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    從“雞兔同籠”到行列式管窺數(shù)學(xué)基本特點(diǎn)和思想方法

    2019-09-25 13:18:41陳定中
    關(guān)鍵詞:雞兔同籠行列式數(shù)學(xué)

    陳定中

    【摘要】“雞兔同籠”是中國(guó)古代著名趣題之一,對(duì)啟迪數(shù)學(xué)思維、感知數(shù)學(xué)思想方法具有經(jīng)典價(jià)值;行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具,在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論、微積分學(xué)中,都有著重要的應(yīng)用.本文通過(guò)分析“雞兔同籠”問(wèn)題求解、引入方程組方法,再延伸到用行列式求解方程組;對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的思想方法及其基本特點(diǎn)進(jìn)行探究,以期為數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)者和教育者理解數(shù)學(xué)有所幫助.

    【關(guān)鍵詞】雞兔同籠;行列式;數(shù)學(xué)

    一、“雞兔同籠”到行列式

    (一)“雞兔同籠”問(wèn)題及算術(shù)求解

    1.大約在1 500年前,《孫子算經(jīng)》中記載了個(gè)有趣的問(wèn)題:“今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問(wèn)雉兔各幾何?”意思是:有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里,從上面數(shù),有35個(gè)頭;從下面數(shù),有94只腳.求籠中各有幾只雞和兔?

    2.算術(shù)求解

    方法一:假設(shè)替代籠子里面全是雞或全是兔(即用雞代替兔或用兔代替雞).分別是:雞的只數(shù)為(94-35×2)÷(4-2)=23(只),或兔的只數(shù)為(35×4-94)÷(4-2)=12(只).

    方法二:畫(huà)頭配腳畫(huà)35個(gè)圓圈表示35個(gè)頭,為每個(gè)動(dòng)物畫(huà)兩只腿,35只動(dòng)物用完70只腳,還少用了94-70=24只腳.把少用的這24只腳要用完,就得給其中的12只動(dòng)物各加2只腳,這12只就是兔子,另外的23只就是雞.

    方法三:列表枚舉通過(guò)填表厘清雞兔的只數(shù)和腳的數(shù)量之間的關(guān)系.

    從列表可以看出:94只腳對(duì)應(yīng)的是12只兔子和23只雞.

    除上述解法外,還有諸如北京特級(jí)教師周沛根的特異功能法,南京師范大學(xué)單墫的“半兔”法、金雞獨(dú)立法等等,其本質(zhì)都是假設(shè)轉(zhuǎn)化.不同的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了不同的解決思路.

    (二)“雞兔同籠”問(wèn)題的方程組解法

    算術(shù)一旦進(jìn)入代數(shù)領(lǐng)域,問(wèn)題隨即發(fā)生了質(zhì)的變化.技巧性讓位給求解的普遍性.同樣的“雞兔同籠”問(wèn)題,采用代數(shù)的關(guān)鍵即字母代替數(shù),設(shè)雞為x只,兔子為y只,很容易列出

    x+y=35,2x+4y=94.(1)

    這就是二元一次(線性)方程組,也即“雞兔同籠”問(wèn)題的代數(shù)表示,目標(biāo)是求出x和y.通過(guò)解方程組(1)得到:雞(x)是23只,兔(y)是12只.把(1)式普遍化,貫徹?cái)?shù)學(xué)符號(hào)化,可再寫(xiě)出

    a11x+a12y=b1,a21x+a22y=b2.

    (2)

    于是,問(wèn)題的提法變?yōu)椋阂阎禂?shù)a11,a12,a21,a22以及b1和b2,解出x和y.采用消元法,易得

    x=b1a22-b2a12a11a22-a12a21,y=b2a11-b1a21a11a22-a12a21.(3)

    (三)“雞兔同籠”問(wèn)題方程組的行列式解法

    由(3)式的運(yùn)算規(guī)律性和對(duì)稱性,抽出方程組中元(未知數(shù))的系數(shù)引入了二階行列式.

    deta11a12a21a22=a11a22-a12a21.(4)

    我們可以推廣到n元情況.

