基于函數(shù)cot(xα)變換的傅立葉級數(shù)在大壩變形數(shù)據(jù)分析中的應用

王江榮，王慶嶺

(蘭州石化職業(yè)技術學院信息處理與控制工程學院，甘肅 蘭州 730060)

大壩在建設期和運營期都會因地質(zhì)構(gòu)造、周圍環(huán)境、氣溫變化、施工技術、壩體自重及水力作用等發(fā)生變形，科學、合理地預測大壩變形對確保大壩安全具有重要意義。受監(jiān)測條件的影響，大壩的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)列往往含噪聲且具有波動性大、規(guī)律性和平穩(wěn)性較差的特點，針對這類變形監(jiān)測數(shù)據(jù)列建模，已有研究分別采用了經(jīng)驗模態(tài)分解技術[1]和B樣條函數(shù)[2]，這兩種建模方法均取得了理想的預測效果，但也存在建模過程復雜等問題。本文在已有研究成果的基礎上，提出了一種基于函數(shù)cot(x2)變換的傅立葉級數(shù)建模方法，利用該建模方法得到的大壩變形預測模型具有很強的數(shù)據(jù)適應能力和外推能力，只需少量級數(shù)項就能達到理想的預測效果，對于其中的模型系數(shù)及相關參數(shù)可采用遺傳算法估算。實證分析表明利用該建模方法所建立的大壩變形預測模型具有很高的預測精度，可應用于工程實踐。

1 函數(shù)cot(x2)變換及傅立葉級數(shù)建模流程

1.1 函數(shù)cot(x2)變換

1.2 傅里葉級數(shù)

若函數(shù)f(t)在閉區(qū)間[-l,l]上連續(xù)或僅有有限個第一類間斷點，則函數(shù)f(t)可利用傅立葉級數(shù)來表示[5]，即：

(1)

1.3 基于函數(shù)cot(x2)變換的傅立葉級數(shù)建模流程

本文提出的基于函數(shù)cot(x2)變換的傅立葉級數(shù)建模流程，詳見圖1。

圖1 基于函數(shù)cot(x2)變換的傅立葉級數(shù)建模流程

2 工程實例應用與分析

某大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)[7](觀測時間間隔相同)見表 1，本文利用前32期的大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)建模，利用后4期即第33、34、35、36期的大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)對模型進行檢驗。

表1 某大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)

某大壩前32期的切向位移原始監(jiān)測數(shù)據(jù)點分布，見圖2。

圖2 某大壩前32期的切向位移原始監(jiān)測數(shù)據(jù)點分布

由圖2可見，因受工程地質(zhì)構(gòu)造、土壤物理性質(zhì)、大氣溫度、水文、建筑物承受荷載、建筑物內(nèi)部結(jié)構(gòu)、所用材料及施工質(zhì)量等隨機性因素的影響[8-10]，該大壩變形原始監(jiān)測數(shù)據(jù)列的波動性較大，呈現(xiàn)部落或族狀，光滑度及規(guī)律性均較差，因大壩變形是一個漸變的過程，所以描述這類數(shù)據(jù)點的函數(shù)通常是連續(xù)的或存在第一類間斷點，故可利用傅立葉級數(shù)來逼近這類數(shù)據(jù)點。需要指出的是，數(shù)據(jù)的光滑度越高，利用傅立葉級數(shù)逼近的效果就越好，故將原始監(jiān)測數(shù)據(jù)列作函數(shù)cot(x2)變換，以提高數(shù)據(jù)列的光滑度，具體過程如下：

(1) 對大壩變形原始監(jiān)測數(shù)據(jù)列進行標準化處理：對該大壩前32期切向位移原始監(jiān)測數(shù)據(jù)做如下標準化處理：

(2)

(3)

式中:t為監(jiān)測次數(shù)(次)，且t=1,2,…,32，以下相同。

本文采用遺傳算法對模型系數(shù)及相關參數(shù)進行估算。定義目標函數(shù)(適應度函數(shù))如下：

(4)

設n=3，打開Matlab遺傳算法工具箱GAOT界面GUI[11]，在Fitness function中輸入@finess(目標函數(shù)的Matlab程序名，程序在此略)，在Number of Variables中輸入8，在下邊界lower中輸入-2*ones(1,8)，在上邊界Upper中輸入2*ones(1,8)，執(zhí)行Start命令，經(jīng)79次迭代(迭代過程見圖3)，輸出的目標函數(shù)最優(yōu)值為0.000 598 781，輸出的模型系數(shù)及相關參數(shù)值如下：

