美國(guó)膨脹節(jié)制造商協(xié)會(huì)標(biāo)準(zhǔn)圓形波紋管膨脹節(jié)應(yīng)力計(jì)算原理及其拓展推廣計(jì)算

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(自由職業(yè)， 江蘇 南京 210000)

波紋管膨脹節(jié)是壓力管道上常用的設(shè)備，其核心部件波紋管的設(shè)計(jì)相對(duì)復(fù)雜。波紋管不僅要滿足強(qiáng)度指標(biāo)，還要符合疲勞壽命、剛度、穩(wěn)定性等要求，設(shè)計(jì)時(shí)必須予以兼顧。膨脹節(jié)通常按照標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)，膨脹節(jié)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)較多，其中以美國(guó)膨脹節(jié)制造商協(xié)會(huì)標(biāo)準(zhǔn)(EJMA標(biāo)準(zhǔn))應(yīng)用范圍為最廣，國(guó)內(nèi)主要的膨脹節(jié)標(biāo)準(zhǔn)GB/T 12777—2008《金屬波紋管膨脹節(jié)通用技術(shù)條件》也是吸收EJMA標(biāo)準(zhǔn)并有所創(chuàng)新，與EJMA標(biāo)準(zhǔn)相互補(bǔ)充[1-4]。

隨著工業(yè)技術(shù)的進(jìn)步，波紋管膨脹節(jié)的使用工況變得復(fù)雜。在石油化工管道中使用的膨脹節(jié)，由于介質(zhì)成分比較復(fù)雜，常會(huì)出現(xiàn)波紋管與介質(zhì)接觸層采用高性能的材料，其他層采用較為普通的材料來(lái)設(shè)計(jì)、制造波紋管，并且這一設(shè)計(jì)方式有向其他行業(yè)擴(kuò)展的趨勢(shì)，如鋼鐵行業(yè)。目前多種材料制作的波紋管的設(shè)計(jì)計(jì)算還未標(biāo)準(zhǔn)化，不能滿足工業(yè)生產(chǎn)的實(shí)際需要。

文中分析和探討了EJMA標(biāo)準(zhǔn)中加強(qiáng)和無(wú)加強(qiáng)圓形波紋管的計(jì)算原理，并對(duì)EJMA標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算原理進(jìn)行推廣，推導(dǎo)出了2種不同材料制作的波紋管的應(yīng)力計(jì)算公式[5]。本中分析基礎(chǔ)采用EJMA第九版2011增補(bǔ)，文中未特別說(shuō)明的物理量含義與EJMA中的相同。

1 EJMA標(biāo)準(zhǔn)圓形波紋管計(jì)算原理

1.1 無(wú)加強(qiáng)型波紋管應(yīng)力計(jì)算

1.1.1波紋管直邊段環(huán)向膜應(yīng)力S1和套箍環(huán)向膜應(yīng)力S1′

波紋管直邊段與套箍承受的力之和為波紋管總受力，且符合變形協(xié)調(diào)條件，其周向應(yīng)變相等?？偸芰1為：

F1=p(Db+nt)Lt

式中，p為設(shè)計(jì)壓力；Db為波紋管直邊段內(nèi)徑；n為波紋管層數(shù)；t為波紋管單層壁厚；Lt為波紋管直邊段長(zhǎng)度。

已知波紋管直邊段截面積為ntLt,套箍截面積為L(zhǎng)ctc(Lc為套箍長(zhǎng)度，tc為套箍厚度)。根據(jù)應(yīng)變=應(yīng)力/彈性模量[6]，可得方程組：

解此方程組,得：

(1)

(2)

EJMA標(biāo)準(zhǔn)對(duì)式(1)和式(2)進(jìn)行修正，修正方法為分子分母同時(shí)乘以Db+nt，然后使用套箍平均直徑Dc代替式中套箍項(xiàng)Db+nt，并且分子和分母均乘以修正系數(shù)k，得出最終計(jì)算式：

1.1.2壓力在波紋管中產(chǎn)生的環(huán)向膜應(yīng)力S2

S2計(jì)算原理與壓力容器周向膜應(yīng)力計(jì)算原理[7]基本相同，區(qū)別是吸收位移后波紋管的受壓長(zhǎng)度將會(huì)發(fā)生變化。單波受力F2=pDmL。其中，Dm為波紋管有效直徑；L為波紋管單波軸向受壓長(zhǎng)度，取整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)的最大值。 EJMA標(biāo)準(zhǔn)中，L=qKr。其中，q為波距，Kr為周向應(yīng)力系數(shù)(拉伸會(huì)使位移增大L，式中的Kr隨之增大)。

