數(shù)學(xué)建模視角下三角計算及應(yīng)用問題的案例研究

馬秀偉

摘要：數(shù)學(xué)建模是將抽象簡化的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于解決實際問題的一種解決問題的思維模式，也是一種解決實際問題的工具。本案例本著以學(xué)生為中心，以實例為基礎(chǔ)，以培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)理念，將數(shù)學(xué)建模的思想融入于三角計算解決實際應(yīng)用題。案例研究體會數(shù)學(xué)建模的全過程，強化數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用，借助適當(dāng)?shù)男畔⒒侄?，集中精力進行數(shù)學(xué)建模思維的訓(xùn)練，既減輕了學(xué)習(xí)三角計算應(yīng)用的負擔(dān)，又提升了建模的魅力，將數(shù)學(xué)理論與實際進行了有機的結(jié)合，為數(shù)學(xué)理論知識指導(dǎo)實踐找到了有效的路徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;三角計算;案例

一、引言

數(shù)學(xué)建模概括的說就是對現(xiàn)實問題進行簡化抽象為數(shù)學(xué)模型，人們通過對問題的深入研究、了解問題的具體信息、對問題做出客觀的簡化假設(shè)、分析問題的內(nèi)在規(guī)律，用數(shù)學(xué)的符號和語言建立數(shù)學(xué)模型，對實際問題做出表述，從而達到對實際問題進行定量地分析和研究的目的。

三角計算在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有十分重要的地位，是數(shù)學(xué)學(xué)科與諸多工科專業(yè)學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)，其內(nèi)容具有如下幾個特點：第一，涵蓋內(nèi)容較繁雜，包括兩角和與差的余弦公式與正弦公式、二倍角公式、正弦型函數(shù)、正弦定理和余弦定理等概念;第二，三角計算知識是電類、機類、建筑類等學(xué)習(xí)的必備知識，具有較強的應(yīng)用價值。其在教學(xué)中要本著“以服務(wù)為宗旨，以就業(yè)為導(dǎo)向”的教學(xué)理念進行教學(xué)設(shè)計，要跳出數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科體系，盡量本著密切結(jié)合生產(chǎn)實際、解決實際案例問題的思想進行教學(xué)。

二、三角計算及應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)建模案例

受眾學(xué)生為機電技術(shù)應(yīng)用專業(yè)中職二年級學(xué)生，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對于他們而言顯得枯燥無味，但專業(yè)學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇見數(shù)學(xué)問題，需要貼近專業(yè)的數(shù)學(xué)。本著通過教學(xué)讓學(xué)生掌握錐角與錐度的數(shù)學(xué)概念及運算、掌握板材下料的計算，能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法解決機械加工中的典型案例，同時有助于強化學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)視角解決現(xiàn)實問題的意識、培養(yǎng)創(chuàng)新精神的目的，對數(shù)學(xué)建模進行簡化為五個環(huán)節(jié)，將數(shù)學(xué)模型與機械加工問題有機融合，為三角計算應(yīng)用注入活力。

（一）案例一軸承錐角計算

聚焦問題（模型準(zhǔn)備）：學(xué)生觀看視頻，了解軸承應(yīng)用領(lǐng)域;從卡車車輪圓錐軸承入手，通過三維交互動畫，剖析結(jié)構(gòu)，將實物轉(zhuǎn)化成截面圖形;下發(fā)“學(xué)案”介紹數(shù)學(xué)建模的方法及“六步”的含義，根據(jù)數(shù)學(xué)建模理念進行解決實際應(yīng)用題。

合理假設(shè)（模型假設(shè)）：設(shè)定軸承截面圖為軸截面。

合理假設(shè)（模型建立）：此環(huán)節(jié)借助三維交互動畫，呈現(xiàn)三角模型建立過程，明確錐度、錐角、圓錐臺上、下端直徑及高的含義，破解學(xué)生難以將實物抽象成數(shù)學(xué)模型、確定數(shù)學(xué)參數(shù)能力不足的教學(xué)難點。

推演公式（模型求解）：

（1）建立圓錐臺圓錐角的平面幾何關(guān)系圖，給出相關(guān)參數(shù)的概念：圓錐臺上底圓的直徑為D、下底圓的直徑為d、高為L;

（2）進行模型求解：推導(dǎo)出圓錐臺的錐度定義式，找出圓錐臺圓錐角與D、d、L之間的關(guān)系，建立關(guān)系式。

錐度是指圓錐的底面直徑與錐體高度之比，常用字母C表示。如果是圓錐臺，則為上、下兩底圓的直徑差與圓臺高度之比值。

在角 所在的直角三角形中，得出關(guān)系式

理性回歸（模型分析）：組織學(xué)生梳理關(guān)系式，剖析參數(shù)由來及相互關(guān)系，應(yīng)用CAD Models展示參數(shù)變化對軸承的影響，通過推演公式、理性回歸兩步，完成教學(xué)重點的學(xué)習(xí)。

案例應(yīng)用（模型檢驗）：完成學(xué)案中軸承外圈計算，依據(jù)結(jié)果應(yīng)用3D打印技術(shù)，打印出圓錐軸承外圈模型，與內(nèi)圈進行匹配，體驗原型檢驗，完成驗證題目。

（二）案例三板材下料問題

聚焦問題（模型準(zhǔn)備）：展示動畫“板材下料”，了解鐵板焊接的下料方法;下發(fā)“學(xué)案”，讓學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)建模步驟解決實際問題。

合理假設(shè)（模型假設(shè)）：兩塊寬度不同的鐵板，要對接焊接成固定角。

合理假設(shè)（模型建立）：完成“兩塊寬分別為a、b的鐵板，對接焊接成θ角，如何下料”的平面幾何圖。

推演公式（模型求解）：在Rt△ABD和Rt△ACB中，設(shè)AB的長為m，則

理性回歸（模型分析）：當(dāng)焊接角度一定的情況下，假設(shè)兩塊板材的寬度

a〉b，那么

（1）板材寬度值越大切割后對接的角度越大，反之越小;

（2）當(dāng)兩塊板材的寬度越接近相等，對接角度越接近。

案例應(yīng)用（模型檢驗）：

將模型分析結(jié)果與實際情形進行比較，通過實際應(yīng)用題目來驗證模型的合理性、準(zhǔn)確性及適用性。

三、結(jié)束語

將數(shù)學(xué)建模的思想融入到三角計算解決實際應(yīng)用題中，不僅幫助學(xué)生化解了單純學(xué)習(xí)三角計算知識的枯燥無趣、培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣;同時也破解了學(xué)生運用三角知識解決實際問題的難點，較好的掌握了靈活運用三角計算解決應(yīng)用題的思維方法。學(xué)生通過積極參與數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)備、假設(shè)、建立、求解、分析、檢驗六個步驟的思維過程，強化學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想、培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)智慧;數(shù)學(xué)建模這一工具的應(yīng)用培養(yǎng)了學(xué)生概括抽象問題的綜合能力，處理不同問題的應(yīng)變能力，提升了解決實際問題的自信心。

參考文獻：

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