基于傅里葉描述子的耦合串聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型尺度融合設(shè)計

朱留憲 呂 浩 韓遠(yuǎn)飛 趙 萍 李祥云

1.西南交通大學(xué)機械工程學(xué)院，成都，6100312.四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院四川省高溫合金切削工藝技術(shù)工程實驗室，德陽，6180003.合肥工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，合肥，230009

0 引言

機構(gòu)綜合指根據(jù)給定的機構(gòu)運動特性、動力學(xué)特性，設(shè)計出實現(xiàn)給定特性的機構(gòu),本文中利用傅里葉描述子設(shè)計耦合串聯(lián)連桿機構(gòu)就是典型的機構(gòu)綜合問題。耦合串聯(lián)連桿機構(gòu)指通過齒輪或繩索滑輪傳動使連桿轉(zhuǎn)動耦合的一類連桿機構(gòu)，其優(yōu)點在于通過齒輪或皮帶-帶輪傳動來耦合各桿運動，可以使串聯(lián)連桿機構(gòu)的自由度減小到1，從而實現(xiàn)單驅(qū)動器控制，降低控制難度，同時還可實現(xiàn)較為復(fù)雜的末端執(zhí)行器軌跡或運動位姿。

近年來，利用傅里葉級數(shù)進(jìn)行機構(gòu)綜合的研究越來越受到重視。該方法最早由文獻(xiàn)[1]用于連桿機構(gòu)函數(shù)生成問題中，此后，文獻(xiàn)[2-9]均將傅里葉級數(shù)方法應(yīng)用到機構(gòu)綜合中，極大地促進(jìn)了機構(gòu)綜合的研究發(fā)展。

在最近的機構(gòu)綜合問題研究中，文獻(xiàn)[10]將傅里葉方法用于RCCC機構(gòu)的軌跡綜合問題，在給定目標(biāo)軌跡條件下，通過建立的軌跡數(shù)值圖譜和推導(dǎo)的機構(gòu)安裝參數(shù)、連桿上點的位置理論計算式解決了RCCC機構(gòu)軌跡綜合問題。文獻(xiàn)[11]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步將傅里葉級數(shù)用于RCCC機構(gòu)的運動綜合問題，通過研究連桿剛體轉(zhuǎn)角輸出和位置輸出與機構(gòu)基本尺寸之間的關(guān)系，給出了進(jìn)行剛體導(dǎo)引綜合的具體步驟，實現(xiàn)了對RCCC機構(gòu)剛體導(dǎo)引綜合問題的求解。

文獻(xiàn)[12]借助傅里葉變換，從球面四桿機構(gòu)輸入角與連桿運動的函數(shù)關(guān)系入手，發(fā)現(xiàn)了連桿位姿與機構(gòu)基本尺寸之間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上建立了連桿運動諧波特征參數(shù)的數(shù)值圖譜庫，解決了球面四桿機構(gòu)運動綜合問題。文獻(xiàn)[13]則將傅里葉級數(shù)用于球面四桿機構(gòu)曲柄滑塊機構(gòu)的尺度綜合問題，通過傅里葉級數(shù)對該機構(gòu)的函數(shù)發(fā)生、軌跡發(fā)生和剛體導(dǎo)引發(fā)生這三大機構(gòu)尺度綜合問題進(jìn)行了深入研究。

文獻(xiàn)[14]首先將傅里葉描述子方法擴展到Clifford代數(shù)理論中的四元數(shù)映射空間，解決了四桿機構(gòu)綜合中的周期循環(huán)運動綜合問題，通過將四桿機構(gòu)的連桿運動位姿轉(zhuǎn)化為映射空間中的曲線并利用傅里葉描述子進(jìn)行表達(dá)，借助神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了連桿位姿傅里葉描述子與四桿機構(gòu)基本尺寸參數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。

