考慮動(dòng)態(tài)性能退化的生產(chǎn)系統(tǒng)預(yù)防維護(hù)和緩存配置策略

郭聞?dòng)辏?張秀芳， 修玉皎， 夏唐斌， 潘爾順

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院， 上海 200240)

為了提高生產(chǎn)系統(tǒng)的可靠性，并保證其具有一定的生產(chǎn)加工能力，科學(xué)制定預(yù)防維護(hù)策略至關(guān)重要.然而,預(yù)防維護(hù)工作會(huì)造成設(shè)備停機(jī)，引起系統(tǒng)生產(chǎn)中斷，導(dǎo)致相應(yīng)損失.在生產(chǎn)系統(tǒng)的配置中，合理設(shè)置緩存區(qū)能有效減少因上游設(shè)備故障或上游設(shè)備維護(hù)而停機(jī)導(dǎo)致的下游設(shè)備空閑和生產(chǎn)缺貨問題[1]，從而降低損失成本；但緩存區(qū)的設(shè)立也會(huì)導(dǎo)致相關(guān)成本增加.因此，合理配置緩存容量并優(yōu)化系統(tǒng)的維護(hù)策略，有著迫切的現(xiàn)實(shí)意義.

圖2 第i個(gè)預(yù)防維護(hù)周期不同階段的緩存波動(dòng)示意圖

目前，針對(duì)帶緩存生產(chǎn)系統(tǒng)的維護(hù)策略的研究主要集中于雙機(jī)系統(tǒng).周炳海等[2]以“兩設(shè)備帶緩存區(qū)”的系統(tǒng)模型為研究對(duì)象,基于田口質(zhì)量損失理論，綜合考慮產(chǎn)品質(zhì)量損失和緩存區(qū)的影響，建立以最小化單位運(yùn)行成本為目標(biāo)的預(yù)防性維護(hù)模型.Dimitrakos 等[3]假設(shè)系統(tǒng)中的上游設(shè)備會(huì)發(fā)生故障，下游設(shè)備為完美機(jī)器不故障，以Markov過程對(duì)上游設(shè)備的維護(hù)閾值進(jìn)行優(yōu)化，并證明了設(shè)立緩存區(qū)對(duì)于降低長(zhǎng)期生產(chǎn)成本的作用.Meller等[4]提供了此類系統(tǒng)的典型應(yīng)用場(chǎng)景，即汽車總裝線，其中設(shè)備M1代表裝配線，設(shè)備M2代表直接供給裝配線的并行加工作業(yè)之一，系統(tǒng)特點(diǎn)在于設(shè)備M1維護(hù)導(dǎo)致停機(jī)而中斷生產(chǎn)的代價(jià)高昂.Cheng等[5]在此基礎(chǔ)上，考慮更符合實(shí)際的不完美維護(hù)，使用幾何分布來描述退化過程.Gan等[6]則研究了在預(yù)防維護(hù)過程中備件與緩存區(qū)容量的聯(lián)系，考慮維護(hù)或維修過程中存在備件短缺的問題，將備件響應(yīng)時(shí)間也作為決策變量.Rezg等[7]建立有限時(shí)間域內(nèi)包含維護(hù)、緩存和缺貨的總平均成本數(shù)學(xué)模型，同時(shí)對(duì)緩存容量和維護(hù)役齡進(jìn)行優(yōu)化決策，并利用模擬與試驗(yàn)設(shè)計(jì)相結(jié)合的方法簡(jiǎn)化求解同一問題，通過對(duì)精確數(shù)學(xué)模型和模擬試驗(yàn)結(jié)合法的結(jié)果進(jìn)行比較，證明后一種方法的準(zhǔn)確性，為復(fù)雜系統(tǒng)聯(lián)合優(yōu)化提供了思路.以上文獻(xiàn)在描述退化過程時(shí)，未考慮退化對(duì)設(shè)備加工性能造成的影響，因此無法全面反映設(shè)備的綜合狀態(tài)，也難以進(jìn)一步討論設(shè)置緩存對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)帶來的整體影響.

本文以此類帶有緩存區(qū)的雙機(jī)生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對(duì)象，引入設(shè)備動(dòng)態(tài)性能退化模型，同時(shí)對(duì)緩存變化的多個(gè)階段建模，以壽命周期內(nèi)的平均總成本最低為目標(biāo)，對(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)維護(hù)以及緩存設(shè)置進(jìn)行聯(lián)合決策，改善單一目標(biāo)決策的不足，從而更好解決工業(yè)制造實(shí)際場(chǎng)景的需求.

