確定排列片橫縱比的方法
——85%法則再分析

張 華 王梅生 李康虎 寧宏曉 韓志雄 辜 勇

(東方地球物理公司采集技術(shù)中心，河北涿州 072751)

0 引言

在本世紀(jì)初，地球物理工作者就提出寬方位采集概念并逐步嘗試。早在2003年前，凌云研究小組[1]通過(guò)對(duì)中國(guó)西部寬方位資料的研究，認(rèn)為寬方位角地震勘探在巖性和方向性裂縫勘探領(lǐng)域具有廣闊應(yīng)用前景。受當(dāng)時(shí)設(shè)備條件和成本限制，寬方位高密度采集技術(shù)的推廣舉步維艱。凌云等[2]進(jìn)一步分析了在上覆地層相對(duì)平緩、資料具有一定信噪比的情況下，寬方位比窄方位三維采集能獲得更高成像分辨率資料，并不需很高覆蓋次數(shù)，如60～80次。也有其他地球物理工作者根據(jù)中國(guó)東部灘海地區(qū)特點(diǎn)構(gòu)建地質(zhì)模型，對(duì)比寬方位與窄方位三維采集正演模擬資料，在上覆地層相對(duì)平緩、速度橫向變化不大的背景下，寬方位和窄方位三維采集都能實(shí)現(xiàn)地下目標(biāo)可信的地震成像，且兩者的成像分辨率基本相當(dāng)[3]。此階段地震資料評(píng)價(jià)僅限于成像效果，且前提是地質(zhì)條件簡(jiǎn)單的較高信噪比資料。

自從第七代十萬(wàn)道級(jí)地震儀誕生后，“兩寬一高”地震采集技術(shù)、高效采集技術(shù)才真正得到推廣應(yīng)用[4]。如在塔里木[5]、柴達(dá)木[6]、渤海灣[7]、準(zhǔn)噶爾[8]、大慶[9]、吐哈[10]以及乍得邦戈[11]等盆地或地區(qū)都取得了較好應(yīng)用效果。

寬方位采集技術(shù)也促進(jìn)了處理、解釋技術(shù)的發(fā)展，如催生了面向?qū)挿轿坏卣饠?shù)據(jù)的炮檢距向量片(OVT)處理技術(shù)[5]、寬方位角地震資料噪聲壓制技術(shù)[12]、寬方位層析速度建模技術(shù)、深度域成像技術(shù)[13]和針對(duì)斷層的“兩寬一高”地震資料[14]處理—解釋配套技術(shù)，這些技術(shù)日臻完善并被推廣應(yīng)用。同時(shí)，寬方位高密度處理、解釋技術(shù)的進(jìn)步也反推“兩寬一高”現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)采集技術(shù)的逐步完善。

高密度寬方位采集技術(shù)是當(dāng)今石油物探采集領(lǐng)域重要的方法創(chuàng)新，以此集成的“高密度寬方位地震勘探技術(shù)創(chuàng)新及重大成效”成功入選了2015～2016年“中國(guó)石油石化科技創(chuàng)新十大進(jìn)展”。

寬方位地震采集的目的是獲取觀測(cè)方位、炮檢距和覆蓋次數(shù)分布盡可能均勻的三維數(shù)據(jù)體，但寬方位高密度觀測(cè)必然會(huì)帶來(lái)現(xiàn)場(chǎng)采集成本的大量增加。因此，研究高效便捷、經(jīng)濟(jì)實(shí)用的觀測(cè)系統(tǒng)及相應(yīng)的采集方法，就成為寬方位高密度地震采集設(shè)計(jì)的核心理念[15]，而其中三維排列片尺寸及其縱橫比的設(shè)計(jì)顯得尤為重要。

Cordsen等[16]給出了一種“折中”方法，這就是一直指導(dǎo)大家進(jìn)行三維地震勘探觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的“85%法則”——排列片縱向長(zhǎng)度選擇為最大炮檢距長(zhǎng)度的85%，橫向長(zhǎng)度又選擇為縱向長(zhǎng)度的85%。李慶忠[17]隨后指出“Andreas Cordsen主張排列片的最佳縱、橫比為85%，而沒(méi)有深入討論其缺點(diǎn)”，顯然此處的“缺點(diǎn)”有更寬泛的地球物理內(nèi)涵。然而，Cordsen等二十多年前提出的85%法則，至今尚未見(jiàn)到有人深入分析其合理性并詳細(xì)論證何種排列片才是更經(jīng)濟(jì)高效的？

