學(xué)生解決雞兔同籠問題的協(xié)變思維

□ 郜舒竹

如今的課堂教學(xué)倡導(dǎo)以學(xué)習(xí)活動(dòng)為中心，當(dāng)學(xué)生主動(dòng)性充分發(fā)揮的時(shí)候，就會(huì)產(chǎn)生諸多教師難以預(yù)料的生成。如何面對并應(yīng)對學(xué)生多樣的生成，就成為教師現(xiàn)實(shí)的挑戰(zhàn)。一個(gè)基本觀點(diǎn)是：向?qū)W生學(xué)習(xí)，讀懂學(xué)生做法中隱藏著的想法，將其提升為有價(jià)值的課程資源，應(yīng)用于學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)。

一、協(xié)變思維

協(xié)變思維也可以叫作協(xié)變推理（Covariational Reasoning），指的是針對兩個(gè)或多個(gè)協(xié)同變化的變量，進(jìn)行協(xié)調(diào)或轉(zhuǎn)化的思維形式。[1]比如“人多力量大”這一說法，針對“人數(shù)”和“力量”兩個(gè)量，認(rèn)為二者協(xié)同變化的規(guī)律是“人數(shù)越多，力量越大”，是一種“越多—越大（More—More）”的協(xié)變思維。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，協(xié)變思維的應(yīng)用非常普遍。比如，在問題情境中出現(xiàn)若干只雞，對于雞頭數(shù)和雞腳數(shù)兩個(gè)量，其協(xié)變關(guān)系可以表述為“雞頭數(shù)的2倍等于雞腳數(shù)”；同樣，如果有若干只兔，那么兔頭數(shù)和兔腳數(shù)的協(xié)變關(guān)系就是“兔頭數(shù)的4倍等于兔腳數(shù)”。

更為復(fù)雜的情況是情境中出現(xiàn)更多的變量。比如雞兔同籠，若干只雞和若干只兔在一起，這時(shí)就出現(xiàn)兔頭數(shù)、兔腳數(shù)、總頭數(shù)、總腳數(shù)四個(gè)變量。某變量的變化或轉(zhuǎn)換，會(huì)引起多個(gè)變量的變與不變。如果增加3只雞，那么總頭數(shù)增加3，同時(shí)總腳數(shù)增加6。將1只雞換為1只兔，總頭數(shù)不變，總腳數(shù)增加2。如果將2只雞換為1只兔，那么總腳數(shù)不變，總頭數(shù)減少1。

我國小學(xué)和初中數(shù)學(xué)課程中的雞兔同籠問題，是我國歷史上流傳至今的名題。概括地說，解決問題的做法主要是《孫子算經(jīng)》中的“半足術(shù)”，明代《算法統(tǒng)宗》中的“倍頭法”，以及現(xiàn)在初中階段的方程。

如果將雞兔同籠問題敘述為：若干只雞和若干只兔在同一個(gè)籠子中，總頭數(shù)為35，總腳數(shù)為94。求雞和兔各有多少只？

“半足術(shù)”做法的第一步是94÷2=47，相當(dāng)于把雞變?yōu)椤蔼?dú)腳雞”，兔變?yōu)椤半p足兔”，使得每只雞的腳數(shù)和頭數(shù)相同。這樣47－35=12，就得到兔的只數(shù)?！氨额^法”做法的第一步是35×2=70或35×4=140，就是將每只動(dòng)物的頭數(shù)變?yōu)?或4，與雞或兔的腳數(shù)相同，便于進(jìn)一步解決問題。[2]

下面介紹三種在四年級(jí)和五年級(jí)課堂中發(fā)現(xiàn)的學(xué)生做法，這些做法中蘊(yùn)含著豐富的與協(xié)變思維相關(guān)的“大想法（Big Idea）”。

二、盈虧互補(bǔ)

課堂觀察中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的一種做法的第一步是，用總頭數(shù)35去平均分配總腳數(shù)94（見圖1）。

圖1學(xué)生做法1

其中第一步算式為：94÷35=2……24，可以理解為，用35個(gè)頭平均分配94只腳，也就是如果每只動(dòng)物2只腳，就會(huì)多余24只腳。換言之，如果35只動(dòng)物都是雞，就多余24只腳。因此需要在總頭數(shù)不變的情況下，總腳數(shù)增加24。

