布參數(shù)取值情況

應(yīng)用本文方法,可得到可靠性指標(biāo),詳細(xì)計(jì)算結(jié)果見表14.

表14 可靠度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

通過以上工程算例的計(jì)算結(jié)果表明,本文算法對(duì)于存在參數(shù)不確定度及區(qū)間變量的混合可靠度模型可靠度的計(jì)算依然有效,并能在較少的迭代步數(shù)中得到結(jié)果,縮短了時(shí)間和工作量,而且對(duì)于線性程度較高的極限狀態(tài)函數(shù),使用本文算法進(jìn)行迭代計(jì)算可以得到比較精確而穩(wěn)定的可靠指標(biāo),并且具有較好的收斂性;通過對(duì)不同參數(shù)不確定性的取值顯示,參數(shù)不確定性對(duì)可靠度的計(jì)算會(huì)造成一定影響.

3 結(jié) 論

本文使用了1個(gè)數(shù)值算例和2個(gè)工程實(shí)例分別計(jì)算了可靠度指標(biāo),用本文算法進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果并與使用一次二階矩法得出的結(jié)果進(jìn)行比對(duì),所得結(jié)果與一次二階矩算法求得的結(jié)果大致相同,驗(yàn)證了本文算法的可行性.該方法可用于解決具有一定非線性程度的結(jié)構(gòu)功能方程、存在參數(shù)不確定度及區(qū)間變量的混合可靠度模型的可靠性分析問題.在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中,采用此方法對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的保證具有一定的指導(dǎo)意義.