S2按下式計(jì)算式：

1.1.3壓力引起的子午向膜應(yīng)力S3及子午向彎曲應(yīng)力S4

《波形膨脹節(jié)實(shí)用技術(shù)》[8]中給出了無(wú)加強(qiáng)波紋管的S3、S4計(jì)算的基本模型。EJMA標(biāo)準(zhǔn)采用兩端固支直梁受線性均布載荷作用的模型模擬波紋管受壓工況，梁長(zhǎng)度為W(即波高)，梁寬度為πDm(波紋管周向展開(kāi)長(zhǎng))，梁高為tp(材料壁厚)。梁的受力F3和力矩M1的最大點(diǎn)在梁的兩端，S3和S4按下式計(jì)算(F3、M1算式在材料力學(xué)[9]中查出)。

EJMA標(biāo)準(zhǔn)對(duì)S4增加了修正系數(shù)Cp，S4計(jì)算式修正為：

1.1.4單波當(dāng)量軸向位移e在波紋管中產(chǎn)生的子午向膜應(yīng)力S5及子午向彎曲應(yīng)力S6

文獻(xiàn)[8]中也給出了無(wú)加強(qiáng)波紋管的S5、S6計(jì)算基本模型。EJMA標(biāo)準(zhǔn)依然采用上文1.1.3所述兩端固支直梁模型，其一端發(fā)生e/2的偏移(1個(gè)波紋管相當(dāng)于2個(gè)并列的梁)。梁的受力F4和力矩M2最大點(diǎn)在梁兩端，S5和S6按下式計(jì)算(F4、M2算式可在材料強(qiáng)度力學(xué)[10]中查出)。

對(duì)S5、S6，EJMA標(biāo)準(zhǔn)分別增加了修正系數(shù)Cf、Cd，并且把S6的系數(shù)3/2修正成5/3，得到S5和S6最終計(jì)算式：

1.1.5單波理論軸向剛度f(wàn)i

(3)

式(3)是1層波紋管的單波理論軸向剛度計(jì)算式。如波紋管為多層結(jié)構(gòu)，則只要乘以層數(shù)n即可。

1.1.6柱狀失穩(wěn)壓力psc

EJMA標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算柱狀失穩(wěn)壓力psc時(shí)使用的模型把波紋管當(dāng)量成兩端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿,此桿直徑為波紋管有效直徑Dm，桿長(zhǎng)等于波紋管長(zhǎng)度Lb,波紋管波數(shù)為N，波紋管波距為q,此細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力Fcr按下式計(jì)算[11]：

(4)

1.2 加強(qiáng)型波紋管應(yīng)力計(jì)算

1.2.1波紋管直邊段環(huán)向膜應(yīng)力S1j及套箍環(huán)向膜應(yīng)力S1j′

加強(qiáng)型波紋管的S1j、S1j′計(jì)算原理和無(wú)加強(qiáng)型波紋管的基本一樣，區(qū)別就是軸向受力長(zhǎng)度取值發(fā)生了變化，其取值變成Lt+q/2，波紋管和套箍的金屬截面積相應(yīng)變化，受壓長(zhǎng)度范圍內(nèi)的所有金屬面積都被計(jì)入，則波紋管截面積變成nLtt+Ac/2 (Ac為單波截面積)，套箍截面積變成套箍面積+鎧裝環(huán)面積，統(tǒng)一記成Atc。S1j和S1j′的最終公式為：

需要說(shuō)明的是，考慮到國(guó)內(nèi)普遍將套箍和波紋管的直邊段焊接在一起的做法使得套箍環(huán)向彎曲應(yīng)力無(wú)太大實(shí)際意義，本文對(duì)EJMA標(biāo)準(zhǔn)中套箍環(huán)向彎曲應(yīng)力不作進(jìn)一步討論。

1.2.2整體型鎧裝環(huán)壓力在波紋管中產(chǎn)生的環(huán)向膜應(yīng)力S2j和壓力在鎧裝環(huán)中產(chǎn)生的環(huán)向膜應(yīng)力S2j′

