例析初中數(shù)學教學中數(shù)學思想的滲透

史丹萍 任慶

[摘? 要] 在初中數(shù)學教學中，注重數(shù)學思想的滲透是重要目標之一. 滲透數(shù)學思想，可以發(fā)展學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識，提高學生的數(shù)學素養(yǎng). 數(shù)學思想包括轉化思想、化歸思想、方程思想、函數(shù)思想等，文章以轉化思想為例，通過實踐案例，就如何將數(shù)學思想滲透于教學中談談自己的看法.

[關鍵詞] 初中數(shù)學;轉化思想;問題解決

轉化思想就是將數(shù)學中待解決的問題或難以解決的問題，通過適當?shù)姆椒ê屯緩竭M行轉化，使其轉化成已經解決的問題或者容易解決的問題. 轉化，通?？梢赃_到將問題化繁為簡、化難為易的效果，其不僅有利于學生解決問題，而且有助于學生看透問題的本質，更好地理解問題，從而提高學習效率. 下面筆者以“等腰三角形復習”的教學片段為例，簡要談談如何將轉化思想滲透于初中數(shù)學教學，希望能給同仁們一些參考.

回顧舊知，搭建基礎回顧舊知是復習課的必備環(huán)節(jié)，“萬丈高樓平地起”，通過對舊知的回顧，搭建知識基礎，能為后續(xù)環(huán)節(jié)做鋪墊，能為能力的提升提供必要的條件.

（完成方式：教師引導，學生回答）

師：等腰三角形是初中數(shù)學中重要的幾何模型，在幾何問題的解決中有著舉足輕重的作用. 通過前幾節(jié)課的學習，同學們對等腰三角形已有充分的認識，現(xiàn)在請大家談一談你學到了哪些關于等腰三角形的知識.

生1：等腰三角形的兩個底角相等，兩條腰相等.

生2：“等角對等邊”“三線合一”.

生3：等腰三角形是軸對稱圖形.

……

教師梳理后板書等腰三角形的定義及性質.

設計意圖 該環(huán)節(jié)是課堂的起始環(huán)節(jié)，所以讓學生知道這節(jié)課要“做什么”尤其重要. 以完全開放的形式讓學生自主回答學到的知識，可以引導學生對所學內容進行全面回顧及相互補充，教師梳理后即刻板書，能將學生腦海中瑣碎的知識系統(tǒng)化、完整化.

層層推進，感悟思想

解決問題是復習課的主要環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)需要通過層層深入的問題讓學生體會到轉化思想的存在，并通過問題的解決讓學生感悟到該思想的實際效用.

問題1 如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°.

（1）∠ABC=_________，∠ACB=_________.

（2）作∠ABC的平分線BD，交AC邊于點D，則圖中共有幾個等腰三角形？

（3）在（2）的條件下過點D作BC的平行線DE，交AB邊于點E，會不會產生新的等腰三角形？

（完成方式：學生合作完成，小組代表全班展示）

生1：（1）∠ABC=∠ACB=72°. （2）共有3個等腰三角形，即△ABC，△ABD和△BCD，由角度的計算可以得到此結論. （3）過點D作ED∥BC后，新增了2個等腰三角形，即△BED和△AED.

師：在你的解答過程中由角度得到等腰三角形的依據(jù)是什么？

生1：等角對等邊.

師：由角到邊的轉化過程，是哪種數(shù)學思想的體現(xiàn)呢？

生1：轉化思想.

變式 如圖1③，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB邊于點E，請找出圖中所有的等腰三角形.

師：你認為這個變式的結論和問題1中第（3）問的結論一樣嗎？

生2：不一樣，該圖中只有3個等腰三角形.

師：和問題1的第（3）問相比，哪兩個三角形不是等腰三角形了呢？

生2：由角度可知，△ABD和△BCD不是等腰三角形了.

師：你考慮問題很細. 問題1的第（3）問之所以存在5個等腰三角形，是因為它是最特殊的“黃金等腰三角形”，而普通的等腰三角形并不會存在這樣的特殊性.

