絕對(duì)值復(fù)合問題的解法探究

王苑

[摘? ?要]絕對(duì)值是高中數(shù)學(xué)的基本概念，以其為基礎(chǔ)命制的考題比較多.例如，絕對(duì)值不等式問題、絕對(duì)值函數(shù)問題等.解此類問題的關(guān)鍵是采用合理的方式除去其中的絕對(duì)值，常用的解題方法有公式法、分類討論法和數(shù)形結(jié)合法.

[關(guān)鍵詞]絕對(duì)值; 復(fù)合問題;探究

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）23-0025-02

絕對(duì)值是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，含有絕對(duì)值的問題在高考中出現(xiàn)的頻率也很高.含絕對(duì)值的問題具有很強(qiáng)的綜合性，解法也較為靈活.下面探討含絕對(duì)值的問題的常用解法.

一、公式運(yùn)用

求解絕對(duì)值問題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，最為常用的方法是結(jié)合絕對(duì)值的定義、性質(zhì)，采用公式法求解.例如關(guān)注其非負(fù)性，使用平方公式;關(guān)注其等價(jià)關(guān)系，使用三角不等式轉(zhuǎn)化，等等.實(shí)際解題時(shí)需要重點(diǎn)分析問題特點(diǎn)，提煉條件.

[例1]已知不等式[2x-3<3x+1]，試求x的取值.

解析：此題屬于常規(guī)的含絕對(duì)值的不等式問題，可以使用基本的公式來轉(zhuǎn)化.對(duì)于a > 0，有[xa][?][x>a]或a>0時(shí)，[x

根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可知[3x+1]> 0，進(jìn)而可將原不等式轉(zhuǎn)化為-（3x+1） < 2x-3 < 3x+1，則可以構(gòu)建如下不等式組：[2x-3>-3x-12x-3<3x+13x+1>0]，則有[x>25x>-4x>-13]，

綜合可知[x>25]，即x的取值為[x>25].

點(diǎn)評(píng)：上述在解含有絕對(duì)值的不等式問題時(shí)采用了公式法，從而實(shí)現(xiàn)了問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)建了對(duì)應(yīng)的不等式組，即采用“絕對(duì)值不等式→不等式組”的策略.實(shí)際上就是利用綜合去絕對(duì)值公式和成立條件來構(gòu)建不等式組，后續(xù)取值范圍分析時(shí)需要從交集角度綜合考慮.

二、分類討論

對(duì)于含有絕對(duì)值的問題，還可以采用分類討論的方法，包括零點(diǎn)討論和參數(shù)討論.前者是在坐標(biāo)軸上將每個(gè)絕對(duì)值為零的零點(diǎn)標(biāo)注出來，利用零點(diǎn)分割數(shù)軸，然后討論各段取值;后者則是結(jié)合參數(shù)的取值范圍來針對(duì)性探討含絕對(duì)值的符號(hào).

[例2]已知關(guān)于x的不等式[2x-m≤1]的整數(shù)解有且只有一個(gè)，且為2.

（1）試求整數(shù)m的取值;

（2）在（1）成立的前提下解不等式[x-1+x-3≥m].

解析：此題屬于含絕對(duì)值的不等式問題，解題的關(guān)鍵是采用合適的策略去掉絕對(duì)值符號(hào).第（1）問求整數(shù)m的值，不等式只含有一個(gè)絕對(duì)值，利用絕對(duì)值的定義可將其轉(zhuǎn)化為[m-12≤x≤m+12]，題干指出不等式的整數(shù)解有且只有一個(gè)，為2，則可進(jìn)一步化為[m-12≤2≤m+12]，從而有[3≤m≤5]，分析可知m = 4.

第（2）是在第（1）問的基礎(chǔ)上展開的，則不等式變?yōu)閇x-1+x-3≥4].該不等式中含有兩個(gè)絕對(duì)值，可以采用零點(diǎn)討論的方式，利用零點(diǎn)來討論各段的取值.其中的零點(diǎn)為x=1和x=3，則需要分以下三種情況：

①當(dāng)[x≤1]時(shí)，可將不等式轉(zhuǎn)化為1-x+3-x[≥4]，解得[x≤0].則不等式對(duì)應(yīng)的解集應(yīng)為[xx≤0];

②當(dāng)1< x [≤3]時(shí)，可將不等式轉(zhuǎn)化為x-1+3-x [≥4]，則[x∈?].則不等式對(duì)應(yīng)的解集應(yīng)為[?];

③當(dāng)x >3時(shí)，可將不等式轉(zhuǎn)化為x-1+x-3[≥4]，解得[x≥4].則不等式對(duì)應(yīng)的解集應(yīng)為[xx≥4].