1 問題描述

本文的研究對(duì)象如圖1所示，I為生產(chǎn)系統(tǒng)的上游設(shè)備，P為下游設(shè)備，B為I和P之間的緩存區(qū)；I為P提供待加工的零部件和半成品等，具體應(yīng)用如汽車總裝線、座椅裝配線等[4].

圖1 帶有緩存區(qū)的雙機(jī)生產(chǎn)系統(tǒng)模型

本文全面地考慮了實(shí)際生產(chǎn)中隨維護(hù)作業(yè)與緩存變化而形成的3個(gè)階段：

(2) 平穩(wěn)生產(chǎn)期.當(dāng)緩存容量達(dá)到上限K之后，I的額定加工周期調(diào)整至與P一致，考慮I退化導(dǎo)致加工能力下降，緩存容量緩慢減少，直到I綜合性能狀態(tài)w降至維護(hù)閾值W.

本文假設(shè)條件如下：① I不發(fā)生饑餓，P不發(fā)生堵塞.② I在運(yùn)行時(shí)可靠度和加工能力均會(huì)下降，并伴隨著故障的發(fā)生，退化規(guī)律可用其可靠度和加工能力的綜合狀態(tài)函數(shù)表征；P退化緩慢，假設(shè)一直完好運(yùn)行.③ 預(yù)防維護(hù)只能使I回到較新狀態(tài).④ 若I故障時(shí)則執(zhí)行小修，可使其可靠度和加工能力恢復(fù)至故障前狀態(tài).⑤ 調(diào)整I額定加工周期時(shí)，I自身加工能力不改變.

模型參數(shù)為：ccm表示單次小修成本，小修時(shí)間忽略不計(jì)；cpm和tpm表示單次預(yù)防維護(hù)成本和時(shí)間；CR和tR表示置換成本和時(shí)間；cop1和cop0分別表示額定加工周期為T1和T0時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)I的運(yùn)行成本；ch0表示單位時(shí)間內(nèi)單件產(chǎn)品的緩存成本；c0表示單位時(shí)間下游設(shè)備的缺貨成本.

本文研究帶有緩存區(qū)的雙機(jī)生產(chǎn)系統(tǒng)，針對(duì)I可靠度和加工能力均發(fā)生衰退的情況，以生產(chǎn)系統(tǒng)長(zhǎng)期平均成本最低為目標(biāo)，需要確定最佳緩沖容量K*，上游設(shè)備I置換前達(dá)到維護(hù)閾值的最優(yōu)次數(shù)M*以及最優(yōu)維護(hù)閾值W*，即尋找最優(yōu)的設(shè)備維護(hù)和緩存配置策略(K*,M*,W*).

2 建立模型

2.1 生產(chǎn)系統(tǒng)時(shí)間模型

2.1.1緩存積累期 因I加工能力發(fā)生退化，第j+1 件產(chǎn)品的加工周期Ti,j+1和第j件產(chǎn)品的加工周期Ti,j之間的關(guān)系為

Ti,j+1=Ti,j+ΔTi,j+1

(1)

以額定加工周期與實(shí)際加工周期的比值來表示設(shè)備的加工能力，同時(shí)根據(jù)假設(shè)條件⑤，在τ時(shí)刻將額定加工周期從T0調(diào)整至T1，則設(shè)備的加工能力A滿足：

(2)

式中：∑ΔT和∑ΔT′是τ時(shí)刻設(shè)備在額定加工周期分別為T0和T1時(shí)對(duì)應(yīng)的加工周期增量，可求得加工時(shí)間增量之間的關(guān)系為

(3)

Ti,j=

(4)

式中：ΔTi,k～Γ(αt,βt)，Γ(αt,βt)是設(shè)備I在額定加工周期為T0時(shí)，加工周期增加量的分布；φi是第i次預(yù)防維護(hù)的加工能力修復(fù)參數(shù).

I完成第1件產(chǎn)品前，P處于缺貨狀態(tài)，因此I完成第j件產(chǎn)品后對(duì)應(yīng)的緩存容量為

(5)

(6)

(7)

2.1.2平穩(wěn)生產(chǎn)期 I的額定加工周期調(diào)整為T0，直至其綜合性能狀態(tài)緩慢退化至閾值W，平穩(wěn)生產(chǎn)期結(jié)束，I停止生產(chǎn).I在生產(chǎn)第i個(gè)周期第j件產(chǎn)品時(shí)，可靠度R和加工能力A的綜合狀態(tài)量wi,j為

wi,j=Ri,jAi,j=

(8)

Ti,j=

(9)

式中：ΔTi,k～Γ(αt,βt).

