周邊固支功能梯度圓板的強(qiáng)迫振動(dòng)分析

劉小飛 龍偲 湘潭大學(xué) 湖南湘潭 411105 段啟園 中北大學(xué) 山西太原 030051

功能梯度材料是多種物質(zhì)復(fù)合而成的復(fù)合材料，近年來(lái)材料科學(xué)的發(fā)展有從單一物質(zhì)材料發(fā)展到多種物質(zhì)復(fù)合而成的趨勢(shì)，從均質(zhì)材料向復(fù)合材料發(fā)展，而功能梯度材料是復(fù)合材料研究的一個(gè)重要方向，近三十年才提出，材料學(xué)家和力學(xué)家以及對(duì)功能梯度材料感興趣的科研人員與工程師進(jìn)行廣泛的研究和精細(xì)化的制備。

由于材料組成與性質(zhì)在橫向的非均勻性分布導(dǎo)致了功能梯度結(jié)構(gòu)的應(yīng)變?cè)跈M向分布的復(fù)雜性，表現(xiàn)出與均勻材料結(jié)構(gòu)不同的宏觀特征。從而使得 FGM 結(jié)構(gòu)的彎曲，屈曲和振動(dòng)與斷裂等宏觀力學(xué)行為的分析要比相應(yīng)的均質(zhì)材料結(jié)構(gòu)復(fù)雜得多。

本文研究功能梯度材料圓板的力學(xué)行為，功能梯度材料與均質(zhì)板的區(qū)別是組成與性質(zhì)隨坐標(biāo)變化，研究了功能梯度圓板隨著梯度因子的變化，它的固有頻率隨材料參數(shù)的變化關(guān)系，以及研究了功能梯度圓板受一簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下，材料參數(shù)功能梯度因子的變化引起強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅與頻率的影響，此研究可以幫助制備出力學(xué)性能良好的功能梯度材料。

1 功能梯度材料簡(jiǎn)介

材料作為國(guó)民科學(xué)技術(shù)的支柱之一，材料的進(jìn)步標(biāo)志著人類(lèi)文明的進(jìn)步，科技技術(shù)的快速發(fā)展使人們對(duì)材料的要求越來(lái)越高，特別在航空航天等高技術(shù)領(lǐng)域，航空航天發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)材料有苛刻的要求，不僅需要有金屬材料的強(qiáng)度和韌性，還需要有陶瓷的高熔點(diǎn)和高硬度，但是簡(jiǎn)單的層合組成復(fù)合材料，在高溫和大溫度梯度下由于熱膨脹將引起剝落或龜裂，為解決此類(lèi)由熱應(yīng)力產(chǎn)生材料失效的問(wèn)題，日本科學(xué)家在20世紀(jì)80年代后期到90年代初提出了功能梯度材料(Functionally Graded Material，簡(jiǎn)稱(chēng)FGM)的概念，功能梯度材料的概念一經(jīng)提出快速引起了材料界和力學(xué)界的高度注重，迅速成為了材料領(lǐng)域和力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

2 功能梯度圓板的自由振動(dòng)分析與MATLAB求解

2.1 復(fù)合材料圓板的基本假設(shè)

本文采用的是薄型圓板，厚徑比的范圍是(小于1/8到1/5)，功能梯度板也可以近似使用基爾霍夫薄板假設(shè)。首先圓形薄板作為彈性體，服從連續(xù)介質(zhì)模型的假設(shè)，圓板材料是連續(xù)分布的，組成物質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)之間是不存在任何間隙的，我們可以假設(shè)認(rèn)為應(yīng)力(σ，τ)，應(yīng)變(ε，γ)和位移(u,v,w)等是連續(xù)的變量或者函數(shù)，在做數(shù)學(xué)推導(dǎo)時(shí)可以方便的運(yùn)用連續(xù)和極限的操作。

