化歸思想在解題中的應(yīng)用

張博原

化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種思維策略.化歸思想的精髓就是通過某種方法和手段將復(fù)雜或抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為簡單或具體的數(shù)學(xué)問題，從而使數(shù)學(xué)問題得到解決.

一、化歸思想基本原則

無論是日常的學(xué)習(xí)還是考試，數(shù)學(xué)的題型豐富，解題方法多樣.但在多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，筆者發(fā)現(xiàn)化歸思想可以應(yīng)用在多種題型中，如代數(shù)，幾何，等等.但在運(yùn)用化歸思想解題時要遵循以下幾個原則.

第一，化陌生為熟悉.知識是相互聯(lián)系的，在面對陌生的數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)當(dāng)利用先前解決其他數(shù)學(xué)題的經(jīng)驗(yàn)來解決陌生的問題，即將腦海中的新舊知識整合，尋找之間的關(guān)聯(lián)，從而利用舊知識解決新問題.第二，化復(fù)雜為簡單.該原則旨在將復(fù)雜的問題，通過整理關(guān)系結(jié)構(gòu)或表達(dá)形式等手段將復(fù)雜的問題拆分成模塊，簡化問題的復(fù)雜程度，從而解決問題.第三，化抽象為具體.將抽象的關(guān)系用形象的方式表達(dá)，例如聯(lián)系實(shí)際、數(shù)圖結(jié)合等都是將抽象的數(shù)據(jù)變化為生活畫面或者圖形的手段，這樣可以更直觀地觀察要解決的問題.

二、化歸思想在解題中的應(yīng)用

1.化陌生為熟悉原則在解題中的應(yīng)用.

用舊的知識解決新的問題是快速解決問題的有效方式之一，常見的運(yùn)用方法有降次化歸、消元化歸等，這些方法在初中就有接觸，也是高中最常用的解題步驟.在高中數(shù)學(xué)求點(diǎn)的坐標(biāo)時，常用二元一次方程組求解，該求解過程就是消元化歸的典型應(yīng)用.

例如，用消元化歸法對方程①5x+3y=11和②7x+4y=15組成一個二元一次方程組進(jìn)行求解，通過②-①轉(zhuǎn)化就可以得到表達(dá)式③y=4-2x，將③代入①后，①方程從原本的有兩個未知數(shù)x，y變?yōu)棰?x+3（4-2x）=11，因此可求得x=1，進(jìn)而可得y=2.在解決此題的過程中，直接解二元一次方程比較困難，但是將二元化為熟悉的一元就會非常好解.

又如，用消元化歸對以下的抽象函數(shù)問題進(jìn)行求解.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=ax-a-x+2（a>0，且a≠1），若g（2）=a，則f（2）為多少？根據(jù)題目可得①f（-x）+g（-x）=a-x-ax+2和②f（x）+g（x）=ax-a-x+2，又由于f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（-x）=-f（x），g（x）= g（-x），將其帶入①+②可得g（x）=2，所以a=2.令x=2帶入①則得到f（2）的結(jié)果.在這一題中就是利用抽象函數(shù)的定義將f（x）消除，進(jìn)而得到g（x），從而進(jìn)行求解.

2.化復(fù)雜為簡單原則在解題中的應(yīng)用.

化復(fù)雜為簡單就是將數(shù)學(xué)題化繁為簡.有時候當(dāng)遇到一個條件非常多或公式非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)題時就要思考是否要運(yùn)用化繁為簡的化歸原則進(jìn)行解題.下面以題為例.

已知x2+x-1=0，求x3+2x2+2009的值.從題目上看，給的已知條件少，但所求式的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，有三次方和二次方，而給的條件是二次方和一次方.因此，這個題目就要從結(jié)構(gòu)上入手，將x3+2x2+2009通過降次化歸將該問題化為包含x2+x-1=0的形式.由x2+x-1=0可知x2+x=1，x3+2x2+2009可以表示為x（x2+x）+x2+2009，最終得x3+2x2+2009=2010.

3.化抽象為具體原則在解題中的應(yīng)用.

在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合的解題方法充分利用了化抽象為具體的化歸原則，將抽象的數(shù)字用圖形表示出來.從人的思維方式發(fā)展的角度而言，形象思維比抽象思維出現(xiàn)得更早.因此，形象思維更簡單，更值觀，也可以說更為低級，所以在運(yùn)用形象思維時更方便、更迅速.因此，將抽象的數(shù)字化為具體的圖像更利于解題.例如，已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A∩B.這種題可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，利用數(shù)軸進(jìn)行解答，將A和B的范圍在數(shù)軸上畫出，再找出兩者的交集區(qū)域即可.再例如，已知a>0，b>0，a≠b，試比較a2+b22和2aba+b的大小.這一問題就可以通過直角三角形解決，BC長為a，AC長為b，則a2+b2就表示AB，再通過設(shè)CM和CN為AB的中線和∠C的角平分線，然后再利用三角形面積公式等將這一問題解決.

在上述舉例中可以看出，化歸思想可以應(yīng)用在多種題型中，并且存在于多種解題方法中.事實(shí)上，除了上述的三個化歸原則，還有化特殊為一般，化一般為特殊等原則，這些原則在許多問題中也能應(yīng)用.除了上述的降次法、消元法、數(shù)形結(jié)合法，還有轉(zhuǎn)換法等.究其根本，都是運(yùn)用了化歸思想，將陌生、復(fù)雜、抽象、特殊或一般的問題通過利用舊知識，將問題簡化從而使問題得到解決.