綜上可知，不等式的解集為[-∞，0?4，+∞].

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含有一個(gè)絕對(duì)值的問題，一般結(jié)合定義，采用公式法來直接轉(zhuǎn)化.而對(duì)于含有多個(gè)絕對(duì)值的問題，可以采用分類討論的方法，通過分類來細(xì)化取值范圍，降低思維難度，實(shí)現(xiàn)去絕對(duì)值的目的.而在分類討論的過程中需要注意幾點(diǎn)：①確定討論的域，確保討論中“不重復(fù)、不遺漏”;②確定討論標(biāo)準(zhǔn)，整個(gè)討論過程只能按照同一標(biāo)準(zhǔn);③注意總結(jié)歸納，分類討論需要得出有效的結(jié)論，這就需要對(duì)討論結(jié)果加以綜合.

三、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是分析代數(shù)問題最為有效的方法之一，通過數(shù)形結(jié)合的方法可以將代數(shù)問題形象直觀化，從而有效降低解題難度，求解絕對(duì)值問題同樣可以靈活采用數(shù)形結(jié)合的方法.

[例3]現(xiàn)已知函數(shù)f （x）= [x2+3x]，[x∈R]，如果f （x）-a[x-1] = 0，剛好有四個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：對(duì)于方程f （x）-a [x-1] = 0，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可知f （x）[≥0]，[x-1≥0].顯然a > 0，方程變形可得f （x）= a [x-1]，則可以將其拆解為兩個(gè)函數(shù)，即f （x）=[x2+3x]和g（x）= [ax-1]，兩者的圖像關(guān)系可分為以下兩種情形：

①若y=-[x2-3x]與y=-a（x-1）相切時(shí)，如圖1所示，此時(shí)a=1，結(jié)合圖像交點(diǎn)可知方程剛好有3個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根;

[圖1][圖2]

②當(dāng)y = [x2+3x]與y = a（x-1）相切時(shí)，如圖2所示，此時(shí)a = 9，結(jié)合圖像交點(diǎn)可知方程剛好有2個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根.

綜上，結(jié)合圖像分析可知，若要使方程剛好有4個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根，則有0 < a < 1或a > 9.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含有絕對(duì)值的方程問題可以采用數(shù)形結(jié)合的方法，即首先拆分出函數(shù)，結(jié)合函數(shù)知識(shí)繪制對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，將問題轉(zhuǎn)化為分析函數(shù)圖像問題，而曲線的交點(diǎn)就為方程的解.而在作圖時(shí)需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是注意挖掘題干中的隱含條件，細(xì)化參數(shù)取值，簡(jiǎn)化作圖;二是注意圖像繪制準(zhǔn)確，尤其是對(duì)于圖像的臨界位置，需要充分結(jié)合相關(guān)參數(shù)來加以分析.另外，數(shù)形結(jié)合的過程不需要刻意而為，從條件出發(fā)，探索問題轉(zhuǎn)化思路.

總之，絕對(duì)值的問題類型很多，且常與其他知識(shí)綜合考查，常見的有基本的絕對(duì)值不等式求值和復(fù)合的絕對(duì)值函數(shù)問題，而基本的性質(zhì)、定理、公式是求解不等式復(fù)合問題的基礎(chǔ)，對(duì)于其中的函數(shù)問題則需要合理利用函數(shù)的圖像、單調(diào)性等知識(shí)來突破.從上述例題的突破求解來看，對(duì)于較為簡(jiǎn)單的絕對(duì)值問題，可從代數(shù)角度，利用代數(shù)公式來分析求解，而對(duì)于較為復(fù)雜的絕對(duì)值問題則需要靈活應(yīng)用解題策略來簡(jiǎn)化.

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

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（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）