關(guān)于求解兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布的方法研究

郭晉芳

【摘要】求兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布在概率論的學(xué)習(xí)中是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也有若干種解法，學(xué)生們掌握起來也比較困難，本文給出不同情況的兩個(gè)隨機(jī)變量的各種求解方法，并給出應(yīng)用舉例.

【關(guān)鍵詞】二維隨機(jī)變量;分布函數(shù);概率密度函數(shù);分布律

一、引 言

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，隨機(jī)變量分為三類——離散型、連續(xù)型及奇異型，但我們一般只需要掌握前兩類.兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y的函數(shù)Z=g（X，Y）依然是隨機(jī)變量，則求解這個(gè)隨機(jī)變量的分布就是我們討論的一個(gè)關(guān)鍵問題，下面給出各種不同情況下，求解兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布的各種方法.

二、兩個(gè)隨機(jī)變量都是離散型

已知二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律，求解其函數(shù)Z=g（X，Y）的分布，通過直接分析便可以得到所求.

例1 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律如表1所示，求Z=2X-Y的分布律.

三、兩個(gè)隨機(jī)變量都是連續(xù)型

（一）分布函數(shù)法

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為f（x，y），已知Z=g（X，Y）是隨機(jī)變量（X，Y）的函數(shù)，求隨機(jī)變量Z的概率密度函數(shù)fZ（z）.

隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)有如下關(guān)系fZ（z）=FZ′（z），所以可以先求隨機(jī)變量Z的分布函數(shù)，求解過程如下：

FZ（z）=P{Z≤z}=P{g（X，Y）≤Z}

=P{X，Y}∈D：g（x，y）≤z

=g（x，y）≤zf（x，y）dxdy，

然后對分布函數(shù)求導(dǎo)得到概率密度函數(shù)fZ（z）=dFZ（z）dz.

（二）卷積公式法

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為f（x，y），已知Z=g（X，Y）是隨機(jī)變量（X，Y）的函數(shù)，求隨機(jī)變量Z的概率密度函數(shù)fZ（z）.

當(dāng)函數(shù)z=g（x，y）關(guān)于變量y嚴(yán)格單調(diào)，容易解得其反函數(shù)y=h（x，z），則有

四、一個(gè)隨機(jī)變量是離散型，一個(gè)是連續(xù)型

（一）全集分解法

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，取有限值的離散型隨機(jī)變量Y，當(dāng)X，Y相互獨(dú)立，求Z=g（X，Y）的分布函數(shù)時(shí)，對離散型隨機(jī)變量Y進(jìn)行全集分解.

例3 設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，X的概率密度函數(shù)為f（x）=e-x，x>0，0，else.

（二）結(jié)論法

設(shè)取有限值的離散型隨機(jī)變量X，其分布律為P{X=xi}=pi（i=1，…，n），連續(xù)型隨機(jī)變量Y，其概率密度函數(shù)為fY（y）當(dāng)X，Y相互獨(dú)立.當(dāng)函數(shù)z=g（x，y）關(guān)于變量y嚴(yán)格單調(diào)，則其反函數(shù)存在y=h（x，z）有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Z=g（X，Y）是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為

fZ（z）=∑ni=1pifY[h（x，z）]h（x，z）z，a

其中a是z=g（x，y）關(guān)于y的最小值，b是關(guān)于z=g（x，y）關(guān)于y的最大值.

例4 設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，X的分布律為P{X=xi}=13（i=1，2，3）.Y的概率密度函數(shù)為fY（y）=1，0

解 因?yàn)閦=xi+2y（i=1，2，3）是y的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，其反函數(shù)y=z-xi2，有導(dǎo)函數(shù)y′=12，由結(jié)論得

五、結(jié)束語

本文針對兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布，分別對兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量及其一個(gè)離散型，一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的三種情況，給出了不同的方法，方便大家掌握：不同情形，應(yīng)該應(yīng)用不同方法解決問題.

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