波紋管加強(qiáng)鎧裝環(huán)分為整體連接型和螺栓連接型，這2種連接方式的計(jì)算有一定區(qū)別。下面針對(duì)EJMA標(biāo)準(zhǔn)中給出的整體連接鎧裝環(huán)的應(yīng)力計(jì)算過(guò)程進(jìn)行分析。計(jì)算基礎(chǔ)依然與容器膜應(yīng)力計(jì)算理論一樣，容器的總受力為pDL，其中受壓長(zhǎng)度L=qKr。采用EJMA標(biāo)準(zhǔn)中變量H來(lái)代表總受力，H=pDmqKr(EJMA標(biāo)準(zhǔn)中H并未包含Kr。為方便起見(jiàn)，文中H均包含Kr)，鎧裝環(huán)截面積為Ar，鎧裝環(huán)材料彈性模量為Er。

根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件和受力平衡條件可以列出方程組[13]：

解此方程組，得基礎(chǔ)計(jì)算式：

(5)

(6)

同理，對(duì)式(6)進(jìn)行調(diào)整，分子分母同時(shí)除以ArEr，有：

(7)

加強(qiáng)型波紋管最終計(jì)算公式是僅基于把鎧裝環(huán)看成材料和壁厚不同的一層波紋管(后面推廣分析不同材料組合成的波紋管時(shí)亦會(huì)證明此點(diǎn))的假設(shè)得到的理論推導(dǎo)式，EJMA標(biāo)準(zhǔn)未做進(jìn)一步的修正。

1.2.3螺栓連接型鎧裝環(huán)壓力在波紋管中產(chǎn)生的環(huán)向膜應(yīng)力S2jl、壓力在鎧裝環(huán)中產(chǎn)生的環(huán)向膜應(yīng)力S2jl′、壓力在連接螺栓產(chǎn)生的應(yīng)力S2jl″

螺栓連接鎧裝環(huán)的徑向長(zhǎng)度等于鎧裝環(huán)本體長(zhǎng)度Dm與螺栓有效長(zhǎng)度Lf之和，即Dm+Lf，螺栓連接鎧裝環(huán)受力徑向長(zhǎng)度示意圖見(jiàn)圖1。

圖1 螺栓連接鎧裝環(huán)受力徑向長(zhǎng)度示圖

螺栓連接鎧裝環(huán)徑向受壓長(zhǎng)度與波紋管不同，即鎧裝環(huán)組件和波紋管的應(yīng)變?chǔ)挪辉僖粯?。只能通過(guò)徑向絕對(duì)伸長(zhǎng)量相同來(lái)計(jì)算，伸長(zhǎng)量為Δ。由于Δ=εL且ε=S/E，則Δ=SL/E。鎧裝環(huán)主體伸長(zhǎng)量和螺栓伸長(zhǎng)量之和等于波紋管伸長(zhǎng)量，則有方程組：

對(duì)比1.2.2節(jié)式(7)可知，螺栓連接的鎧裝環(huán)加強(qiáng)的波紋管承受的力會(huì)增大，其增大量與螺栓長(zhǎng)度和截面積有關(guān)。而鎧裝環(huán)的應(yīng)力會(huì)相應(yīng)減小，但是此應(yīng)力狀態(tài)只發(fā)生在螺栓所在這一特定截面上，在其他截面鎧裝環(huán)還是相當(dāng)于整體連接的，特別是與此90°垂直的截面，因此鎧裝環(huán)應(yīng)力需要取大的點(diǎn)，即S2jl′的值要用式(7)計(jì)算。

1.2.4S3j、S4j、S5j、S6j、fij、pscj

鎧裝環(huán)加強(qiáng)型波紋管這些參數(shù)的計(jì)算原理與無(wú)加強(qiáng)波紋管只有一點(diǎn)區(qū)別。由于鎧裝環(huán)的存在，波紋管的一部分緊貼在鎧裝環(huán)上，不再參與位移工作和受力，導(dǎo)致計(jì)算模型的梁長(zhǎng)度變短了，EJMA標(biāo)準(zhǔn)把計(jì)算波高調(diào)整為W-4Crrm，其中rm為波紋管波紋平均半徑，Cr為和壓力有關(guān)的波高系數(shù)。簡(jiǎn)單理解就是壓力越大，波紋緊貼到鎧裝環(huán)上的部分越多，梁長(zhǎng)損失越多。壓力從0到無(wú)窮大，Cr相應(yīng)從0.2增大至0.3(壓力小于0應(yīng)該按0處理)。EJMA標(biāo)準(zhǔn)第十版更改了這一波高修改算法，取消了Cr[14]，這和本文分析原理關(guān)系不大，相當(dāng)于一個(gè)系數(shù)，只要按照EJMA標(biāo)準(zhǔn)取值即可。