上述文獻(xiàn)主要是在機構(gòu)具體結(jié)構(gòu)已確定的情況下進(jìn)行機構(gòu)的尺度綜合，而本文的方法則是在已知目標(biāo)機構(gòu)類型為耦合串聯(lián)機構(gòu)而其具體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和尺度參數(shù)均未知的情況下進(jìn)行其構(gòu)型尺度的融合設(shè)計。在前期的工作中[15-17]，我們已通過運動映射理論對平面目標(biāo)運動進(jìn)行分析，找到目標(biāo)運動的幾何約束，解決了RP、RR、PR等二桿組(R代表轉(zhuǎn)動副，P代表移動副)的構(gòu)型與尺寸融合設(shè)計問題。本文則主要通過傅里葉變換對目標(biāo)運動進(jìn)行諧波分析，從而確定其中的最簡軌跡(包含最少數(shù)量的諧波分量)，并由這些諧波分量所包含的特征參數(shù)確定與之對應(yīng)的耦合串聯(lián)機構(gòu)的全部拓?fù)浜统叨刃畔?，完成目?biāo)運動數(shù)據(jù)驅(qū)動的機構(gòu)綜合。

1 復(fù)數(shù)形式傅里葉變換

文獻(xiàn)[18]指出，一個平面運動軌跡可定義為z(t)=x(t)+y(t)i，其中x(t)和y(t)分別是產(chǎn)生該軌跡的運動點在t時刻的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。如果平面軌跡是封閉的，則復(fù)函數(shù)z(t)可認(rèn)為是一個周期函數(shù)。假設(shè)T表示該函數(shù)的最小正周期，那么，一個連續(xù)周期復(fù)函數(shù)z(t)的傅里葉變換由下式給出：

(1)

其中，hn(t)為n階諧波分量；Cn為hn(t)的傅里葉描述子，其值可由下式給出：

(2)

當(dāng)封閉曲線由一系列的離散點構(gòu)成而并非一條連續(xù)曲線時，周期函數(shù)z(t)可表示為

(3)

其中，j表示第j個點；N表示離散點的總個數(shù)。

在式(1)的諧波分量hn(t)中，傅里葉描述子C0定義了基波(0階諧波分量)h0(t)的幅值和初始相位，在幾何意義上則給出了平面軌跡的形心或幾何中心，同時決定了軌跡在固定坐標(biāo)系中的位置，而其他諧波分量hn(t)(n≠0)則分別對應(yīng)了不同半徑、初始相位以及轉(zhuǎn)動速度的動態(tài)圓軌跡。例如，第k個諧波分量hk(t)表示在t從0～T的時間內(nèi)以旋轉(zhuǎn)角速度ω=2kπ/T旋轉(zhuǎn)了k圈的動態(tài)圓軌跡，它所包含的傅里葉描述子Ck則給出了產(chǎn)生該圓軌跡的運動點的轉(zhuǎn)動半徑和起始轉(zhuǎn)角。

因此，任何平面軌跡都可視為一系列不同半徑、轉(zhuǎn)動速度以及起始轉(zhuǎn)角的動態(tài)圓軌跡依次相連而成。例如在圖1中，粗實線所示的橢圓軌跡可以由兩個動態(tài)圓軌跡形成，兩個圓軌跡對應(yīng)的諧波分量分別為h1(t)和h-1(t)，分別由對應(yīng)于C1和C-1傅里葉描述子的向量C1和C-1以各自旋轉(zhuǎn)速度生成。故而從機構(gòu)實現(xiàn)角度來看，任意給定的平面軌跡均可由耦合串聯(lián)連桿機構(gòu)實現(xiàn)，并且桿的數(shù)目、尺寸及轉(zhuǎn)動速度分別由動態(tài)圓軌跡的數(shù)目、半徑以及角速度決定。

圖1 橢圓運動軌跡Fig.1 The elliptical motion trajectory

2 最簡軌跡的確定

考慮一個相對于固定坐標(biāo)系F給定的離散平面運動M(j)=(x(j),y(j),θ(j))，j=1,2,…,N，其中x、y、θ分別表示動坐標(biāo)系的原點坐標(biāo)和動坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系之間的夾角，圖2所示為該平面運動剛體的一個瞬時位置，其中g(shù)點為動坐標(biāo)系原點，p點為剛體上的任意一點，a點是要確定的最簡軌跡上的瞬時位置點。