本文質(zhì)疑依據(jù)85%法則設(shè)計(jì)出來(lái)的排列片是否就是最佳排列片？進(jìn)而探討是否還有其他更佳方案或能否給設(shè)計(jì)者更大的選擇自由度？因此，本文基于數(shù)學(xué)積分計(jì)算，得到基于最大炮檢距限制的有效和無(wú)效地震采集信息及其相對(duì)變化信息隨排列片縱、橫長(zhǎng)度的函數(shù)關(guān)系，生成函數(shù)圖像； 通過(guò)研究函數(shù)圖像，提供有助于三維觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的系列圖表。在數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程中，剖析了Cordsen的“85%法則”； 提供了設(shè)定三維觀測(cè)系統(tǒng)排列尺寸和橫縱比更理想的方案。

1 數(shù)學(xué)模型

排列片通?？v向選為x方向、橫向?yàn)閥方向，取排列片中心為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系。以論證的最大炮檢距為半徑(R)畫圓，圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合(圖1)。

在三維采集設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)動(dòng)校拉伸限制、反射系數(shù)穩(wěn)定性、主要目的層埋藏深度和實(shí)際資料效果分析等方面論證設(shè)定最大炮檢距。大于最大炮檢距的地震信號(hào)，由于動(dòng)校拉伸畸變等原因，無(wú)益于偏移疊加成像，也會(huì)造成反射系數(shù)不穩(wěn)定，在后期資料處理時(shí)常須切除大于最大炮檢距的信息。定義大于論證最大炮檢距的地震道信息為“無(wú)效信息”，小于最大炮檢距地震道信息為“有效信息”。

結(jié)合數(shù)學(xué)模型(圖1)，排列片在圓內(nèi)部分接收道為采集有效信息，圓外部分接收道為無(wú)效信息。排列片右上角M點(diǎn)坐標(biāo)為M(x′，y′)，該坐標(biāo)值決定了排列片尺寸和橫縱比，即縱向最大炮檢距、橫向最大炮檢距及其比值。M(x′，y′)變化會(huì)引起采集有效信息和無(wú)效信息的面積變化。為研究方便，選取最大炮檢距長(zhǎng)度R為單位1，則M(x′，y′)坐標(biāo)即為排列片縱、橫向炮檢距與論證最大炮檢距的比值(倍數(shù))。

圖1 通用數(shù)學(xué)模型

2 數(shù)學(xué)分析

2.1 坐標(biāo)點(diǎn)M(x′，y′)在圓內(nèi)或圓周上

從圖2可知，坐標(biāo)點(diǎn)M(x′，y′)在外接圓內(nèi)和圓周上時(shí)，采集到的數(shù)據(jù)都是有效炮檢距信息。考察圓周上四個(gè)點(diǎn)，它們構(gòu)成的矩形的面積為

Srect=2Rsinθ×2Rcosθ=2R2sin2θ

(1)

圖2 點(diǎn)在圓周上的矩形排列片數(shù)學(xué)模型

2.2 坐標(biāo)點(diǎn)M(x′，y′)在圓外

坐標(biāo)點(diǎn)在圓內(nèi)移動(dòng)，最大采集面積僅為圓面積的64%，這顯然是不夠的。希望在圓外尋找合適點(diǎn)，使采集的有效信息(灰色面積)盡可能地多，無(wú)效信息(ABM)盡可能少(圖3)。當(dāng)x′、y′大于1(R)時(shí)，增加的均為無(wú)效信息，故坐標(biāo)點(diǎn)M(x′，y′)取值范圍應(yīng)在圓外、且在正方形OCxCCy之內(nèi)區(qū)域。較合理的數(shù)學(xué)方程式是以(x′，y′)為自變量，以有效信息面積Sv和無(wú)效信息面積Sinv及其間的差值Sv-inv、比值Sinv/v為因變量，建立二元函數(shù)關(guān)系，分析隨M點(diǎn)變化時(shí)有效信息和無(wú)效信息的變化規(guī)律。因四個(gè)象限是對(duì)稱的，故只需研究第一象限即可。

圖3 點(diǎn)在圓外的矩形排列片數(shù)學(xué)模型

(2)

有效信息面積為

(3)

有效信息面積減去無(wú)效信息面積，可得

(4)

式(2)反映了M點(diǎn)位置變化引起的無(wú)效信息面積變化； 式(3)反映了M點(diǎn)位置變化引起的有效信息面積變化； 式(4)反映M點(diǎn)位置變化有效信息面積與無(wú)效信息面積相互關(guān)系的變化。這三個(gè)函數(shù)式較為復(fù)雜，很難用求導(dǎo)法或極值法等數(shù)學(xué)手段了解它們隨M點(diǎn)移動(dòng)的變化規(guī)律。隨后分析函數(shù)值隨M點(diǎn)的移動(dòng)的空間變化規(guī)律。為了表達(dá)方便，以下文(圖表)中x′、y′均用x、y代替。