因?yàn)?只雞變?yōu)?只兔，頭數(shù)不變，腳數(shù)增加2。因此圖1做法中的第二步24÷2=12，就是將12只雞換為12只兔，使得頭數(shù)不變，腳數(shù)增加24。因此共有12只兔。第三步35-12=23（圖1中學(xué)生筆誤：34應(yīng)為35），求得雞只數(shù)為23。類似于此的做法還有寫為分?jǐn)?shù)形式（見圖2）。

圖2學(xué)生做法2

這種做法背后隱藏的想法，既不同于《孫子算經(jīng)》中的半足術(shù)，也不同于《算法統(tǒng)宗》中的倍頭法。半足術(shù)與倍頭法都是意圖將動(dòng)物的頭數(shù)與腳數(shù)變?yōu)橄嗤?，也就是“變異為同”。而學(xué)生這樣的做法首先是“平均分配”，分配之后，再對剩余部分進(jìn)行調(diào)整。其中調(diào)整的過程所運(yùn)用的，就是協(xié)調(diào)雞只數(shù)與兔只數(shù)相互轉(zhuǎn)換中變與不變的協(xié)變思維。

協(xié)調(diào)變量協(xié)變過程中的變與不變，也可以叫作“盈虧互補(bǔ)（Compensation）”，是一種應(yīng)用廣泛、具有一般意義的思維形式。比如下面的幾何問題：

圖3的大正方形內(nèi)部有三個(gè)形狀、大小完全一樣而顏色不同的小正方形，露在外面部分的面積如圖所示。求大正方形的面積。

圖3 正方形問題示意圖

初看題目，似乎無從下手?？梢赃\(yùn)用協(xié)變思維，將黃色正方形向左側(cè)平移，移動(dòng)過程中，黃色正方形露出面積越來越小，而綠色正方形露出面積越來越大，減少部分與增加部分保持相等，二者盈虧互補(bǔ)。移到盡頭后成為圖4形狀。

圖4正方形問題變形示意圖

這時(shí)黃色和綠色兩個(gè)正方形露出面積相等，由于移動(dòng)過程中兩個(gè)正方形露出部分面積相互之間盈虧互補(bǔ)，其總和是不變的。所以圖4中黃色和綠色正方形露出部分面積均為(14+10)÷2=12。在此基礎(chǔ)上，問題就不難解決了。

像這樣從解題的具體做法中提取出具有一般意義的想法，西方文獻(xiàn)中通常叫作“大想法（Big Idea）”。大想法的一個(gè)特征就是可遷移，可以應(yīng)用于更廣泛的其他問題。

三、配對分組

課堂觀察中發(fā)現(xiàn)的第二種做法是將1只雞和1只兔綁定為一組，使得每一組中包含1只雞和1只兔，因此頭數(shù)為2，腳數(shù)為6（見圖5）。

圖5 學(xué)生做法3

第一步94÷6=15……4，是用總腳數(shù)94除以每組腳數(shù)6，說明一共有15組，多余4只腳。也就是如果雞和兔各有15只，這時(shí)就會(huì)多出4只腳。

第二步4÷2=2，是將剩余的4只腳分配給2只雞，此時(shí)就有15只兔、17只雞，總頭數(shù)是30+2=32。

第三步35-(30+2)=3，表明總頭數(shù)少了3。如果用1只兔換為2只雞，能夠使得頭數(shù)增加1，腳數(shù)不變。

第四步15－3=12和第五步3×2+15+2=23，就是將15只兔中的3只，變?yōu)?×2=6只雞。因此得到兔有12只，雞有23只。圖5最后一步23+12=35，是對結(jié)果的檢驗(yàn)。

這一做法運(yùn)用配對分組（Grouping）的想法，將1只雞和1只兔視為一個(gè)整體，而后再對剩余部分進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整的過程同樣用到盈虧互補(bǔ)的大想法。

配對分組不僅是一種解決問題的做法，也是可以遷移到其他問題，具有一般意義的大想法。比如下面著名的“百僧問題”。

100個(gè)和尚吃100個(gè)饅頭，大和尚1人吃3個(gè)，小和尚3人吃1個(gè)。問大和尚和小和尚各有多少人？

運(yùn)用分組的想法，將1個(gè)大和尚和3個(gè)小和尚視為一組，這樣每一組中大和尚1人，小和尚3人，一共4人，吃饅頭4個(gè)。這樣就將100個(gè)和尚和100個(gè)饅頭分為25組。因此得到答案：大和尚25人，小和尚75人。