圖2 平面剛體運動的一個瞬時位置Fig.2 A momentary position of plane rigid body motion

給定的動坐標(biāo)系原點軌跡按照復(fù)數(shù)形式可表示為：g(j)=x(j)+y(j)i。剛體上任意一點p的運動軌跡在固定坐標(biāo)系中以復(fù)數(shù)形式可表示為p(j)=xp(j)+yp(j)i，而p點相對于動坐標(biāo)系M的坐標(biāo)為rgp(up,vp)，則p點運動軌跡又可以由下式給出：

(4)

改寫式(4)，將其簡化表達(dá)為

p(j)=g(j)+rgpeiθ(j)

(5)

式(5)中g(shù)(j)和p(j)分別表示了動坐標(biāo)系原點g和剛體上任意點p的平移運動，eiθ(j)表示了剛體的旋轉(zhuǎn)運動。根據(jù)式(3)和式(4)得到包含p(j)傅里葉描述子的表達(dá)式如下：

(6)

然后根據(jù)傅里葉描述子的線性性質(zhì)，式(6)可以簡化為

Cpn=Cgn+rgpCθn

(7)

其中，Cpn、Cgn和Cθn分別表示軌跡p、g和eiθ的第n階諧波分量的傅里葉描述子。

需要指出的是，在動剛體上所有點的運動軌跡中，存在圖2所示的軌跡a，它的傅里葉描述子中包含了最少數(shù)量的諧波分量，可以將其定義為目標(biāo)運動的最簡軌跡。例如，假設(shè)該最簡軌跡a僅包含0階、1階和2階諧波分量，這時，對于剛體上動坐標(biāo)系原點g，它的第n階傅里葉描述子可表示為

(8)

n≠0,1,2

同理，對于剛體上任意一點p，它的第n階傅里葉描述子可表示為

(9)

n≠0,1,2

由于所給的目標(biāo)運動信息中沒有直接給出最簡軌跡，我們需要從兩點的軌跡數(shù)據(jù)中識別出該目標(biāo)運動所包含的最簡軌跡。由式(8)、式(9)可知，如果選定軌跡p和g并對比，能夠發(fā)現(xiàn)它們的傅里葉描述子之間絕大部分是成比例的(除對應(yīng)于最簡軌跡諧波分量階數(shù)的傅里葉描述子之外)。那么，軌跡p和g的傅里葉描述子將滿足如下關(guān)系：

(10)

其中，k是一個常數(shù)，它對應(yīng)于p和g相對于a的相對位置。

本文的方法是通過分析所選擇的2個軌跡的諧波分量來找到k，即：將每個Cgn與Cpn相除，然后得到一組復(fù)數(shù)，假設(shè)它們是Kn，n={-H,…,0,…,H}，H表示可以得到的傅里葉系數(shù)的最高階數(shù)，構(gòu)成集合{Kn}。它們的值大多等于k，只有少數(shù)不同?，F(xiàn)在，想找出哪些元素是不同的，以便確定k的值。如果計算每個元素與其他元素之間的差的絕對值之和，這個問題就可以簡化為

(11)

通過這一步，可以將從集合中找不同元素的問題轉(zhuǎn)換為找集合中比其余元素大得多的元素的問題，因為原集合中的那些不同的元素在經(jīng)過式(11)計算后將比其他的元素值大得多。

由于{Kn}中的不同元素的階數(shù)實際上對應(yīng)了最簡軌跡a的諧波分量的階數(shù)，因此可以通過從{Cgn}和{Cpn}中消除這些階數(shù)對應(yīng)的傅里葉描述子來獲得k的值：

(12)

其中，n不等于不同項對應(yīng)的階數(shù)。

這里求和的目的是為了提高計算精度。得到比值k后，通過式(8)～(10)導(dǎo)出：

其中，n等于不同項對應(yīng)的階數(shù)。

求得最簡軌跡a的傅里葉系數(shù)。

至此，得到最簡軌跡a包含的所有諧波分量，這意味著確定了最簡軌跡a的所有信息。

3 最簡軌跡的機構(gòu)實現(xiàn)