2.3 數(shù)據(jù)分析

圖4為無(wú)效信息面積Sinv變化函數(shù)圖，鄰近圓周的點(diǎn)的Sinv值接近0或非常小； 隨著M點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)O，無(wú)效信息急劇增加，且沿OC方向移動(dòng)，增加速度最慢，OC是Sinv圖形下凹軸線。

圖5為有效信息面積Sv函數(shù)圖，M點(diǎn)在x軸或y軸上時(shí)面積為0，隨著遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸面積迅速增加。與圖4相反，Sv是個(gè)上凸形狀，OC為高點(diǎn)軸線。但隨著M點(diǎn)接近C點(diǎn)，Sv增加變慢。M點(diǎn)在圓周上移動(dòng)時(shí)，射線OC與圓交點(diǎn)處有效信息面積最大，佐證了2.1節(jié)結(jié)論。

圖4 無(wú)效信息面積變化函數(shù)圖

圖5 有效信息面積變化函數(shù)圖

圖6是無(wú)效信息與有效信息面積函數(shù)疊合圖，在軸線部位Sinv表現(xiàn)為向下凹，Sv表現(xiàn)為上凸。這為M點(diǎn)最佳位置選擇提供了思路。

圖7是據(jù)式(4)得到的Sv-inv函數(shù)圖，可見(jiàn)并不是M點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)函數(shù)達(dá)到極大值； 連接OC，從與圓周的交點(diǎn)到C點(diǎn)，考察函數(shù)Sv-inv在OC向的方向?qū)?shù)，數(shù)值由大逐漸變小，至“0”，再到負(fù)值。函數(shù)在OC向的方向?qū)?shù)巧妙地反映了有效信息與無(wú)效信息相對(duì)空間變化。隨著遠(yuǎn)離中心點(diǎn)，有效信息面積雖然持續(xù)增加，但增加的“加速度”逐漸減小，且在到達(dá)極值點(diǎn)前比無(wú)效信息面積增加的快； 再往C點(diǎn)方向移動(dòng)，有效信息面積增加逐漸變慢，無(wú)效信息面積的增加卻逐漸加快； 在達(dá)到最大值時(shí)，有效信息面積增量與無(wú)效信息面積增量相同，極值點(diǎn)附近區(qū)域都是函數(shù)值變化平緩帶； 從極值點(diǎn)到C點(diǎn)，為無(wú)效信息面積增量大于有效信息面積增量的區(qū)域。

圖8是函數(shù)Sv-inv數(shù)值的等高線平面圖，反映了函數(shù)Sv-inv空間梯度變化。連接對(duì)角線OC，發(fā)現(xiàn)等高線是關(guān)于OC軸對(duì)稱的，在趨向極大值點(diǎn)前，沿著OC方向等高線最密，也是函數(shù)Sv-inv增長(zhǎng)最快的方向。

圖6 無(wú)效信息與有效信息面積變化疊合圖

圖7 有效信息面積與無(wú)效信息面積差函數(shù)(Sv-inv)圖

圖8 Sv-inv函數(shù)等高線平面圖

3 確定排列片橫、縱參數(shù)

三維地震采集排列片橫、縱參數(shù)包括排列片橫、縱長(zhǎng)度和橫縱比兩個(gè)方面。由2.3節(jié)分析可知，M點(diǎn)應(yīng)選擇在圖8等高線最密處，有效信息面積增加速度遠(yuǎn)大于無(wú)效信息面積增加速度； 極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為T(0.895，0.895)。當(dāng)設(shè)計(jì)排列片的縱、橫向炮檢距大于該極值點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，有效信息面積增加速度迅速減小、而無(wú)效信息面積迅速增大。因此，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量避免使縱、橫向炮檢距大于論證的最大炮檢距的0.895倍，點(diǎn)T也被稱為90拐點(diǎn)。

Cordsen等提出的85%法則在圖8中如紅線交點(diǎn)所示，排列參數(shù)對(duì)應(yīng)的Sv=0.5999，Sinv=0.0142，Sv-inv=0.5857。排列片有效面積相對(duì)于R圓面積為4Sv/π=76.4%，該比值并不等于Cordsen等提出的78%[16]，而85%法則點(diǎn)和原點(diǎn)構(gòu)成的矩形面積與四分之一圓面積比為0.85×0.852/(π/4)=78%，該比值顯然包含了無(wú)效信息的面積，可見(jiàn)Cordsen在提出85%法則時(shí)，并沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈⒎e分計(jì)算； 其所有數(shù)值都是基于幾何學(xué)關(guān)系近似求得，“85%法則”雖然較為理想，但數(shù)學(xué)論證并不充分、系統(tǒng)。