2.1.3緩存消耗期 I進(jìn)行預(yù)防維護(hù)或置換時(shí)，P以穩(wěn)定的速度消耗緩存.進(jìn)入第i個(gè)預(yù)防維護(hù)周期的緩存消耗期后，P將剩余緩存Klast(i)消耗完的時(shí)長(zhǎng)為

tB(i)=T0Klast(i)+T0(Ni-Klast(i))+

Ti,1-ti=T0Ni+Ti,1-ti

(10)

緩存消耗期系統(tǒng)狀態(tài)分為2種情況：

(1) 預(yù)防維護(hù)或者置換結(jié)束時(shí)，緩存已經(jīng)消耗完畢，即當(dāng)i

(11)

(2) 若預(yù)防維護(hù)或置換結(jié)束時(shí)，緩存仍未消耗完畢，即當(dāng)i

(12)

根據(jù)式(10)～(12)，可以求得I從投入使用到置換的總時(shí)間：

(13)

2.2 生產(chǎn)系統(tǒng)成本模型

2.2.1設(shè)備維護(hù)成本 在生產(chǎn)實(shí)際中，預(yù)防維護(hù)后故障率會(huì)顯著降低，但仍劣于初始狀態(tài)，同時(shí)故障率上升的速度變快[8-9]，因此本文將役齡遞減因子ai[10-11]和故障率遞增因子bi[12-15]相結(jié)合，建立混合故障率模型，描述設(shè)備可靠度修復(fù)結(jié)果.預(yù)防維護(hù)前后，設(shè)備故障率函數(shù)之間的關(guān)系為

λi+1(t)=biλi(t+aiti)

假設(shè)設(shè)備加工某件產(chǎn)品的過程中，可靠度以及加工能力保持不變，并且設(shè)備的失效率服從雙參數(shù)Weibull分布，則I生產(chǎn)第j件產(chǎn)品過程中的故障率為

λi,j=

(14)

CM=Cpm+Ccm=

(15)

2.2.2緩存成本和缺貨成本 由圖2可見，不同的生產(chǎn)階段中緩存變化的狀態(tài)大有不同.因此，在計(jì)算緩存成本時(shí)，對(duì)3個(gè)階段分別進(jìn)行討論.另外，緩存數(shù)量與下游設(shè)備是否缺貨直接相關(guān)，故將緩存成本和缺貨成本一并分析.

(1) 緩存積累期.此期間緩存量逐漸增加，直至到達(dá)設(shè)定的緩存容量上限K.在第i個(gè)預(yù)防維護(hù)周期的緩存積累期，至第j件產(chǎn)品生產(chǎn)完成時(shí)刻，P的累積產(chǎn)量為

(16)

求解I在緩存積累期內(nèi)生產(chǎn)第j件產(chǎn)品過程中產(chǎn)生的緩存成本，需考慮緩存數(shù)量是否改變，即P累積產(chǎn)量是否增加，因此緩存成本為

CH1(i,j)=

(17)

根據(jù)式(16)～(17)可以計(jì)算第i個(gè)維護(hù)周期中緩存積累期產(chǎn)生的總緩存成本：

(18)

在緩存積累期，P僅在I加工第1件產(chǎn)品時(shí)發(fā)生缺貨，因此P的缺貨成本為

CS1(i)=c0Ti,1

(19)

(2) 平穩(wěn)生產(chǎn)期.隨著I加工能力的下降，I對(duì)緩存區(qū)的供給速度將逐漸低于P對(duì)緩存區(qū)的消耗速度，緩存區(qū)在制品容量減少.I在第i個(gè)維護(hù)周期平穩(wěn)生產(chǎn)期內(nèi)生產(chǎn)第j件產(chǎn)品的過程中，實(shí)際緩存數(shù)量與K的最大差值為

(20)

若ΔK(i,j)≤K，說明直至第j件產(chǎn)品生產(chǎn)完成，即使I的加工能力有退化，緩存量仍能保證P的正常生產(chǎn)，不發(fā)生缺貨.為了降低不必要的建模復(fù)雜度，默認(rèn)I加工單件產(chǎn)品的實(shí)際周期Ti,j不超過系統(tǒng)額定周期T0的2倍，即Ti,j≤2T0.考慮緩存數(shù)量可能改變，由此求得平穩(wěn)生產(chǎn)期第j件產(chǎn)品生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的緩存成本：

CH2(i,j)=

(21)

接下來，根據(jù)平穩(wěn)生產(chǎn)期結(jié)束時(shí)P是否發(fā)生缺貨，本文分情況進(jìn)行了討論.