基于前面的討論，剛體運動時其上任意一點的軌跡均可由一系列動態(tài)圓軌跡首尾相連形成，而最簡軌跡則包含了最少數(shù)量的動態(tài)圓軌跡(即最少數(shù)量的諧波分量)，相應(yīng)地，最簡軌跡可以由最少數(shù)量的耦合串聯(lián)桿實現(xiàn)。第2節(jié)中給出了最簡軌跡的識別方法，這里仍然假設(shè)最簡軌跡a僅包含0階、1階、2階諧波分量，則該最簡軌跡的諧波表達(dá)式如下：

a(j)=C0e0i2πj/N+C1e1i2πj/N+C2e2i2πj/N

(14)

其中，C0為a(j)的0階諧波分量的傅里葉描述子，決定了最簡軌跡的幾何中心位置，也給出了耦合串聯(lián)機構(gòu)的固定鉸鏈坐標(biāo)；a(j)的1階諧波分量對應(yīng)的動態(tài)圓軌跡的角速度為2π/N，代表了桿L1的轉(zhuǎn)速；|C1|為旋轉(zhuǎn)半徑，代表桿L1的長度；起始轉(zhuǎn)角為argC1，代表桿L1相對于固定坐標(biāo)系的起始轉(zhuǎn)角。a(j)的2階諧波分量對應(yīng)的動態(tài)圓軌跡的角速度為4π/N，代表桿L2的轉(zhuǎn)速；旋轉(zhuǎn)半徑為|C2|，代表桿L2的長度；起始轉(zhuǎn)角為argC2，代表桿L2相對于固定坐標(biāo)系的起始轉(zhuǎn)角。

因此，根據(jù)式(14)，最簡軌跡可通過一個耦合串聯(lián)連桿機構(gòu)來實現(xiàn)(圖3)，各桿之間的相對轉(zhuǎn)動通過齒輪來耦合，其作用是使各桿的旋轉(zhuǎn)速度等于各動態(tài)圓軌跡的角速度。

圖3 通過耦合串聯(lián)機構(gòu)實現(xiàn)的最簡軌跡Fig.3 The simplest trajectory realized by CSM

4 實例：方法的驗證

使用齒輪五桿機構(gòu)連桿運動來驗證本文方法的可行性。該齒輪五桿機構(gòu)的初始狀態(tài)如圖4所示，給定的運動如圖5所示。桿的參數(shù)列于表1，L1和L2的初始角度分別為120°和60°。在連桿剛體上設(shè)定一個動坐標(biāo)系，并利用這個動坐標(biāo)系的運動來驗證所述方法。為了實施該方法，必須在動剛體上任意選擇兩點，由動坐標(biāo)系的運動可以得到它們的軌跡p和q，該兩點及兩鉸鏈點R2和R3在動坐標(biāo)系中的位置信息見表2。

圖4 齒輪五桿機構(gòu)的初始狀態(tài)Fig.4 The initial status of the geared 5-bar linkage mchanism

圖5 給定的連桿目標(biāo)運動Fig.5 The given motion of coupler link

表1 齒輪五桿機構(gòu)相對于固定坐標(biāo)系的參數(shù)Tab.1 Parameters of gear 5-bar linkage mechanism with respect to the fixed frame

表2 連桿剛體相對于動坐標(biāo)系的信息Tab.2 Coupler rigid body information with respect to the moving frame

表3 齒輪五桿機構(gòu)連桿運動相關(guān)參數(shù)
Tab.3Parametersingear5-barlinkagemechanism’scouplermotion