圖3 適應度函數(shù)變化曲線

從傅立葉級數(shù)提取的模型為

S3(t)=0.698 8-0.225 2cos0.073 7t-0.445 2sin0.073 7t-0.208 5cos0.147 4t+0.264 9sin0.147 4t+0.133 4cos0.221 1t+0.012 1sin0.221 1t

(5)

從模型式(3)的決定系數(shù)、殘差分析來看，當n=1，2時，模型的擬合效果不及n=3的情形；當n>3時，模型的擬合效果未得到顯著改善。依據(jù)模型結(jié)構(gòu)力求簡單、運算量盡可能小、精確度盡可能高的原則，選擇n=3的模型為大壩變形最終的預測模型。需要指出的是，利用模型式(5)計算出的擬合預測值還需要按下式進行數(shù)據(jù)還原:

(6)

該大壩前32期變形監(jiān)測的原始監(jiān)測數(shù)據(jù)與模型擬合曲線，見圖4。

圖4 某大壩前32期變形監(jiān)測的原始數(shù)據(jù)與模型擬合曲線

作為對比，本文給出了未經(jīng)光滑處理的該大壩前32期變形監(jiān)測原始數(shù)據(jù)的傅立葉級數(shù)模型：

y=51.15+0.467 9cos0.178 2t+0.578 4sin0.178 2t+0.487 8cos0.356 4t-0.755 7sin0.356 4t+0.182 7cos0.534 6t-0.231 8sin0.534 6t

(7)

本文利用模型式(5)、(6)以及模型式(7)對該大壩后4次變形進行預測，并將其預測結(jié)果與文獻[2]的預測結(jié)果進行了對比，詳見表2和表3。

表3 大壩變形預測模型的精度比較

注：絕對誤差=|預測值-實際值|；相對誤差=|(預測值-實際值)÷實際值|×%。

由表3可知，本文建立的基于函數(shù)cot(x2)變換的傅立葉級數(shù)(Fourier)大壩變形預測模型(簡稱cot(x2)-Fourier模型)的預測精度(最大絕對誤差不超過0.087 4，平均相對誤差僅為0.099 5%)明顯高于另兩種預測模型。究其原因分析認為：大壩變形的原始監(jiān)測數(shù)據(jù)呈現(xiàn)離散斷裂狀、波動性大、規(guī)律性差等特點，對這類數(shù)據(jù)列不適合采用參數(shù)回歸模型(需要事先設定)來表征，而適合采用非參數(shù)回歸模型(基函數(shù)的代數(shù)和)來逼近實際變形曲線(盡管未知)，而傅立葉級數(shù)能任意逼近在區(qū)間[-l,l]上的連續(xù)函數(shù)(或僅有第一類間斷點的函數(shù))，故本文選用傅立葉級數(shù)建模；另外，數(shù)據(jù)的光滑程度直接關系著傅立葉級數(shù)模型的逼近效果，所以在建模前應對建模數(shù)據(jù)進行平滑處理，本文通過函數(shù)cot(x2)變換提高了大壩變形原始監(jiān)測數(shù)據(jù)的光滑度，從而提高了預測模型的預測精度，實例應用也證明了這一點。

3 結(jié) 論

受監(jiān)測條件、地形地貌、地質(zhì)構(gòu)造、周圍環(huán)境和氣候環(huán)境等因素的影響，大壩變形的原始監(jiān)測數(shù)據(jù)往往呈現(xiàn)離散斷裂狀、非光滑性、規(guī)律性差等特點，對這類數(shù)據(jù)列如果采用事先設定的變形曲線模型進行擬合預測，常常會發(fā)生因設定不當而出現(xiàn)較大偏差的現(xiàn)象，而傅立葉級數(shù)能夠逼近任意連續(xù)函數(shù)(或僅有限個第一類間斷點)，利用傅立葉級數(shù)建?？梢杂行У乇苊膺@種現(xiàn)象的發(fā)生。大壩變形或其他建筑物變形均為時間的未知連續(xù)函數(shù)(可能存在第一類間斷點)，非常適合利用傅立葉級數(shù)逼近該變形函數(shù)，但因數(shù)據(jù)的光滑度對傅立葉級數(shù)逼近效果有較大的影響，所以在建模前應對大壩變形的原始監(jiān)測數(shù)據(jù)進行平滑處理。函數(shù)cot(xα)變換是一種被理論證明能提高數(shù)據(jù)光滑度的方法，基于函數(shù)cot(xα)變換的傅立葉級數(shù)模型法具很強的數(shù)據(jù)表達能力，對建筑物后期變形的預測具有較高的精度，而且利用傅立葉級數(shù)建模只需少量級數(shù)項就能取得理想的預測效果，這種優(yōu)點有利于工程實踐。