但是彈性體的均勻性假設(shè)在此不成立，材料是功能梯度材料，材料的組成結(jié)構(gòu)是呈梯度變化的。

2.2 參數(shù)對(duì)自然頻率的影響

（1） 參數(shù)E0對(duì)自然頻率的影響

參數(shù)半徑a對(duì)自然頻率的影響

泊松比v 對(duì)自然頻率的影響

令α=1，半徑a=1,其他變量表達(dá)式的數(shù)為1，討論厚度對(duì)自然頻率的影響

ωn，現(xiàn)由MATLAB作圖模擬厚度變化對(duì)自然頻率的影響，厚度h?。?，0.2）符合薄板規(guī)定厚徑比小于1/5。

參數(shù)冪指數(shù)αfalse的大小對(duì)自然頻率的影響

ωn∝，厚度0.2,半徑1,厚徑比0.2，其他物理量表達(dá)式的值設(shè)為1，討論冪指數(shù)因子α對(duì)自然頻率ωn的影響。

3 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)與MATLAB計(jì)算

厚度為0.2m,半徑為1m。厚徑比為0.2滿(mǎn)足薄板假設(shè)；設(shè)頻率比q為0.1，設(shè)施加的外力為(N）。其中力的幅值0為100000（N）；阻尼比為0.05。

其 中3h=0.2,v =0.3,E0false=70Gpa,a=1,ρ0=2700kg/m,代入上式求出下表：

表1 不同梯度因子α對(duì)應(yīng)的參數(shù)

設(shè)問(wèn)題的初始條件位移為零，初速度為20m/s,固有頻率不同，阻尼λ和A 值也不同；

λ為：1.0e+03*（1.1157 0.6281 0.4858 0.4218 0.3853）；

A 為： 0.0008 0.0016 0.0020 0.0024 0.0026。

φ1=0將上面的參數(shù)代入下面的方程

利用MATLAB繪圖如下：

圖3 .1梯度因子α為0.5，振幅隨時(shí)間的變化關(guān)系

圖3 .6 梯度因子α為0.5軸對(duì)稱(chēng)橫向位移隨時(shí)間的變化關(guān)系

隨著梯度因子的增大，暫態(tài)解振幅越來(lái)越大，暫態(tài)解的振幅與初速度有關(guān)，這里假設(shè)初速度為20m/s,梯度因子增大，固有頻率減小，暫態(tài)解的振幅越大，穩(wěn)態(tài)解的振幅基本不變，隨著時(shí)間的變化，系統(tǒng)趨向于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，暫態(tài)解衰減到零，系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)解的振幅函數(shù)上，系統(tǒng)越趨近于穩(wěn)態(tài)解。功能梯度板與均質(zhì)板的強(qiáng)迫振動(dòng)的區(qū)別是梯度因子不為0，在此討論的梯度因子是一個(gè)常數(shù)，與功能梯度材料的制備有關(guān)，一但制成就不再改變，由上節(jié)可以看出，功能梯度因子從0.5變化到2.5，固有頻率逐漸減小。研究了初始的0秒到0.01秒的瞬態(tài)圖像，外界頻率與固有頻率的關(guān)系始終是0.1倍，可以看出從暫態(tài)解到瞬態(tài)解的過(guò)渡非常短暫。

結(jié)論

本文分析的是功能梯度薄圓板小變形的振動(dòng)問(wèn)題，基于一般連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，運(yùn)用了極坐標(biāo)參考系下的方程，在分析過(guò)程中由基爾霍夫假設(shè)把縱向位移用橫向位移表達(dá)式，由能量法推導(dǎo)了系統(tǒng)的固有頻率，討論了功能梯度圓板的彈性模量，泊松比，密度，厚度，半徑，以及功能梯度指數(shù)冪系數(shù)αfalse對(duì)固有頻率的影響，討論了功能梯度圓板的強(qiáng)迫振動(dòng)，運(yùn)用彈性微塊的平衡建立運(yùn)動(dòng)微分方程，運(yùn)用了一個(gè)滿(mǎn)足位移邊界條件的振型表達(dá)式，表示橫向位移函數(shù)，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，把功能梯度圓板看做是軸對(duì)稱(chēng)振動(dòng)的，運(yùn)用伽遼金積分方法，求得振幅關(guān)于時(shí)間的常微分方程，利用高數(shù)知識(shí)求解了此微分方程，得到了振幅的表達(dá)式，討論了各參數(shù)對(duì)振幅的影響，最后給出了橫向位移關(guān)于時(shí)間與半徑的表達(dá)式。本文第三章與第四章求得的固有頻率有偏差，可能我用能量法討論時(shí)，忽略了縱向運(yùn)動(dòng)對(duì)動(dòng)能的貢獻(xiàn)。