情況1若緩存充分，下游設(shè)備始終未發(fā)生缺貨，根據(jù)式(20)，I加工能力下降造成的緩存量下降的最大值為

(22)

在第i個(gè)維護(hù)周期的平穩(wěn)生產(chǎn)期結(jié)束后，緩存數(shù)量為Klast(i)=K-ΔKi，此種情形下，緩存成本為

(23)

第i個(gè)維護(hù)周期的平穩(wěn)生產(chǎn)期不發(fā)生缺貨，因此有

CS2(i)=0

(24)

(25)

該情況產(chǎn)生缺貨成本，且I在加工第Ni件產(chǎn)品之后，其可靠度和加工能力的綜合性能狀態(tài)首次達(dá)到設(shè)定的預(yù)防維護(hù)閾值，即wi,Ni≤W，相應(yīng)期間內(nèi)總的缺貨成本為

(26)

(3) 緩存消耗期.第i個(gè)維護(hù)周期的緩存消耗期開始時(shí)生產(chǎn)系統(tǒng)的緩存量為Klast(i)，系統(tǒng)進(jìn)入該階段后，P將剩余緩存全部加工完畢需要的時(shí)間為tB(i).

若Klast(i)=0，即系統(tǒng)在預(yù)防維護(hù)或置換開始時(shí)，緩存已經(jīng)消耗完畢，則該階段不產(chǎn)生緩存成本：

CH3(i)=0

(27)

對(duì)應(yīng)的缺貨成本為

(28)

若Klast(i)>0，緩存消耗期內(nèi)產(chǎn)生的緩存成本為

(29)

在Klast(i)>0的情形下，無法確定是先完成預(yù)防維護(hù)或置換動(dòng)作，還是P先加工完剩余緩存量，因此該階段缺貨成本為

CS3(i)=

(30)

I在綜合性能狀態(tài)第M次退化到達(dá)設(shè)定的閾值時(shí)進(jìn)行置換，再綜合上文中各階段各項(xiàng)成本，可以計(jì)算在I的壽命周期內(nèi)，該生產(chǎn)系統(tǒng)總緩存成本和總?cè)必洺杀緸?/p>

CH+CS=

(31)

2.2.3設(shè)備運(yùn)行成本 評(píng)價(jià)本文描述的雙機(jī)系統(tǒng)時(shí)，P始終正常運(yùn)行，因此僅考慮I的運(yùn)行成本.根據(jù)式(4)和(9)對(duì)加工時(shí)間的定義，可以計(jì)算第i個(gè)預(yù)防維護(hù)周期的運(yùn)行成本為

(32)

因此，在I的壽命周期內(nèi)，總的運(yùn)行成本為

(33)

3 求解方法

3.1 求解目標(biāo)

系統(tǒng)總成本包括I的維護(hù)成本CM、更換成本CR、運(yùn)行成本Cop、在制品緩存成本CH和下游設(shè)備的缺貨成本CS，I的壽命周期為Ttotal，從而可計(jì)算出系統(tǒng)的平均總成本為

(34)

以平均總成本為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)設(shè)備維護(hù)與置換策略和緩存容量設(shè)計(jì)進(jìn)行聯(lián)合決策.通過最小化求解式(34)中的Cavg，確定最優(yōu)策略(K*,M*,W*).

3.2 求解過程

求解前，考慮實(shí)際情況確定緩存區(qū)的最大允許量Kmax，并根據(jù)現(xiàn)有的設(shè)備相關(guān)資料確定設(shè)備維護(hù)次數(shù)上限Mmax，同時(shí)設(shè)定決策變量W的優(yōu)化范圍為[W1W2]，其中W1

(2)K=1,M=1,W=W1；

(4)W=W+0.01，若W≤W2，返回 (3)；否則轉(zhuǎn)(5)；

(5) 令K=K+1,W=W1，若K≤Kmax，則轉(zhuǎn)(3)，否則轉(zhuǎn)(6)；

(6) 令M=M+1,K=1,W=W1，若M≤Mmax，則轉(zhuǎn)(3)，否則程序結(jié)束.

4 算例分析及討論

根據(jù)生產(chǎn)實(shí)際及文獻(xiàn)[2]內(nèi)容，本文選取參數(shù)進(jìn)行數(shù)值分析，如表1所示.