階數(shù)CpnCqnKnKNn-50.243 2-0.221 5i0.027 24-0.338 5i0.707 7+0.661 57i1.910 9-40.260 1+0.104 7i0.269 9-0.104 3i0.707 7+0.661 57i1.910 9-3-0.161 6-0.094 41i-0.188 4+0.042 77i0.707 7+0.661 57i1.911 0-21.00 8-1.615i1.968-1.482i0.721 3-0.277 47i8.681 7-10.126 7-0.109 1i0.018 63-0.171 6i0.707 7+0.661 57i1.911 000.385 6+0.135 2i0.386 1-0.169 8i0.707 7+0.661 57i1.910 91-0.711 1-0.942 4i-0.420 5-1.114i0.951 3-0.279 17i8.975 920.076 32+0.031 44i0.079 72-0.030 09i0.707 7+0.661 57i1.911 030.028 58+0.164 4i0.137 4+0.103 8i0.707 7+0.661 57i1.910 94-0.075 41+0.077 65i-0.002 129+0.111 7i0.707 7+0.661 57i1.910 95-0.038 02+0.021 76i-0.013 33+0.043 21i0.707 7+0.661 57i1.910 9

根據(jù)式(14)，可以確定一個包含兩個桿的耦合串聯(lián)連桿機構(gòu)來實現(xiàn)這個最簡軌跡。桿L1的長度為|C1|=7.999 9，桿L2的長度為|C-2|=15.999 9，與給定五桿的曲柄基本相同。此外，沒有C0，這意味著機構(gòu)的固定鉸鏈位置在(0,0)處，也就是與R0相同。因此，所述方法是可行的。

為了形成閉鏈并保持機構(gòu)自由度為1，還需要找到一個二桿組。由文獻(xiàn)[15-17]可知，有一種快速有效的算法可用于二桿組綜合。根據(jù)該算法，連桿長度L4、R3在動坐標(biāo)系M中的位置以及R4在固定坐標(biāo)系中的位置與給定數(shù)據(jù)完全相同。

5 實例：任意運動的綜合

圖6 給定任意平面剛體運動Fig.6 The arbitrary given motion of planar rigid body

從上文傅里葉描述子中可以提取以下信息：機構(gòu)的固定鉸鏈點R0相對于固定坐標(biāo)系位于(0.165 5,-3.186 7)，耦合串聯(lián)連桿機構(gòu)包含兩個桿，桿1以ω1=1 r/s的速度旋轉(zhuǎn)，其長度大約為|C1|=3.886 6，起始轉(zhuǎn)角為argC1=-59.11°；桿2以ω2=-1 r/s的速度旋轉(zhuǎn)，其長度為|C-1|=1.906 7，起始轉(zhuǎn)角為argC-1=66.39°。

表4 任意給定平面剛體運動相關(guān)參數(shù)Tab.4 Parameters in the arbitrary given motion of plane rigid body motion

在這個例子中，將耦合串聯(lián)連桿機構(gòu)與二桿組進(jìn)一步綜合，最終得到了一個如圖7所示的閉式連桿機構(gòu)。該機構(gòu)包含4個活動桿件，桿1和桿2為實現(xiàn)最簡軌跡的耦合串聯(lián)連桿機構(gòu)中兩桿件；桿3為連桿，實現(xiàn)了給定的目標(biāo)運動；桿4是為形成閉鏈找到的二桿組。該閉式連桿機構(gòu)的自由度為1，同時還可以實現(xiàn)給定的目標(biāo)運動，這進(jìn)一步證明了所述方法是正確可行的。

圖7 機構(gòu)綜合結(jié)果Fig.7 The synthesis result of mechanism

6 結(jié)論

本文提出了一種方法對給定的平面剛體運動進(jìn)行機構(gòu)綜合，得到耦合串聯(lián)機構(gòu)。通過方法敘述和實例論證，可以得到以下結(jié)論：對任意給定的平面運動，本文定義剛體運動中的包含最少數(shù)量諧波分量的軌跡為最簡軌跡，并給出了確定該最簡軌跡的方法。最簡軌跡包含的諧波分量確定了耦合串聯(lián)連桿機構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)信息(桿件數(shù)目、齒輪數(shù)目及相互之間的連接關(guān)系)和尺度參數(shù)信息(桿件長度、齒輪齒數(shù)、固定鉸鏈位置等)。為了形成閉鏈，找到一個二桿組，并最終得到了一個閉式連桿機構(gòu)。實例表明，該方法在進(jìn)行任意給定平面運動綜合時是可行的。