當(dāng)M點(diǎn)移動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，排列片相當(dāng)于最大炮檢距半徑圓的外接正方形(圖2)，這時(shí)Sv=0.785，Sinv=0.215，則Sv-inv=0.570，排列片無(wú)效信息面積相對(duì)于R圓面積為4Sinv/π=27%。

除27%無(wú)效信息面積外，外接正方形排列片還存在一個(gè)隱形的無(wú)效信息面積，即當(dāng)接收線距較大時(shí)，最外邊的第一條排列與圓相切的有效信息只有一道，而這一道占據(jù)了第二條排列與圓弧(切點(diǎn))構(gòu)成的有效信息面積。造成實(shí)際的無(wú)效信息與R圓面積之比大于27%的情況。接收線距越小，比值越接近27%。

因此，排列片長(zhǎng)和寬不應(yīng)大于論證的最大炮檢距的0.895倍(M點(diǎn)沒(méi)超出T點(diǎn)與坐標(biāo)軸構(gòu)成矩形的范圍)。

用面積絕對(duì)差值函數(shù)還不能直接反映無(wú)效信息相對(duì)于有效信息面積大小。圖9是無(wú)效信息面積除以有效信息面積函數(shù)Sinv/v的函數(shù)值空間分布圖。與Sinv圖像有些相似，反映出在M點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，無(wú)效信息面積變化影響函數(shù)Sinv/v較大。

圖9 Sinv/v函數(shù)圖

將Sv-inv函數(shù)等高線與Sinv/v函數(shù)等高線疊合起來(lái)(圖10)，取名為排列片橫縱參數(shù)量板，圖中藍(lán)線為Sinv/v函數(shù)等值線，色標(biāo)值為Sv-inv值(為顯示效果，圖件在前文等高線圖基礎(chǔ)上抽稀一半)。為最大限度增加有效信息面積和減少無(wú)效信息面積，M點(diǎn)最佳選擇區(qū)域應(yīng)為Sv-inv等值線密集且穿越Sinv/v(藍(lán))函數(shù)等值線值盡可能小、線數(shù)盡可能少的區(qū)域，即理想?yún)^(qū)域是等高線與OC交點(diǎn)附近(T點(diǎn)前)，最佳位置點(diǎn)在等值線與OC交點(diǎn)上。

圖11在量板上標(biāo)注了85%法則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)位置，可見(jiàn)85%法則雖較為理想，但不是最經(jīng)濟(jì)的，沿0.5858等值線靠近OC線，都是不錯(cuò)的選擇。

圖10 排列片橫縱參數(shù)量板

圖11 Sinv/v(藍(lán))與Sv-inv函數(shù)等高線疊合圖

結(jié)合排列片橫縱參數(shù)量板，提供兩個(gè)表格供三維設(shè)計(jì)參考，表1是空間20×20個(gè)樣點(diǎn)的無(wú)效信息面積Sinv真值表，對(duì)角線連線即為OC連線，對(duì)角線上真值都較左右數(shù)值?。槐?為有效信息面積Sv真值表，對(duì)角線上真值都較左右數(shù)值大。所以，觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)從經(jīng)濟(jì)效益來(lái)說(shuō)，沿對(duì)角線是最佳選擇，這時(shí)排列片橫縱比為1。實(shí)際應(yīng)用中，結(jié)合勘探地質(zhì)任務(wù)和設(shè)備條件，可在對(duì)角線附近數(shù)值差別不大范圍內(nèi)選擇排列片橫、縱長(zhǎng)度和比例。

表1 無(wú)效信息面積Sinv真值表

表2 有效信息面積Sv真值表

在實(shí)際運(yùn)用中，還可以根據(jù)式(2)～式(4)制作更加精細(xì)表格和不同精度的量板。

4 結(jié)束語(yǔ)

在觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，一方面考慮盡可能多地獲取各個(gè)方位的有效炮檢距信息，另一方面還要考慮盡可能減少大于有效炮檢距的道數(shù)所占的比例。Cordsen給出了觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的雙“85%”法則，但未給出嚴(yán)格的論證。數(shù)學(xué)計(jì)算證明，只要縱橫向最大炮檢距小于設(shè)計(jì)的最大炮檢距的0.895倍，就可以達(dá)到既盡可能多地獲取有效信息又最大程度減少無(wú)效信息的目的。所提供的“一板二表”是三維觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的經(jīng)濟(jì)效益參考指標(biāo)，對(duì)寬方位高密度觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)作用。通過(guò)分析也說(shuō)明，在“兩寬一高”實(shí)施中，如果縱、橫向最大炮檢距均取為工區(qū)論證的最大炮檢距，橫縱比選為1，至少27%的采集信息都是無(wú)效信息，從經(jīng)濟(jì)效益角度考慮是不科學(xué)的。