根據(jù)第3節(jié)的求解流程，列部分計(jì)算結(jié)果于表2中.

表1 參數(shù)取值

表2 不同緩存容量下最優(yōu)預(yù)防維護(hù)策略及相應(yīng)平均成本

本文研究的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為緩存對(duì)整個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)帶來的影響，緩存一方面有效降低了I維護(hù)及退化所導(dǎo)致的P缺貨的風(fēng)險(xiǎn)，另一方面其自身又將產(chǎn)生不可忽視的花費(fèi).因此，為了凸顯本文策略的有效性，在相同假設(shè)條件下，比較設(shè)置緩存和不設(shè)置緩存兩種情況下系統(tǒng)的長(zhǎng)期運(yùn)行成本.當(dāng)不設(shè)置緩存時(shí)，I的額定加工周期不變，與P一致.通過類似的求解流程，可得到聯(lián)合決策的最優(yōu)解為(M*=3,W*=0.2)，相應(yīng)的平均成本則高達(dá) 11.697 4 美元.

對(duì)比2種模型處于最優(yōu)解時(shí)的各項(xiàng)成本，表3中數(shù)值均為系統(tǒng)在I壽命周期內(nèi)的各項(xiàng)平均成本.從對(duì)比數(shù)據(jù)可以看出，設(shè)置緩存產(chǎn)生的相應(yīng)成本遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于不設(shè)置緩存導(dǎo)致的缺貨成本.考慮到總成本的差異主要來自于緩存成本和缺貨成本之間的差距，因此本文進(jìn)一步討論了當(dāng)單位時(shí)間缺貨成本與單位時(shí)間緩存成本的比值變化時(shí)，設(shè)置合理緩存是否仍具有經(jīng)濟(jì)上的優(yōu)越性.如圖3所示，保持ch0不變，c0/ch0取值為10，50，100，200，300，400，500.比較總成本，當(dāng)c0/ch0增大即缺貨成本增加時(shí)，設(shè)置緩存帶來的成本節(jié)省愈發(fā)明顯；只有在該比值小至10時(shí)，有緩存和沒有緩存這兩種策略的總成本接近，但是考慮到文本所研究系統(tǒng)在實(shí)際中的應(yīng)用場(chǎng)景，下游設(shè)備(如汽車總裝的下游裝配線)缺貨的成本顯著高于緩存成本，因此c0/ch0的值應(yīng)遠(yuǎn)大于10.再觀察圖3中缺貨成本和緩存成本的對(duì)比，隨著c0/ch0增長(zhǎng)，缺貨成本的增長(zhǎng)明顯，但緩存成本的增長(zhǎng)速率明顯變緩至維持在一定水平，這也解釋了缺貨成本愈高，設(shè)置緩存愈加經(jīng)濟(jì)的原因.綜上，合理的緩存有利于生產(chǎn)系統(tǒng)的長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)，聯(lián)合決策設(shè)備預(yù)防維護(hù)策略和緩存配置是正確的選擇.

表3 各項(xiàng)平均成本對(duì)比

圖3 成本隨c0/ch0變化的分析

5 結(jié)語

本文基于設(shè)備可靠度和加工能力退化的規(guī)律，將考慮設(shè)備綜合性能退化的預(yù)防維護(hù)策略引入帶有緩存區(qū)的雙機(jī)系統(tǒng)中，對(duì)生產(chǎn)過程進(jìn)行了細(xì)致描述.依據(jù)緩存區(qū)的狀態(tài)變化，本文將生產(chǎn)過程分為3個(gè)階段，即緩存積累期、平穩(wěn)生產(chǎn)期和緩存消耗期，并分別對(duì)各階段緩存數(shù)量的變化建立模型.通過計(jì)算各階段內(nèi)產(chǎn)生的緩存、缺貨、維護(hù)及運(yùn)行成本，建立了以上游設(shè)備壽命周期內(nèi)平均成本最低為目標(biāo)，優(yōu)化設(shè)備預(yù)防維護(hù)策略和緩存配置的聯(lián)合決策模型.算例分析結(jié)果表明，盡管緩存將產(chǎn)生部分花費(fèi)，合理設(shè)置緩存仍能夠有效減少總成本.

實(shí)際生產(chǎn)中，3臺(tái)及以上設(shè)備構(gòu)成的生產(chǎn)線普遍存在，且需考慮設(shè)備間的串并聯(lián)關(guān)系，因此未來工作中將進(jìn)一步研究復(fù)雜多機(jī)系統(tǒng)的緩存配置問題.