配對分組作為一種思維形式，實(shí)質(zhì)是將不同對象關(guān)聯(lián)起來，視為整體。運(yùn)用不同對象之間的異同、因果關(guān)系進(jìn)行思考。比如美國20世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)科普作家馬丁·加德納（Martin Gardner:1914-2010），曾經(jīng)發(fā)表過一個(gè)命名為“Corner to Corner（點(diǎn)對點(diǎn)）”的幾何問題。

圓內(nèi)一個(gè)長方形，求長方形對角線l的長度。[3]

圖6 圓內(nèi)長方形示意圖

如果眼睛只盯著圖中對角線l，就無法將其與已知數(shù)據(jù)3和2建立聯(lián)系。運(yùn)用配對的想法，長方形有兩條對角線，而且長度相等，可以發(fā)現(xiàn)另外一條對角線其實(shí)就是圓的半徑，因此立刻知道對角線l的長度其實(shí)就是圓的半徑長度：3＋2＝5。

四、先取半，再調(diào)整

觀察中還發(fā)現(xiàn)，有學(xué)生做法的第一步是用總頭數(shù)35除以2（見圖7），相當(dāng)于先假定雞只數(shù)為17，兔只數(shù)為18；或者反過來雞只數(shù)為18，兔只數(shù)為17。

圖7 學(xué)生做法4

這樣的做法可以概括為“先取半，再調(diào)整”。同樣運(yùn)用了雞和兔相互轉(zhuǎn)換的協(xié)變思維。如果雞只數(shù)是17，兔只數(shù)為18，那么總腳數(shù)為17×2+18×4=106，比實(shí)際總腳數(shù)多了106－94=12。只需要將6只兔換為6只雞，使得總頭數(shù)不變，總腳數(shù)減少12。因此雞只數(shù)為17+6=23，兔只數(shù)為18－6=12。這種“先取半，再調(diào)整”的做法也蘊(yùn)含著可遷移、具有一般意義的大想法。比如下面的“和差問題”。

全班共有35名學(xué)生，男生比女生多3人。男、女生各有多少人？

通常的做法是通過“和加差”或者“和減差”解決問題。如果按照“先取半，再調(diào)整”的想法，第一步可以先將全班35人取半，具體做法為：35÷2=17.5。相當(dāng)于假定男女學(xué)生各有17.5人。這種不符合實(shí)際的情境并不真實(shí)，因?yàn)椴豢赡艹霈F(xiàn)“0.5人”的情況。

心理學(xué)中有一個(gè)叫作“意象（Mental Imagery）”的概念，指的是“心眼所見（Seeing in the mind’s eye）”的情境[4]，這樣的情境往往有悖于親眼所見的“真相”。在和差問題的思考過程中，“0.5人”的意象，作為思考過程中的一個(gè)環(huán)節(jié)，雖然違背真實(shí)，但對于問題解決的思考仍然是有效的。

接下來，將意象中的“17.5個(gè)女生”中的“1.5個(gè)女生”改變?yōu)椤?.5個(gè)男生”，這時(shí)總?cè)藬?shù)守恒不變，男生人數(shù)增加為17.5＋1.5＝19（人），女生人數(shù)減少為17.5－1.5＝16（人），符合題目中男生比女生多3人的要求，也就得到了問題的答案。

“取半（Halving）”作為一種分配活動(dòng)中的大觀念，其應(yīng)用十分廣泛?！秾O子算經(jīng)》中對雞兔同籠問題解決所采用的半足術(shù)，就是對總腳數(shù)94取半。與其相關(guān)的大想法還有“加倍（Doubling）”和“等分（Equivalence Grouping）”等，比如《算法統(tǒng)宗》中的“倍頭法”就用到了“加倍”。前面談及的“配對分組”實(shí)際上也是等分想法的體現(xiàn)。

日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題是必不可少的教學(xué)活動(dòng)，教師多多留意并積累學(xué)生異樣的做法，從中挖掘具有一般意義的大想法，將之應(yīng)用于其他問題的解決，應(yīng)當(dāng)成為教師自身專業(yè)發(fā)展的有效途徑。

如今的數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)“變教為學(xué)”，期望以教師“講為主”的教學(xué)，改變?yōu)橐詫W(xué)生“學(xué)為主”的教學(xué)。對于教師的一個(gè)挑戰(zhàn)是如何面對學(xué)生不同于預(yù)設(shè)的生成。這樣的生成可能是正確的，可能是錯(cuò)誤的，也可能是合理但不完善的。所有應(yīng)對策略的前提是：耐心地聽，努力地讀，廣泛地用。