另外，對(duì)于S3j、S4j的計(jì)算，EJMA標(biāo)準(zhǔn)還增加了修正系數(shù)0.85、將pscj計(jì)算式中系數(shù)0.34調(diào)整為0.3等。

2 復(fù)合材質(zhì)波紋管膨脹節(jié)應(yīng)力計(jì)算公式推導(dǎo)

應(yīng)用前述對(duì)標(biāo)準(zhǔn)圓形波紋管膨脹節(jié)計(jì)算原理的分析，針對(duì)由2種不同材料、壁厚組成的復(fù)合波紋管膨脹節(jié)進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算公式的拓展性推導(dǎo)。所有參數(shù)基本含義與EJMA標(biāo)準(zhǔn)中相同，參數(shù)下標(biāo)1表示常規(guī)材質(zhì)層，2表示更換的材質(zhì)層，例如Eb1、Eb2、n1、n2、S11、S12、S21、S22等。另外,Ac1、Ac2分別表示常規(guī)材料層和更換材料層的單波單層波紋管截面積；fi1、fi2分別表示常規(guī)材料層和更換材料層的單波單層理論軸向剛度；Ac表示單波總截面積，Ac=n1Ac1+n2Ac2；Ace表示單波總截面積彈性模量,Ace=n1Ac1Eb1+n2Ac2Eb2；y表示受線性均布力時(shí)梁的最大擾度。

2.1 波紋管直邊段應(yīng)力S11、S12、S1t′計(jì)算公式

2.1.1無(wú)加強(qiáng)型波紋管

依照本文第1部分中對(duì)無(wú)加強(qiáng)型波紋管應(yīng)力計(jì)算所作的原理分析，令Dp=Db+n1t1+n2t2，則有方程組：

解此方程組得：

調(diào)整方法同1.1.1節(jié)，計(jì)算式分子分母同時(shí)乘以Db+nt，然后使用套箍平均直徑Dc代替式中套箍項(xiàng)(Db+nt)，并且分子和分母均乘以修正系數(shù)k，得到由2種不同材料、壁厚組成的復(fù)合波紋管膨脹節(jié)的波紋管直邊段應(yīng)力S11、S12、S1t′最終計(jì)算公式如下：

S11、S12、S1t′最終計(jì)算式中的系數(shù)k與波紋管材料壁厚有關(guān)。如果波紋管內(nèi)不同壁厚材料組成，筆者建議按照常規(guī)層的壁厚取k值。

2.1.2加強(qiáng)型波紋管

應(yīng)用本文第1部分中對(duì)加強(qiáng)型波紋管應(yīng)力計(jì)算過(guò)程所作的原理分析，進(jìn)行拓展性推導(dǎo)和調(diào)整，得到由2種不同材料、壁厚組成的復(fù)合材料圓形波紋管膨脹節(jié)的波紋管直邊段應(yīng)力S11j、S12j、S1jt′最終計(jì)算公式如下：

2.2 波紋管與鎧裝環(huán)環(huán)向應(yīng)力S21、S22、S2jt′、S2jt″ 計(jì)算公式推導(dǎo)

2.2.1無(wú)加強(qiáng)波紋管

環(huán)向膜應(yīng)力的計(jì)算原理是2種材料承受的力之和等于總力H，有方程組：

解此方程組得：

2.2.2整體連接鎧裝環(huán)加強(qiáng)波紋管

應(yīng)用本文第1部分中對(duì)整體連接鎧裝環(huán)加強(qiáng)波紋管應(yīng)力計(jì)算所作的原理分析進(jìn)行拓展性推導(dǎo)，由2種不同材料、壁厚組成的復(fù)合波紋管膨脹節(jié)有方程組：

解此方程組可得波紋管與鎧裝環(huán)環(huán)向應(yīng)力S21j、S22j、S2jt′基本計(jì)算如下：

同理可得：

(8)

2.2.3螺栓連接鎧裝環(huán)環(huán)加強(qiáng)波紋管

對(duì)于由2種不同材料、壁厚組成的螺栓連接鎧裝環(huán)環(huán)加強(qiáng)波紋管，應(yīng)用與本文第1部分相同的計(jì)算原理，用伸長(zhǎng)量Δ相等進(jìn)行計(jì)算(波紋管的2種材料符合應(yīng)變相等的條件)，有方程組：

解此方程組得：

(9)

