相空間中可控力學(xué)系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量

季曉慧，朱建青

(蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

1988年，Hilger提出了時(shí)間尺度理論[1]，將連續(xù)分析與離散分析統(tǒng)一起來(lái)。自時(shí)間尺度理論提出以來(lái)，已被應(yīng)用于許多領(lǐng)域[2-11]，如變分原理、最優(yōu)控制等。在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究中，對(duì)稱性和守恒量的研究是一個(gè)重要方向。1918年，Noether揭示了Hamilton作用量在無(wú)限小變換群下的不變性，并得到守恒量。近年來(lái)，利用對(duì)稱性尋找守恒量的研究已取得重要的成果[12-19]。但是，關(guān)于時(shí)間尺度上動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量的研究相對(duì)較少。2004年，Boner[20]研究了時(shí)間尺度上的變分問(wèn)題。從此開(kāi)始，對(duì)于時(shí)間尺度上變分問(wèn)題的研究進(jìn)展迅速。2008年，Bartosiewicz和Torres[21]使用時(shí)間重新參數(shù)化技術(shù)得到了一般無(wú)限小變換群下的Noether定理。2013年，Cai等[22]研究了時(shí)間尺度上約束力學(xué)系統(tǒng)的Noether理論。2014年，Peng和Luo[23]研究了時(shí)間尺度上Hamilton系統(tǒng)的Noether定理。2015年，Song和Zhang[24]建立了時(shí)間尺度上的Birkhoff方程。隨著控制理論的發(fā)展，許多學(xué)者對(duì)可控系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量進(jìn)行了研究[25-27]。而，時(shí)間尺度上可控系統(tǒng)的研究剛剛起步。本文研究了時(shí)間尺度上相空間中可控力學(xué)系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性及其守恒量，并通過(guò)算例說(shuō)明其應(yīng)用。

1 時(shí)間尺度上相空間中可控力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1,2,,n)確定，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)受g個(gè)包含控制參數(shù)的一階非chetaev型非完整約束為

β=1,2,,g;

s=1,2,,n;

r=1,2,,b

(1)

約束(1)對(duì)虛位移的限制條件為

s=1,2,,n;

β=1,2,,g;

r=1,2,,b

(2)

時(shí)間尺度上Lagrange函數(shù)為

(3)

(4)

假設(shè)系統(tǒng)非奇異，即

(5)

(6)

其中

(7)

引進(jìn)時(shí)間尺度上廣義動(dòng)量和Hamilton函數(shù)

(8)

(9)

在相空間中，方程(1)、(2)和(7)式可寫(xiě)成

=0

(10)

(11)

(12)

時(shí)間尺度上Hamilton作用量為

(13)

對(duì)于時(shí)間尺度上相空間中有非勢(shì)力的力學(xué)系統(tǒng),Hamilton原理可表示為

(14)

(15)

δqs(t)|t=t0=δqs(t)|t=t1

=0

(16)

=0

(17)

利用式(16)有

(18)

將(18)式代入(17)式，得

(19)

方程(19)兩邊對(duì)ps求偏導(dǎo)數(shù)，得

(20)

將(20)式代入(19)式，得

(21)

將(21)式兩邊求Δ導(dǎo)數(shù)，得

s=1,2,,n;

β=1,2,，g

(22)

聯(lián)立方程(20)和(22),由(12)式，可得

(23)

稱方程(23)為系統(tǒng)(10)、(11)、(20)和(22)的時(shí)間尺度上可控完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，通過(guò)方程(23)中的控制參數(shù)vr來(lái)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。

2 時(shí)間尺度上相空間中可控力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理

引進(jìn)時(shí)間變化的單參數(shù)無(wú)限小變換群

(24)

其中，ε為無(wú)限小參數(shù)，ξ0、ξs和ηs為該無(wú)限小變換的生成元。

定義1若作用量(13)在變換(24)下是廣義準(zhǔn)對(duì)稱不變量，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的[ta,tb]?[t0,t1]，都有

(25)

判據(jù)1對(duì)于無(wú)限小變換(24)，如果無(wú)限小生成元ξ0、ξs、ηs滿足如下條件

(26)

則，變換為Noether意義下的廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換。

定理1如果無(wú)限小變換(24)是系統(tǒng)(23)下的廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換，那么

=C

(27)

是該系統(tǒng)的守恒量。

證明

=0

推論1若T=R，非完整約束為Chetaev型時(shí)，σ(t)=t,μ(t)=0,于是(26)式給出經(jīng)典的結(jié)構(gòu)方程

(28)

則守恒量(27)稱為經(jīng)典的相空間中可控力學(xué)系統(tǒng)的守恒量[25]

I=psξs-Hξ0+G=C

(29)

3 算 例

定義時(shí)間尺度

T={hk∶k∈Z}

(30)

系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(31)

所受的非完整約束為

(32)

其中，v(t)為控制參數(shù)，v(t)是t的函數(shù)，假設(shè)(32)是非Chetaev型的，虛位移限制方程為

(33)

根據(jù)(8)式和(9)式，有廣義動(dòng)量和Hamilton函數(shù)

(34)

(35)

建立該系統(tǒng)的正則方程，由式(22)得

(36)

由(32)、(34)和(36)式，求得

(37)

于是有

(38)

根據(jù)式(2)和(26)式，可得

=-GΔ

(39)

(40)

由(39)和(40)式，解得該系統(tǒng)的生成元

ξ0=0,ξ1=1,ξ2=1,η1=η2=0

(41)

將(41)式代入(26)式,有規(guī)范函數(shù)

GΔ=1

(42)

解得

G=t

(43)

由定理1，可得到守恒量

I=p1+p2+t

(44)

4 結(jié) 論

本文研究時(shí)間尺度上相空間中可控力學(xué)系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性。通過(guò)時(shí)間尺度上Hamilton原理，建立系統(tǒng)的Hamilton方程，得到了系統(tǒng)的Noether等式以及守恒量的具體表達(dá)式。由于時(shí)間尺度理論在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究具有重要意義，本文可進(jìn)一步拓展到時(shí)間尺度上可控力學(xué)系統(tǒng)Lie對(duì)稱性，Mei對(duì)稱性等。