問題2 如圖2，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC邊于點D，DE∥BC交AB邊于點E，尋找圖中的等腰三角形，并證明.

（完成方式：教師引導學生完成）

師：觀察這個圖形，與上述2道題中的圖形相比，有何不同與相同？

生3：不同的是△ABC的形狀變了，它不再是等腰三角形，而且也沒有固定的角度大小. 相同點在于條件依舊是角平分線與平行線.

師：你觀察得真仔細. 那這個圖形中有幾個等腰三角形呢？

生3：只有一個，即△BDE.

師（追問）：你是怎么找出來的？說出你的證明方法.

生3：由BD平分∠ABC可以得到∠EBD=∠CBD，由DE∥BC可以得到∠EDB=∠DBC. 等量代換即可得到∠EDB=∠EBD，因此EB=ED.

師：你的證明過程是否滲透了某種數(shù)學思想？

生3：角與角之間的轉化、角與邊之間的轉化.

師：非常好！轉化思想在你的證明過程中得到了充分的體現(xiàn).

變式 如圖3，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點D，過點D作BC的平行線，分別交AB，AC于點E和點F.

（1）找出圖中所有的等腰三角形并證明;

（2）猜想線段EF和BE，CF的數(shù)量關系，并證明.

（完成方式：學生板演）

（學生板演過程略）

師（追問）：該同學給我們展示了一個完整的證明與解答過程，在這個過程中，轉化思想是否有體現(xiàn)呢？

生4：有體現(xiàn)，這個過程有角與角的轉化、角與邊的轉化、邊與邊的轉化.

設計意圖 該環(huán)節(jié)的主要教學目標是讓學生充分體會到等腰三角形中存在的轉化思想，因此教師反復強調該思想的存在性. 該環(huán)節(jié)設置了兩個例題及兩個變式，逐層遞進，前后問題之間有著緊密的聯(lián)系，問題整體難度不大，學生基本可以獨立解決，如此便可以通過簡單的解決問題過程讓學生領會轉化思想的實質，形成初步的數(shù)學思想意識.

題后總結，穩(wěn)固思想總結過程即知識的內化過程，學生通過題后總結可以實現(xiàn)將解決問題過程中的思路、方法納入自己的知識體系，因此題后總結不僅是教學的重要環(huán)節(jié)，而且是學生解題所必需的一環(huán).

教師引導學生共同總結解決問題過程中所滲透的轉化思想并板書如下：

[轉化思想

1. 角與角的轉化：相等角之間的等量代換.

2. 邊與角的轉化：等角對等邊，等邊對等角.

3. 邊與邊之間的轉化：相等線段之間的等量代換.]

設計意圖 本節(jié)課在方法與能力上的教學目標是讓學生體會轉化思想的運用，因此總結環(huán)節(jié)直接圍繞轉化思想進行，能直達目標.

數(shù)學的學習關鍵在于靈活與變通，因此將問題舉一反三是學生提高能力的途徑，也是發(fā)展學生創(chuàng)造能力的平臺.

舉一反三 如圖4，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，DE∥BG且分別交AB，AC于點E和點F，則EF，BE，CF三者之間有何數(shù)量關系？

（完成方式：學生課后獨立完成）

設計意圖 該環(huán)節(jié)的問題通常作為教學中的備用問題來呈現(xiàn)，若有時間，則課上完成;若沒有時間，則留至課后由學生自主完成. 這樣一方面給學生的進一步探究提供了資源，另一方面則可以養(yǎng)成學生主動學習的習慣.

思想是問題的本質，是數(shù)學的靈魂. 新課程改革背景下的初中數(shù)學教學，將數(shù)學思想滲透至數(shù)學教學過程中是必需的，因為數(shù)學思想是解決數(shù)學問題的依據(jù)，體悟數(shù)學思想的存在性是理解數(shù)學的必要條件，學會運用數(shù)學思想來解決問題是提高學生數(shù)學能力的有效途徑.