NSD樣本最近鄰密度估計的強相合性

聶彩玲,李永明,應銳

( 1.南昌大學理學院,江西 南昌330031;2.上饒師范學院數(shù)學與計算機科學學院,江西 上饒334001;3.上海財經(jīng)大學統(tǒng)計與管理學院,上海200433;4.上饒師范學校,江西 上饒334001)

1.引言

設總體X的分布密度函數(shù)為f(x),{X1,···,Xn}是抽自該總體的負超可加相依(NSD)樣本.設{kn,n≥1}為給定的正整數(shù)列,滿足1≤kn≤n.令an(x)為最小的正數(shù)a,使得[x?a,x+a]中至少包含X1,X2,···,Xn中的kn個,則密度函數(shù)f(x)的最近鄰密度估計為

又設F(x)是密度函數(shù)f(x)的分布函數(shù),其對應的Fn(x)是樣本X1,X2,···,Xn的經(jīng)驗分布函數(shù).

最近鄰密度估計(nearest neighbor估計,簡記為NN估計)的概念是由Loftsgarden等[1]在1965年提出來的.關于最近鄰密度估計的性質,在獨立樣本情形下已有許多研究結果[1?4].在相依樣本情形下,蘭沖鋒[5?6]研究了END樣本最近鄰密度估計的強相合速度、NQD樣本最近鄰密度估計的一致強相合速度,曾翔[7]討論了平穩(wěn)φ-混合序列最近鄰密度估計的相合速度,G.Boente等[8]討論了φ-混合序列最近鄰密度估計的大樣本性質,楊善朝[9]在NA下討論了最近鄰密度估計的相合性.

NSD隨機變量的概念由胡太忠[10]引入,他在文中舉例說明了NSD變量不一定是NA變量.之后,Christofides[11]證明了NA隨機變量是NSD的.鑒于NSD相依序列是NA序列的推廣,一些文獻對NSD序列進行了研究.如:鄭璐璐[12]研究了NSD隨機變量加權和的強收斂性;余云彩[13]研究了NSD序列加權和的中心極限定理及其在EV回歸模型中的應用;WANG[14]討論了NSD隨機變量陣列的完全收斂性;SHEN[15]給出了NSD隨機序列的Rosenthal型矩不等式的一些應用.

然而對于NSD序列樣本最近鄰密度估計大樣本性質研究較少,本文主要在NSD序列樣本下討論式(1.1)中給出的最近鄰密度估計的相合性.

為行文方便,C,C1,C2,···表示常數(shù),在不同地方取值可以相同也可以不同.

2.引理與定理

定義2.1[10]稱函數(shù)?:Rn→R 為超可加函數(shù),如果對所有的向量x,y∈Rn,滿足

其中,∨ 代表它們之間的最大值,∧ 代表它們之間的最小值.

定義2.2[10]稱隨機變量{X1,···,Xn}為負超可加相依(NSD)隨機變量,如果存在相互獨立的隨機變量X?1,···,X?n,使得對每個i,X?i與Xi同分布,且

其中?是超可加函數(shù),并且使得其期望存在.

引理2.1[10]設{Xn,n≥1}是NSD隨機序列,fn(x)關于x為非升(降)的連續(xù)函數(shù),則{fn(Xn),n≥1}仍是NSD隨機序列.

引理2.2[16]設{Xj,j≥1}是NSD隨機序列,EXj=0,|Xj|≤bj,a.s.,且t·其中t>0.則對任意的ε>0,有

定理2.1設{Xn,n≥1}為同分布的NSD隨機序列,有共同的密度函數(shù)f(x),設kn滿足kn→∞,→0,n→∞,則對f(x)的任意連續(xù)點x,有

證對任意的ε>0,令bn(x)=則有

當f(x)≤ε時,由fn(x)的非負性知,事件fn(x)cn(x))只考慮f(x)>ε時的情況.

故

記ηi=I(Xi≤x+bn(x)),ζi=I(Xi≤x?bn(x)),ξi=I(x?bn(x)

令Zi=ηi?Eηi,Ti=ζi?Eζi,由引理2.1知{Zi,1≤i≤n}和{Ti,1≤i≤n}仍為NSD隨機序列.且

令t=由引理2.2知

令C1=則

同理可證

令qn=類似于式(2.1)和(2.2),有

令t=由引理2.2知

令C2=則

同理可證

取常數(shù)C=min{C1,C2},由式(2.3),(2.4),(2.7)和(2.8),可得

又當n→∞時,→∞,故

即

根據(jù)Borel-Cantelli引理,

即

證畢.

注2.1文[9]定理1中的(2)假設的是而本文定理2.1的(ii)假設為得到了與NA樣本情形下相同的結論.

引理2.3[9]設F(x)是連續(xù)分布函數(shù),其經(jīng)驗分布函數(shù)為Fn(x).令xn,k滿足F(xn,k)=k/n,其中n≥3,k=1,2,···,n?1,則

定理2.2(一致強相合性) 設{Xn,n≥1}為同分布的NSD隨機序列,有共同的密度函數(shù)f(x),且f(x)一致連續(xù),設kn→∞,則

證

其中Fn(·)表示樣本的經(jīng)驗分布函數(shù).

由微分中值定理知,存在θ1∈(x?bn(x),x+bn(x)),θ2∈(x?cn(x),x+cn(x)),使得

因為f(x)一致連續(xù),故對于任意的ε>0,存在δ >0,使得當|x?y|<δ時，有

關于x一致成立,且由f(x)>ε,

關于x一致成立.

因為θ1∈(x?bn(x),x+bn(x)),θ2∈(x?cn(x),x+cn(x)),所以|x?θ1|<δ,|x?θ2|<δ.故由式(2.12)得

以及

故

其中

因此

由kn→∞,可知故由引理2.3,得

令t=,當n→∞時,由→0,可知t→0,故滿足引理2.2的條件.由可知當n足夠大時,有因此

因此

由Borel-Cantelli引理得