由式(9)可求出應(yīng)力S21jlt最終計(jì)算式如下：

同理得：

出于對(duì)螺栓連接鎧裝環(huán)加強(qiáng)型波紋管的受力分析(與本文第1.2.3部分相同)，此處的環(huán)應(yīng)力S2jit′相應(yīng)地需改用式(8)進(jìn)行計(jì)算。

2.3 波紋管子午向應(yīng)力S31、S32、S41、S42計(jì)算公式推導(dǎo)

波紋管子午向應(yīng)力的計(jì)算原理和本文第1部分分析的一樣，但由于部分層材料和壁厚的改變，各層分擔(dān)的分壓力將不相同(同一材料時(shí)，每層的分壓力是相同的)，因此要計(jì)算S31、S41、S32、S42，就需要先計(jì)算其分擔(dān)的分壓力，令分壓力分別為p1、p2。兩端固支直梁受線性均布力產(chǎn)生撓度示意圖見(jiàn)圖2。

圖2中梁的撓度計(jì)算式見(jiàn)工程力學(xué)手冊(cè)[15]，波紋管各層撓度y相同，則有：

圖2 兩端固支直梁受線性均布力產(chǎn)生撓度示圖

解此方程組得：

(10)

(11)

根據(jù)式(10)、(11)，直接調(diào)用前面的計(jì)算方法，即可求出應(yīng)力，本文不再繼續(xù)推導(dǎo)，最終公式如下(括號(hào)內(nèi)為加強(qiáng)型波紋管計(jì)算式,如果2種材料壁厚不一致，則系數(shù)Cp也不相同)：

2.4 S51、S52、S61、S62、fi1、fi2、fi、psct計(jì)算公式推導(dǎo)

對(duì)于位移引起的應(yīng)力S51、S52、S61、S62以及波紋管各層單波軸向理論剛度f(wàn)i1、fi2這些參數(shù)的計(jì)算，波紋管的各層相當(dāng)于并聯(lián)，相互間并不影響，因此使用EJMA標(biāo)準(zhǔn)的公式代入各自參數(shù)分別計(jì)算即可。而總單波軸向理論剛度只需把各層計(jì)算值相加即可，柱失穩(wěn)壓力psct亦可計(jì)算。結(jié)果羅列如下(括號(hào)內(nèi)為加強(qiáng)型波紋管的計(jì)算式，如果2種波紋層壁厚不一致，則系數(shù)Cf、Cd也不相同)：

fi=n1fi1+n2fi2

2.5 平面失穩(wěn)壓力psi計(jì)算公式推導(dǎo)

對(duì)平面失穩(wěn)壓力psi的計(jì)算，筆者沒(méi)有得出確切的計(jì)算模型和理論依據(jù)，只通過(guò)EJMA標(biāo)準(zhǔn)的公式進(jìn)行反推。對(duì)EJMA標(biāo)準(zhǔn)psi公式進(jìn)行調(diào)整，有：

(12)

單獨(dú)考慮各層，每一層分擔(dān)到的分壓力均不能超過(guò)單層平面失穩(wěn)的壓力，2種材料單層平面失穩(wěn)壓力分別為：

(13)

按照上面推論，平面失穩(wěn)壓力是由環(huán)向應(yīng)力S2推導(dǎo)而來(lái)，就按照環(huán)向應(yīng)力特性求解2種材料分壓力p1′、p2′，有：

解此方程組得：

先按照第2種材料單層平面失穩(wěn)壓力psi2計(jì)算波紋管總平面失穩(wěn)壓力，有：

(14)

將式(14)帶入式(13)得出按照第2種材料單層平面失穩(wěn)壓力算出的總平面失穩(wěn)壓力：

(15)

同樣步驟，可以求出按第1種材料單層平面失穩(wěn)壓力算出的總平面失穩(wěn)壓力：

(16)

然后取式(15)、式(16)計(jì)算出的數(shù)值較小者即可得出最終平面失穩(wěn)壓力值。

3 結(jié)語(yǔ)

波紋管膨脹節(jié)在管線中使用情況變得越來(lái)越復(fù)雜，但是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)卻略顯滯后，特別是采用2種材料復(fù)合制造的波紋管越來(lái)越多的被應(yīng)用，標(biāo)準(zhǔn)中卻沒(méi)有相應(yīng)計(jì)算公式。本文通過(guò)分析EJMA標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)計(jì)算原理并按照原理進(jìn)行推廣，推導(dǎo)出了復(fù)合制造波紋管的計(jì)算公式，可以解決相應(yīng)實(shí)際問(wèn)題。