    二、“雞兔同籠”到行列式展現(xiàn)的數(shù)學(xué)基本特點(diǎn)

    (一)形象到抽象

    抽取事物的本質(zhì)屬性,舍棄其非本質(zhì)屬性的思維過(guò)程就是抽象.“雞兔同籠”問(wèn)題取材于生產(chǎn)實(shí)踐,是具體的、現(xiàn)實(shí)的、有意義的、極具趣味性和挑戰(zhàn)性.從算術(shù)方法到方程組再到行列式求解過(guò)程中,引入元(x,y)的方程組,丟掉元而僅考慮系數(shù)的行列式;是一個(gè)從形象逐級(jí)到抽象的過(guò)程.而數(shù)感的建立、符號(hào)化語(yǔ)言的運(yùn)用,使得數(shù)學(xué)語(yǔ)言越來(lái)越精煉、簡(jiǎn)潔,使得數(shù)學(xué)成為一門(mén)精確的科學(xué).形象具體是數(shù)學(xué)的起源,抽象概括是數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)之一.正如華羅庚所說(shuō):“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是抽象.”

    從具體實(shí)踐出發(fā),形象較低層次的思想方法經(jīng)過(guò)抽象和概括,上升為抽象較高層次的思想方法,從而實(shí)現(xiàn)解決現(xiàn)實(shí)中和其他學(xué)科中的一些普遍的問(wèn)題.達(dá)成了較高層次的抽象思維則對(duì)較低層次的形象具體實(shí)踐的指導(dǎo)意義,從而來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)自身的運(yùn)用價(jià)值.

    (二)特殊到普遍

    從已知的事實(shí)出發(fā),進(jìn)行邏輯的推理、證明和計(jì)算,這是數(shù)學(xué)的基本思維方式.在“雞兔同籠”問(wèn)題求解過(guò)程中,從假設(shè)替代法到列表枚舉法、思維從無(wú)序到有序,從具體小數(shù)據(jù)的算術(shù)求解、到抽象的大數(shù)據(jù)一般性方程(組)求解,從具體問(wèn)題的算術(shù)求解到普遍性問(wèn)題方程求解;體現(xiàn)了從特殊問(wèn)題求解到一般普遍性問(wèn)題規(guī)律探討的過(guò)程.

    人類實(shí)踐中涉及問(wèn)題都要回歸數(shù)學(xué),從這個(gè)意義上講數(shù)學(xué)解決的是具體的、特殊的一個(gè)個(gè)問(wèn)題.數(shù)學(xué)作為一種思維的工具,為解決任何問(wèn)題提供了普遍性的思維方法;作為最基本的最有哲理的學(xué)科,它是一種普遍性的科學(xué)語(yǔ)言,任何一門(mén)科學(xué)只有使用了數(shù)學(xué),才稱其為一門(mén)科學(xué).從這個(gè)意義上講數(shù)學(xué)又是普遍思維、普遍方法、普遍工具的科學(xué).

    (三)數(shù)學(xué)符號(hào)化

    “雞兔同籠”問(wèn)題從算術(shù)解答到方程組解答,到引入行列式解答的過(guò)程中;整個(gè)分析,解題過(guò)程,都涉及代數(shù)假設(shè),用字母代替未知數(shù),與已知數(shù)參與運(yùn)算,把題中的文字語(yǔ)言表述的已知條件,翻譯成用符號(hào)化語(yǔ)言表述的方程,以及把字母看成已知數(shù),并進(jìn)行運(yùn)算,進(jìn)而達(dá)到求解的目的.這種用符號(hào)化的語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容,以符號(hào)的濃縮形式來(lái)表達(dá)大量的信息,是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要的形式.正如英國(guó)著名數(shù)學(xué)家羅素說(shuō)過(guò):“什么是數(shù)學(xué)?數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯.”這都是數(shù)學(xué)符號(hào)化的體現(xiàn).

    數(shù)學(xué)符號(hào)化能概括出數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律,給數(shù)學(xué)理論的表述和論證帶來(lái)的極大方便,同時(shí)用簡(jiǎn)潔明了的字母公式表示,便于記憶,便于運(yùn)用,符號(hào)化同時(shí)有助于思維的發(fā)展.如果說(shuō)數(shù)學(xué)是思維的體操,那么,數(shù)學(xué)符號(hào)的組合譜成了“體操進(jìn)行曲”.

    數(shù)學(xué)符號(hào)化的思想培養(yǎng)應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程中,既要要理解和掌握數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵和思想,又要養(yǎng)成問(wèn)題符號(hào)化表達(dá)、運(yùn)算、推理的習(xí)慣.

    (四)最優(yōu)化思想

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